北师大数学八年级上册第七章《平行线的证明》全章复习与巩固基础.docx
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北师大数学八年级上册第七章《平行线的证明》全章复习与巩固基础
《平行线的证明》全章复习与巩固(基础)知识讲解
【学习目标】
1.了解定义及命题的概念与构成,并能通过证明或举反例判定命题的真假;
2.区别平行线的判定与性质,并能灵活运用;
3.理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、定义、命题及证明
1.定义:
一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题:
判断一件事情的句子,叫做命题.
要点诠释:
(1)每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
(2)正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
(3)公认的真命题叫做公理.
(4)经过证明的真命题称为定理.
3.证明:
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这种演绎推理的过程称为证明.
要点诠释:
(1)实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确,必须推理论证后才能得出正确的结论.
(2)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.
(3)判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.
要点二、平行线的判定与性质
1.平行线的判定
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.
要点诠释:
根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:
(1)平行线的定义:
在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.
(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).
(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
(4)平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:
(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.
(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.
要点三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理:
三角形的内角和等于180°.
推论:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
要点诠释:
(1)由一个公理或定理直接推出的真命题,叫做这个公理或定理的推论.
(2)推论可以当做定理使用.
【典型例题】
类型一、定义、命题及证明
1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.
如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.
【答案与解析】
解:
条件:
等腰三角形的两条边长为5和7
结论:
等腰三角形的周长为17
是假命题;反例:
当腰长为7,底边长为5时,周长为19
【总结升华】本题考查了命题与定理的相关知识.关键是明确命题与定理的组成部分,会判断命题的题设与结论.
举一反三:
【变式1】某工程队,在修建兰定高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,根据什么公理可以说明这样做能缩短路程().
A.直线的公理B.直线的公理或线段最短公理C.线段最短公理D.平行公理
【答案】B
【变式2】下列命题真命题是().
A.互补的两个角不相等B.相等的两个角是对顶角
C.有公共顶点的两个角是对顶角D.同角或等角的补角相等
【答案】D
2.叙述并证明三角形内角和定理.
要求写出定理、已知、求证,画出图形,并写出证明过程.
【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180°,可以把三角形三个角转移到一个平角上,利用平角的性质解答.
【答案与解析】
定理:
三角形的内角和是180°;
已知:
△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C;
求证:
∠A+∠B+∠C=180°.
证明:
如下图,过点A作直线MN,使MN∥BC.
∵MN∥BC,
∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC(两直线平行,内错角相等).
∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°(平角定义),
∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换).
即∠A+∠B+∠C=180°.
【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理,即三角形的内角和是180°.
类型二、平行线的判定与性质
3.(佳木斯中考)如图所示,请你填写一个适当的条件:
________,使AD∥BC.
【思路点拨】欲证AD∥BC,结合图形,故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件.
【答案】∠FAD=∠FBC,或∠ADB=∠CBD,或∠ABC+∠BAD=180°.
【解析】
解:
本题答案不唯一,如:
利用“同位角相等,两直线平行”,可添加条件∠FAD=∠FBC;利用“内错角相等,两直线平行”,可添加条件∠ADB=∠CBD;利用“同旁内角互补,两直线平行”,可添加条件∠ABC+∠BAD=180°.
【总结升华】这是一道开放性试题,分清题设和结论:
结论:
AD∥BC,题设可根据平行线的判定方法,逐一寻找即可.
举一反三:
【变式】(2015春•召陵区期末)如图所示,已知∠1=52°,∠2=52°,∠3=91°,那么∠4= .
【答案】解:
如图,∵∠1=∠2=52°,
∴a∥b,
∴∠3=∠5=91°,
∵∠5+∠4=180°,
∴∠4=180°﹣∠5=89°.
4.(2016春•雅安校级期中)已知,如图,EF⊥AC于F,DB⊥AC于M,∠1=∠2,∠3=∠C,求证:
AB∥MN.
【思路点拨】由于EF⊥AC,DB⊥AC得到EF∥DM,根据平行线的性质得∠2=∠CDM,而∠1=∠2,则∠1=∠CDM,根据平行线的判定得到MN∥CD,所以∠C=∠AMN,又∠3=∠C,于是∠3=∠AMN,然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN.
【答案与解析】
证明:
∵EF⊥AC,DB⊥AC,
∴EF∥DM,
∴∠2=∠CDM,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠CDM,
∴MN∥CD,
∴∠C=∠AMN,
∵∠3=∠C,
∴∠3=∠AMN,
∴AB∥MN.
【总结升华】本题反复应用了平行线的判定与性质,只有对判定和性质熟练掌握才能做到运用自如.
