高中数学专题定积分的概念教案新人教A版选修2.docx
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高中数学专题定积分的概念教案新人教A版选修2
高中数学专题定积分的概念教案新人教A版选修2
定积分的概念 【教学目标】 1.了解定积分的概念,会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质.【教法指导】 本节学习重点:
掌握定积分的基本性质.本节学习难点:
理解定积分的几何意义.【教学过程】☆复习引入☆ 任何一个平面图形都有面积,其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积,可以利用相关公式进行计算.如图所示的平面图形,是直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的,称之为曲边梯形,如何计算这个曲边梯形的面积呢?
解析:
请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一定积分的概念 思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找一下它们的共同点. 答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决,都可以归结为一个特定形式和的极限.思考2怎样正确认识定积分?
af(x)dx?
b n
(2)定积分就是和的极限lim∑(ξi)·Δx,而?
读作“函数f(x)从a到baf(x)dx只是这种极限的一种记号,n→∞i=1的定积分”. (3)函数f(x)在区间[a,b]上连续这一条件是不能忽视的,它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上,函数连续是定积分存在的充分条件,而不是必要条件).例1利用定积分的定义,计算?
0xdx的值.解令f(x)=x. 3 13 b
(1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点,把区间[0,1]等分成n个小区间[个小区间的长度为Δx=-
(2)近似代替、求和 取ξi=(i=1,2,?
,n),则 n130 i-1i,](i=1,2,?
,n),每nnii-11 =. nnnin?
xdx≈Sn=∑f()·Δxi=1 ini31 =∑()·i=1 nnn11211232=4i∑i=4·n(n+1)=(1+).n=1n44nn1 (3)取极限 112113?
0xdx=limSn=lim(1+)=. n→∞n→∞4n4 反思与感悟
(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程,需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤
(2),从而省略了解题步骤.
(2)从过程来看,当f(x)≥0时,定积分就是区间对应曲边梯形的面积.跟踪训练1用定义计算?
1(1+x)dx. 2 nni-1i-11n?
2i-1?
2+,从而得∑f(ξi)Δx=∑(2+)·=∑?
+n2?
i=1i=1nnni=1?
n?
21 =·n+2[0+1+2+?
+(n-1)] nn1n?
n-1?
n-1=2+2·=2+.n22n(3)取极限:
S=lim?
2+n→∞52 因此?
1(1+x)dx=. 2 探究点二定积分的几何意义 思考1从几何上看,如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么?
af(x)dx表示什么?
b?
?
n-1?
15 =2+=.?
2n?
22 答当函数f(x)≥0时,定积分?
af(x)dx在几何上表示直线x=a,x=b(a 思考2当f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≤0时,?
af(x)dx表示的含义是什么?
若f(x)有正有负呢?
bb 答如果在区间[a,b]上,函数f(x)≤0时,那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①).于 b-a>0,f(ξi)≤0,故nb-abbf(ξi)≤0.从而定积分?
af(x)dx≤0,这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值,即?
af(x)dx=-S. n 当f(x)在区间[a,b]上有正有负时,定积分?
函数f(x)的图象及直线x=a,x=b(a≠b)af(x)dx表示介于x轴、之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正,在x轴下方的取负).(如图②),即?
af(x)dx=-S1+S2-S3.例2利用几何意义计算下列定积分:
(1)?
9-xdx;
(2)?
-3-1(3x+1)dx. 3 23 bb
(2)直线x=-1,x=3,y=0,以及y=3x+1所围成的图形,如图所示:
?
-1(3x+1)dx表示直线x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积, 11115023∴?
-=16.-1(3x+1)dx=×(3+)×(3×3+1)-(-+1)×2=232333 反思与感悟利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图象,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积.不规则的图象常用分割法求面积,注意分割点的准确确定.跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值:
(1)?
-1xdx;
(2)?
0cosxdx;(3)?
-1|x|dx.解
(1)如图
(1),?
-1xdx=-A1+A1=0.
(2)如图
(2),?
0cosxdx=A1-A2+A3=0. 2π 1 1 2π 1 3 11 (3)如图(3),∵A1=A2,∴?
-1|x|dx=2A1=2×=1. 2(A1,A2,A3分别表示图中相应各处面积) 探究点三定积分的性质 思考1定积分的性质可作哪些推广?
答定积分的性质的推广 ①?
a[f1(x)±f2(x)±?
±fn(x)]dx=?
af1(x)dx±?
af2(x)dx±?
±?
afn(x)dx;②?
c1af(x)dx+?
c2c1f(x)dx+?
+?
cnf(x)dx(其中n∈N).af(x)dx=?
思考2如果一个函数具有奇偶性,它的定积分有什么性质?
bb* bbbb 例3计算?
