圆锥曲线综合检测2解析版高考数学圆锥曲线中必考知识专练.docx
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圆锥曲线综合检测2解析版高考数学圆锥曲线中必考知识专练
专题14:
圆锥曲线综合检测2(解析版)
一、单选题
1.椭圆
的一个焦点坐标是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
由
判断出焦点位置,再求出
即可得出答案.
【详解】
因为
,所以
,所以椭圆焦点在x轴上,
,所以
,所以椭圆焦点坐标为
,
故选:
C.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程、简单几何性质,属于基础题.
2.已知椭圆C:
,则C的长轴长为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
根据椭圆标准方程求得
,再根据长轴长为
得结果.
【详解】
所以长轴长为
故选:
B
【点睛】
本题考查根据椭圆方程求基本量,考查基本求解能力,属基础题.
3.设双曲线
的渐近线方程为
,则
的值为()
A.4B.3C.2D.1
【答案】C
【分析】
先根据双曲线
求出渐近线方程,再与
比较即可求出
的值.
【详解】
由双曲线的几何性质可得,双曲线
的渐近线方程为
,又因为渐近线方程为
,即
,故
,选C.
【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属基础题.
4.下列双曲线中,焦点在
轴上且渐近线方程为
的是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析:
焦点在
轴上的是C和D,渐近线方程为
,故选C.
考点:
1.双曲线的标准方程;2.双曲线的简单几何性质.
5.设抛物线
的焦点为F,过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A,B两点,若线段
的中点为E,O为坐标原点,且
,则
()
A.2B.3C.6D.12
【答案】A
【分析】
利用点差法求解,设
,由题意得
,相减化简得
,得
,因为E在直线
上,所以
,再由
,可求得
【详解】
解:
由题意可知
,则直线
为
,
设
,由题意得
,相减得:
,
因为E为线段
的中点,所以
,即
,
因为E在直线
上,所以
,
又因为
,所以
.
故选:
A
【点睛】
此题考查直线与抛物线的位置关系,考查点差法的应用,属于基础题
6.已知椭圆
,则该椭圆的焦距为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
利用椭圆的性质以及
即可求解.
【详解】
由
,则
,
,
所以
,
所以
,
所以该椭圆的焦距为
.
故选:
B
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.
7.椭圆
的左、右焦点为
,
,过
垂直于x轴的直线交C于A,B两点,若
为等边三角形,则椭圆C的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
利用椭圆方程,求出焦点坐标,通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.
【详解】
椭圆
的左、右焦点为
,
,
过
垂直于x轴的直线交C于A,B两点,若
为等边三角形,
可得
,所以:
,
即
,
∵
,解得
,
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.
8.已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
,过
作垂直于实轴的弦
,若
,则
的离心率
为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
首先根据已知条件建立等量关系,进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率.
【详解】
解:
双曲线的左右焦点分别为
、
,过
作垂直于实轴的弦
,若
,
则:
△
为等腰直角三角形.
由于通径
,
则:
,
解得:
,
所以:
,
解得:
;
由于e>1,
所以:
,
故选:
C.
【点睛】
本题考查通径在求离心率中的应用,等腰直角三角形的性质的应用.属于基础题型.
9.双曲线
:
(
,
)的焦距为4,且其渐近线与圆
:
相切,则双曲线
的方程为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
利用双曲线的焦距以及双曲线的渐近线与圆
相切,推出
、
的方程组,求解
,
,即可得到双曲线方程.
【详解】
双曲线
的焦距为4,所以
;
双曲线
的两条渐近线
与圆
相切,可得
,
又
,可得
,
,
双曲线
的方程为:
.
故选:
D
【点睛】
本题考查了双曲线渐近线,双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,属于基础题.
10.斜率存在的直线
点
且与双曲线
:
有且只有一个公共点,则直线
斜率为()
A.
B.
C.2或
D.
或
【答案】D
【分析】
设直线方程,联立方程,令方程只有一个解或两个相等的实数根即可得解.
【详解】
由题意,设直线
的方程为
,
代入双曲线方程化简可得
,
当
即
时,
只有一解,
满足直线
与双曲线有且只有一个公共点;
当
时,令
,解得
,此时方程有两个相等实数根,
满足直线
与双曲线有且只有一个公共点;
所以
或
.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了直线与双曲线位置关系的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
11.已知双曲线的方程
,则该双曲线的焦点到渐近线的距离为()
A.
B.
C.3D.5
【答案】B
【分析】
根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程,结合点到直线的距离公式,即可求解.
【详解】
由题意知,双曲线的右焦点为
,双曲线的渐近线方程为
,
不妨取
,所以点
到渐近线的距离
,
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,以及点到直线的距离公式的应用,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
12.已知抛物线
的焦点为
,过点
的直线
与抛物线
交于
两点,且
,则
为坐标原点
的面积
等于()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
设
,
,直线
的方程为
,直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得
,由
得
,从而可求得
,
,再由面积公式
得结论.
