届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三测试数学理试题一卷解析.docx
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届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三测试数学理试题一卷解析
绝密★启用前
2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(理)试题(一卷)
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
C
先解对数不等式求出集合
,再根据二次函数的单调性求出集合
,然后根据并集的定义求解即可.
解:
解:
∵
,
∴
,即
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
故选:
C.
点评:
本题主要考查集合的并集运算,考查对数不等式的解法,考查二次函数的值域,属于基础题.
2.在复平面内,复数
的虚部为()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
根据复数代数形式的除法运算和复数的模先化简该复数,再根据虚部的定义得出结论.
解:
解:
∵
,
∴复数
的虚部为
,
故选:
B.
点评:
本题主要考查复数代数形式的除法运算,考查复数的模和虚部的定义,属于基础题.
3.已知单位向量
,
满足
,则
()
A.1B.2C.3D.4
答案:
B
由
可得
,再根据平面向量的数量积的定义即可求出答案.
解:
解:
∵
,
∴
,化简得
,
∵
,
,
∴
,
故选:
B.
点评:
本题主要考查平面向量数量积的定义及其应用,属于基础题.
4.下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入
,
,则程序中需要做减法的次数为()
A.6B.5C.4D.3
答案:
C
由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的
的值,即可得到结论.
解:
解:
由
,
,满足
,满足
,则
;
满足
,不满足
,则
;
满足
,满足
,则
;
满足
,不满足
,则
;
不满足
,则输出
;
则程序中需要做减法的次数为4,
故选:
C.
点评:
本题主要考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题.
5.在
的展开式中,
的系数为()
A.
B.6C.10D.4
答案:
A
因为
,且
的展开式的通项公式为
,
的展开式的通项公式为
,令
,由此可求出答案.
解:
解:
∵
,
∵
的展开式的通项公式为
,
的展开式的通项公式为
,
则展开式中含
的项需满足
,
∴展开式中
的系数为
,
故选:
A.
点评:
本题主要考查二项展开式的通项公式的应用,考查计算能力与推理能力,属于中档题.
6.在三角形
中,
,
,
分别为角
,
,
的对边,且满足
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
根据余弦定理结合题意得
,而
,再根据半角公式求解即可.
解:
解:
∵
,即
,
由余弦定理可得
,
∴
,
∴
,则
,
∵
,
∴
,
故选:
D.
点评:
本题主要考查余弦定理的应用,考查半角公式的应用,属于基础题.
7.函数
的部分图像大致是()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知
,再结合导数求出函数在
上的单调性,由此可得出答案.
解:
解:
根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知
,则C、D错;
当
时,
,
,
由
得
,由
得
,
∴函数
在
上单调递减,在
上单调递增,则A对,B错;
故选:
A.
点评:
本题主要考查函数图象的识别,考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.
8.已知函数
,若
,则
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
先判断函数的奇偶性,再求导研究函数的单调性,再结合奇偶性与单调性解不等式即可.
解:
解:
∵
,定义域为
,
∴
,
∴函数
为奇函数,
∵
,
∴函数
在
上单调递减,
∵
∴
,则
,
∴
,
∴
,
∴
或
,
解得
,或
,
故选:
D.
点评:
本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式,考查利用导数研究函数的单调性,考查分式不等式的解法,属于中档题.
9.已知等差数列
满足:
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
根据等差数列的性质和求和公式可得
,由此可求出答案.
解:
解:
∵等差数列
满足:
,
,
∴
,
∴
,
故选:
A.
点评:
本题主要考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的求和公式,属于基础题.
10.已知椭圆
的离心率为
,以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切,则
()
A.2B.
C.
D.1
答案:
D
由题意可得
,解出即可.
解:
解:
由题意有,以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为
,
直线
的一般式为
,
又椭圆
的离心率为
,
∴
,解得
,
故选:
D.
点评:
本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.
11.设
为定义于
上的偶函数,当
时,
,则方程
的实数解的个数为()
A.8B.6C.4D.2
答案:
A
由题意可知,
为偶函数,
,则
,画出函数
和
在
上的图象,结合图象即可得出结论.
解:
解:
当
时,
,
∴
,
∴当
时,
,
又
,
∴
为偶函数,
且
为偶函数,
画出函数
和
在
上的图象如图,
由图可知,函数
和
的图象在
上有4个交点,
∴由偶函数的性质可知,函数
和
的图象在
上有4个交点,
∴函数
和
的图象在
上有8个交点,
即方程
的实数解的个数为8,
故选:
A.
点评:
本题主要考查方程的根与函数的零点以及函数图象的交点之间的关系,考查转化与化归思想,考查分类讨论思想,考查数形结合思想,考查计算能力与推理能力,属于难题.