9-x-x)dx的值.-3(解如图, 3 2 3 定积分的几何意义得?
3 3 3 -3 2 π×39π 9-xdx==, 22 2 ?
-3xdx=0,定积分性质得 9π3233233 ?
9-x-x)dx=?
9-xdx-?
. -3(-3-3xdx= 2 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分,可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分,再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算.12315227425613 跟踪训练3已知?
,?
,求:
0xdx=,?
1xdx=1xdx=,?
2xdx=4433
(1)?
03xdx;
(2)?
16xdx;(3)?
1(3x-2x)dx.解
(1)?
03xdx=3?
0xdx=3(?
0xdx+?
1xdx) 2 3 23 13 23 2 3 4 2 2 2 3 115 =3×(+)=12; 44 75642422242
(2)?
)=126;16xdx=6?
1xdx=6(?
1xdx+?
2xdx)=6×(+33(3)?
1(3x-2x)dx=?
13xdx-?
12xdx 7151512223=3?
=7-=-.1xdx-2?
1xdx=3×-2×3422☆课堂提高☆1.下列结论中成立的个数是() 2 2 3 2 2 2 3 i31 ①?
xdx=∑3·;i=1nnn13 0 n②?
xdx=lim∑n→∞i=1 n13 0 130 ?
i-1?
3 n3 1·; ni31 ③?
xdx=lim∑3·.n→∞i=1nnA.0B.1C.2D.3【答案】C 2.当n很大时,函数f(x)=x在区间?
?
(i=1,2,?
,n)上的值可以用()近似代替 nn?
?
A. 2 ?
i?
1i?
i B.n?
1?
f?
?
C.?
n?
1?
i?
f?
?
D. n?
n?
【答案】C 【解析】f(x)=x在区间?
?
上的值可以用区间?
?
上每一点对应的函数值近似代替,故选C. nnnn?
?
?
?
3.下列等式不成立的是()A.B.C.D. 2 ?
i?
1i?
?
i?
1i?
?
bab?
?
mf?
x?
?
ng?
x?
?
?
dx=m?
af?
x?
dx+n?
ag?
x?
dx?
?
f?
x?
?
1?
?
dx=?
af?
x?
dx+b-a bbaabbb?
ab?
f?
x?
g?
x?
dx=?
f?
x?
dx?
g?
x?
dx a?
2π?
2πsinxdx=?
0?
2πsinxdx?
?
sinxdx 02π【答案】C 【解析】利用定积分的性质进行判断,选项C不成立.
例如 ?
10xdx?
1111111123,?
xdx?
,?
xdx?
,?
x3dx?
?
xdx?
?
x2dx.故选C. 000002346 6 4.已知定积分?
0f(x)dx=8,且f(x)为偶函数,则?
-6f(x)dx等于().A.0B.16C.12D.8【答案】B 【解析】偶函数图象关于y轴对称,故?
-6f(x)dx=2?
0f(x)dx=16,故选B.5.已知 26 6 ?
edx?
e?
1,?
02x1x21edx?
e?
e,?
x2220228xdx?
,?
dx?
2ln2.求:
1x32
(1) ?
x1?
;
(2);(3)e?
?
dx.e?
3xdxedx?
?
?
0?
1?
?
0x?
?
x2【解析】
(1)
(2) ?
20exdx?
?
exdx?
?
exdx?
e?
1?
e2?
e?
e2?
1. 012x222x2000012?
?
e02x?
3x?
dx=?
edx+?
?
3x?
dx=?
edx+3?
x2dx=e2-1+8=e2+7. 2(3) ?
212122?
x1?
2xdx=+=e-e+ln2.e?
dxedx?
?
?
?
112xx?
?
2 2 6.利用定积分的定义计算?
1(-x+2x)dx的值,并从几何意义上解释这个值表示什么.
(2)近似代替、求和 取ξi=1+(i=1,2,?
,n),则 nii2i1 Sn=∑f(1+)·Δx=∑[-(1+)+2(1+)]·i=1i=1nnnnnin122222 =-3[(n+1)+(n+2)+(n+3)+?
+(2n)]+2[(n+1)+(n+2)+(n+3)+?
+2n] nn12n?
2n+1?
?
4n+1?
n?
n+1?
?
2n+1?
2n?
n+1+2n?
=-3[-]+2· n66n21111111 =-(2+)(4+)+(1+)(2+)+3+. 3nn6nnn(3)取极限 1111111222 ?
1(-x+2x)dx=limSn=lim[-(2+)(4+)+(1+)(2+)+3+]=,n→∞n→∞3nn6nnn3 222 ?
x=2,y=0与曲线f(x)=-x2+2x所围成的曲边梯形的面积.1(-x+2x)dx=的几何意义为直线x=1, 3
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