【详解】
设
,
,直线
的方程为
,将
代入
,消去
可得
,所以
,
.
因为
,所以
,所以
,则
,
,所以
,所以
,
又
,所以
的面积
.
故选:
D.
【点睛】
方法点睛:
本题考查直线与抛物线相交问题,解题方法是应用韦达定理.
即设
,
,直线
的方程为
,直线方程代入抛物线方程后整理,应用韦达定理得
,再结合已知求出
,然后求出三角形面积.
二、填空题
13.如果椭圆
上一点P到左焦点的距离为6,那么点P到右焦点的距离是______.
【答案】14
【分析】
根据椭圆的定义即可求出.
【详解】
设椭圆的左右焦点为
,由题可得
,
由椭圆的定义
,
即
.
故答案为:
14.
14.在平面直角坐标系
中,若双曲线
:
的一条准线与抛物线
:
的准线重合,则正数
的值是___.
【答案】3
【分析】
由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程,即可得出正数
.
【详解】
抛物线
:
的准线方程为
,双曲线
:
的一条准线方程为
,根据题意得
,解得
.
故答案为:
3
【点睛】
本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其准线方程,属于基础题.
15.已知抛物线C:
y2=2px(p>0),直线l:
y=2x+b经过抛物线C的焦点,且与C相交于A、B两点.若|AB|=5,则p=___.
【答案】2
【分析】
法1:
首先利用直线过焦点,得
,再利用直线与抛物线方程联立,利用根与系数的关系表示
,计算求得
;法2:
由已知
,求得
的值,再利用弦长公式
,求
的值.
【详解】
法1:
由题意知,直线
,即
.
直线
经过抛物线
的焦点,
,即
.
直线
的方程为
.
设
、
,联立
,消去
整理可得
,
由韦达定理得
,又
,
,则
.
法2:
设直线的切斜角为
,则
,得
,∴
,得
.
故答案为:
2
【点睛】
结论点睛:
当直线过抛物线的焦点时,与抛物线交于
两点,
称为焦点弦长,有如下的性质:
直线与抛物线交于
,①
;②
;③
为定值
;④弦长
(
为直线
的倾斜角);⑤以
为直径的圆与准线相切;⑥焦点
对
在准线上射影的张角为
.
16.已知经过点
的直线
与抛物线
相交于
,
两点,点
,且
,则
的面积为______.
【答案】
【分析】
设直线
,联立
,由
,利用韦达定理求得
,然后再求得点
到
的距离及弦长
求解.
【详解】
设直线
,
设点
,
,联立
,得
,
则
,
,
则
,
.
由题意知
,
所以
,
展开并代入化简得
,
所以
,
所以
的方程为
,
点
到
的距离为
,
,
所以
.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系研究三角形面积问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
三、解答题
17.已知抛物线
的准线方程为
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)直线
交抛物线于
、
两点,求弦长
.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)8.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)依已知得
,所以
;(Ⅱ)设
,
,由
消去
,得
再利用韦达定理求弦长
.
【详解】
(Ⅰ)依已知得
,所以
;
(Ⅱ)设
,
,由
消去
,得
,
则
,
,
所以
.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算,意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.
18.在平面直角坐标系xOy中,双曲线
:
经过点
,其中一条近线的方程为
,椭圆
:
与双曲线
有相同的焦点
椭圆
的左焦点,左顶点和上顶点分别为F,A,B,且点F到直线AB的距离为
.
求双曲线
的方程;
求椭圆
的方程.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
【分析】
由双曲线经过点
,可得m;再由渐近线方程可得m,n的方程,求得n,即可得到所求双曲线的方程;
由椭圆的a,b,c的关系式,求得F,A,B的坐标,可得直线AB的方程,由点到直线的距离公式,可得a,b的关系式,解方程可得a,b,进而得到所求椭圆方程.
【详解】
解:
双曲线
:
经过点
,
可得
,
其中一条近线的方程为
,可得
,
解得
,
,
即有双曲线
的方程为
;
椭圆
:
与双曲线
有相同的焦点,
可得
,
椭圆
的左焦点,左顶点和上顶点分别为
,
,
,
由点F到直线AB:
的距离为
,可得
,化为
,
由
解得
,
,
则椭圆
的方程为
.
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程的求法,注意运用方程思想,考查运算能力,属于基础题.
19.己知椭圆
的一个顶点坐标为
,离心率为
,直线
交椭圆于不同的两点
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设点
,当
的面积为
时,求实数
的值.
【答案】(Ⅰ):
y2=1;(Ⅱ)m
【分析】
(Ⅰ)根据顶点坐标、离心率和
的关系可求得
,从而得到
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