12.已知当
时,不等式
恒成立,则
的取值范围为()
A.
(
为任意整数)B.
(
为任意整数)
C.
(
为任意整数)D.
(
为任意整数)
答案:
C
可设不等式左边为
并化简,求出
的最小值,令其大于0,得到
的取值范围即可.
解:
解:
设
,
①若
,即
时,原不等式不恒成立;
②若
即
时,
在
的最小值为
或
或
,
,
∴
,解得
,
故选:
C.
点评:
本题主要考查不等式恒成立的问题,考查三角函数的性质,考查分类讨论思想,考查计算能力与转化能力,属于难题.
二、填空题
13.设数列
满足
,
,
,
,则
______.
答案:
由题意可得,
,化简整理得
,令
,可得
,由此可得
,从而可求出答案.
解:
解:
∵
,
,
∴当
时,
,即
,
∴
,
∴
,
令
,则
,且
,
∴
,
又
,
∴
,即
,
∴
,
故答案为:
.
点评:
本题主要考查数列递推公式的应用,考查推理能力与计算能力,考查转化与化归思想,属于中档题.
14.设实数
,
满足
,则
的最大值为______.
答案:
73
画出不等式组表示的可行域,利用目标函数的几何意义(到原点的距离的平方)转化求解即可.
解:
解:
不等式组的图象如图:
的几何意义是可行域内的点和原点的距离的平方,
显然
到原点的距离最大,由
,解得
,
则
的最大值为:
,
故答案为:
73.
点评:
本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键,属于基础题.
15.假设抛一枚质地均匀的色子,若抛出的点数为1、2或3,我们称为“小”,否则,若抛出的点数为4、5或6,则称为“大”.独立重复地抛这枚色子两次,已知两次都为“大”,则第1次抛出的点数为6的概率______.
答案:
由题意可知,第1次抛出的点数为4、5或6,根据相互独立的事件的概率互不影响即可求出答案.
解:
解:
由题意可知,第1次抛出的点数为4、5或6,
∵独立重复地抛这枚色子两次,两次抛掷互不影响,
∴第1次抛出的点数为6的概率
,
故答案为:
.
点评:
本题主要考查独立重复试验的应用,属于基础题.
16.已知定义于实数
上的奇函数
满足
,则不等式
的解集为______.
答案:
设
,则
,
,令
,则
,求导后可得
,结合题意可得
,得函数
在
上单调递增,而
,由此可求出解集.
解:
解:
设
,
则
,
∵
,
令
,则
,
由
得
,由
得
,
∴当
时,函数
取得极小值同时也是最小值
,
∵
,
,
∴
,
∴函数
在
上单调递增,
又
,
∴由
得
,
∴
,
故答案为:
.
点评:
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用函数的单调性解不等式,考查计算能力与推理能力,属于难题.
三、解答题
17.设
中,
,内角
、
、
对应的对边长分别为
、
、
.
(1)求角
的大小;
(2)若
,求
面积
的最大值,并求出
取得最大值时
的值.
答案:
(1)
(2)面积
的最大值为
;此时
(1)在三角形中,
,结合条件可得
,由此可求出答案;
(2)由
可得
,则
,此时
,
,再由余弦定理即可求出答案.
解:
解:
(1)∵
,
∴
,
∵
,
,
∴
,则
;
(2)因
,
,
,
,故
,
于是,
,
∴
面积
的最大值为
,
且当
取得最大值时,
,
,可得
,
,
由余弦定理,
,即得
.
点评:
本题主要考查余弦定理的应用,考查三角形的面积公式,考查重要不等式的应用,属于基础题.
18.如下为简化的计划生育模型:
每个家庭允许生男孩最多一个,即某一胎若为男孩,则不能再生下一胎,而女孩可以多个.为方便起见,此处约定每个家庭最多可生育3个小孩,即若第一胎或前两胎为女孩,则继续生,但若第三胎还是女孩,则不能再生了.设每一胎生男生女等可能,且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定,令
为某一家庭所生的女孩数,
为此家庭所生的男孩数.
(1)求
,
的分布列,并比较它们数学期望的大小;
(2)求概率
,其中
为
的方差.
答案:
(1)分布列见解析:
(2)
(1)易知
的取值为0,1,2,3,
的取值为0,1,利用相互独立的事件的概率公式求出相应概率,由此可得分布列,再根据数学期望的计算公式求出期望,进而比较大小;
(2)结合公式
求出方差,再根据互斥事件的概率加法公式即可求出结果.
解:
解:
(1)易知
的取值为0,1,2,3,对应取值的概率为别为:
,
,
,
即得
的分布列如下
0
1
2
3
类似地,
的取值为0,1,对应取值的概率分别为:
,
;
得
的分布列如下:
0
1
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