数学建模之统计回归模型.docx

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数学建模之统计回归模型

数学建模大作业

统计回归模型

摘要

某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。

通过对所给数据的简单分析，我们可以看

出：

此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。

我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。

在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。

但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。

在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。

通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。

在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。

并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。

通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。

关键词：

销售额、回归模型、自相关性

一、问题提出

某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了

1977-1981年

公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：

百万元）.

（1）

画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。

（2）

监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用

DW检验诊断随机误差项的自相

关性。

（3）

建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。

年

季

t

公司销售额

行业销售额

年

季

t

公司销售额

行业销售额

y

x

y

x

1977

1

1

20.96

127.3

1979

3

11

24.54

148.3

2

2

21.40

130.0

4

12

24.30

146.6

3

3

21.96

132.7

1980

1

13

25.00

150.2

4

4

21.52

129.4

2

14

25.64

153.1

1978

1

5

22.39

135.0

3

15

26.36

157.3

2

6

22.76

137.1

4

16

26.98

160.7

3

7

23.48

141.2

1981

1

17

27.52

164.2

4

8

23.66

142.8

2

18

27.78

165.6

1979

1

9

24.10

145.5

3

19

28.24

168.7

2

10

24.01

145.3

4

20

28.78

171.7

1

二、基本假设

假设一：

模型中ε（对时间t）相互独立。

三、符号说明

公司销售额：

y（百万）

行业销售额：

x（百万）

概念介绍：

1.自相关：

自相关（autocorrelation），又称序列相关（serialcorrelation）是指总体

回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。

即不同观测点上的误差项彼此相关。

2．置信区间：

如果P（axb）=1-α，α=0.1或0.05，则称区间[a,b]为x的置信度为

1-α的置信区间。

3.时间序列：

时间序列法是一种定量预测方法，亦称简单外延方法。

时间序列即按时间的推移或排布会对规律的变化有所影响。

四、问题分析

问题一：

表中的数据是以时间为顺序的。

由于前期的销售额对后期的投资一般有明显的影响，从而对后期的后期的销售额造成影响。

因此在此模型中应考虑到存在自相关，我们可以先建立基本的回归模型，然后再进行自相关性诊断，并建立新的回归模型。

问题二：

在问题一之后，就可以接着求出问题二，然后利用DW检验诊断随机误差项的自相关性。

问题三：

进行了自相关诊断后，将自相关加入模型中，建立消除了随机误差项自相关性的回归模型。

五、模型的建立与求解

5.1问题一

5.1.1问题一的分析

表中数据是以时间为序的，建立基本的回归模型。

5.1.2问题一模型的建立

基本回归模型：

设该公司第t时间的公司销售额为yt，行业销售额为xt。

为了大致分析yt和xt的关系，首先利用表中的数据作出yt对xt关系作出散点图，如下（见图中的“+”）：

做散点图：

2

可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此本题用线性回归模型拟合非常合适。

5.2问题二

5.2.1问题二的分析

从问题一中的图形可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此可建立一元线性回归模型。

5.2.2问题二模型的建立

由题意建立一元线性回归模型

yt01xtt

（1）

模型

（1）中除了行业销售额和公司销售额的影响外，影响

yt的其他因素都包含在随机

误差t内，这里假设

t（对t相互独立）且服从均值为零的正态分布N（0,）。

5.2.3问题二模型的求解

根据表中的数据。

对模型（

1）直接利用MATLAB统计工具箱求解（具体算法见附录），

得到的回归系数估计值及置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R,F,

p的结果见下表：

参数

参数估计值

参数置信区间

0

-1.4548

【-1.9047

-1.0048

】

0

0.1763

【0.1732

0.1793

】

R=1.0e+004*0.0001

F=1.0e+004*1.4888

P=1.0e+004*0.0000

将参数估计值代入

（1）得到：

3

yt

1.45480.1763xt

（2）

用MATLAB中rstool命令得到的交互式画面见图

（1），由此可以得出不同水平下的预测值及其置信区间。

通过左下方的Export下拉式菜单。

可以输出模型的统计结果。

图1

自相关性诊断与处理方法从表面上来看得到的基本模型

（2）拟合度（R）非常之高，接近你100%，应该很满意了，但是，这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列（将原表中

的数据打乱不影响模型

（2）的结果）。

实际上对于时间序列数据做回归分析时，模型的随机

误差t有可能存在相关性，违背模型关于t（对时间t）相互独立的基本假设，其他相关因

素对公司销售额的影响肯能也有时间上的延续，包含在随机误差t中，即随机误差t会出现

自相关性。

^

t的估计值，画出et~et1的散点图，能够从直观上判

残差et

ytyt可以作为随机误差

断t的自相关性。

模型

（2）的残差可在计算过程中得到表1，以及数据et

~et1的图见图2

t

1

2

3

4

5

e

-0.0282

-0.0642

0.0198

0.1616

0.0443

t

6

7

8

9

10

e

0.0441

0.0412

-0.0608

-0.0968

-0.1516

t

11

12

13

14

15

e

-0.1505

-0.0555

-0.0255

0.1033

0.0828

t

16

17

18

19

20

e

0.1034

0.0263

0.0395

-0.047

-0.0359

表1

4

图2

为了对ε的字相关性做定量的诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下模型

yt01xt

t

，tt1ut

（3）

其中

是自相关系数，|

|

1,ut相互独立且服从均值为

0的正态分布。

若=0，则退化为普通的回归模型；若>0，则随机误差t存在正的自相关；若<0，则随

机误差t存在负的自相关。

利用D-W检验诊断自相关现象如下：

利用MATLAB算出:

y0=0.0980y1=0.1326

^

DW=0.7388=0.6306

（具体程序见附录）

^^^

因为DW≈2（1-

），

1

所以

0

≤

≤

若

的估计值在

0

附近，则

的值在

2

1

DW4,

DW

^

附近，t的自相关行很弱，若

在正负1附近，则DW接近0或4，t的自相关性很强。

5.2.4问题二结果的分析及验证

5

要根据DW的具体数值确定

t是否存在自相关，查D-W分布表，可以得到检验的临界值dL

和dU，然后根据区间来确定。

利用表1给出的残差et,根据以上式子可得出

DW=0.7388，对于显著性水平α=0.05，

n=20,k=2,查D-W分布表，得到检验的临界值

dL

=1.2和

dU

=1.4.现在DW<

因此可以认

dL

^

为随即误差存在正自相关，而且可得出=0.6306。

5.3问题三

5.3.1问题三的分析

题目要求建立消除了随机误差项目自相关性后的回归模型，即是加入了自相关后的回归模型，下面我们将自相关性加入问题中。

5.3.2问题三模型的求解

^

=1

DW

加入自相关后的回归模型

2

做变换

yt*

yt

yt1

，xt*

xtx1,t1

（4）

则模型（3）转化为

*

*

*

ut

，

*

0（1

）

（5）

yt

0

1x1t

0

其中ut相互独立且服从均值为零的正态分布，所以（5）是普通回归模型。

^

yt*，x1t*估计模型（5）

以

的估计值带入（3）和（4）做变换，利用变换后的数据