举一反三:
【变式】如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.
【答案】∠AED=∠ACB,理由如下:
∵∠1+∠2=180°,又∠1+∠4=180°,
∴∠2=∠4.
∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行).
∴∠5=∠3.
又∠3=∠B,
∴∠5=∠B.
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行).
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
类型三、三角形的内角和定理及推论
5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD如图所示.
【思路点拨】将四边形转化为三角形去解决.
【答案与解析】
证明:
如下图,连接AC∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,
∠D+∠DAC+∠ACD=180°,
∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°.
∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°.
∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°.
即四边形ABCD的内角和等于360°.
【总结升华】把不熟悉的多边形分成熟悉的三角形,利用三角形的内角和推导多边形的内角和是解题的关键,同理可以得到n边形的内角和公式为:
(n-2)×180°.
6.(2015春•宁城)图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:
;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:
个;
(3)图2中,当∠D=50度,∠B=40度时,求∠P的度数.
(4)图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结果,不必证明).
【答案与解析】解:
(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠C+∠B;
(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;
②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;
③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”;
④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”;
⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”;
⑥线段AN、CD相交于点O,形成“8字形”;
故“8字形”共有6个;
(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
①+②得:
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,
即2∠P=∠D+∠B,
又∵∠D=50度,∠B=40度,
∴2∠P=50°+40°,
∴∠P=45°;
(4)关系:
2∠P=∠D+∠B.
由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2,②
①+②得:
∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1,
∠D+2∠B=2∠P+∠B,
即2∠P=∠D+∠B.
【总结升华】本题主要考查了三角形内角和定理,角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力.
举一反三:
【变式】在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的外角等于________.
【答案】120°
【巩固练习】
一、选择题
1.下列句子中,是命题的是().
A.今天的天气好吗B.作线段AB∥CDC.连接A、B两点D.正数大于负数
2.下列命题是假命题的是().
A.如果a∥b,b∥c,那么a∥cB.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等D.矩形的对角线相等且互相平分
3.下列叙述错误的是().
A.所有的命题都有条件和结论B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题D.所有的公理都是真命题
4.(2016•临邑县一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=26°,则∠CDE度数为( )
A.71°B.64°C.80°D.45°
5.若直线a∥b,b∥c,则a∥c的依据是().
A.平行的性质
B.等值代换
C.平行于同一直线的两条直线平行
D.以上都不对
6.(2015春•山亭)如图所示是一条街道的路线图,若AB∥CD,且∠ABC=130°,那么当∠CDE等于( )时,BC∥DE.
A.40°B.50°C.70°D.130°
7.如下图,直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H,已知∠1=∠2=50°,GM平分∠HGB交直线CD于点M.则∠3=().
A.60°B.65°C.70°D.130°
8.如下图,已知AB∥CD,若∠A=20°,∠E=35°,则
C等于().
A.20°B.35°C.45°D.55°
二、填空题
9.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB、CD于G、H两点,若∠1=50°,则∠EGB=________.
10.命题“如果a≠b,那么a2≠b2”的题设是________,结论是________________.
11.(2015•丹东)如图,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,则∠3= °.
12.(2016•莘县一模)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= .
13.如图,已知AB∥CD,CE,AE分别平分∠ACD,∠CAB,则∠1+∠2=________.
14.同一平面内的三条直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a________c.若a∥b,b∥c,则a________c.若a∥b,b⊥c,则a________c.
15.如图,直线l1∥l2∥l3,点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上.若∠1=70°,∠2=50°,则∠ABC=120
度.
16.如图,有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上.如果∠1=18°,那么∠2的度数是12°
.
三、解答题
17.如图所示,直线AB、CD、EF相交于点O,若∠1+∠2=90°,∠3=40°,求∠1的度数,并说明理由.
18.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,你能推断哪两条线段平行?
说明理由.
19.如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB的度数.
20.(2015春•邳州市)△ABC中,∠B>∠C,∠BAC的平分线交BC于点D,设∠B=x,∠C=y.
(1)如图1,若AE⊥BC于点E,试用x、y表示∠EAD,并说明理由.
(2)如图2,若点F是AD延长线上的一点,∠BAF、∠BDF的平分线交于点G,则∠G= .(用x、y表示)
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D;
2.【答案】C;
【解析】当两直线平行时,内错角相等.
3.【答案】B;
4.【答案】A;
【解析】由折叠可得∠ACD=∠BCD,∠BDC=∠CDE,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=45°,
∵∠A=26°,∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°,∴∠CDE=71°,故选A.
5.【答案】C;
【解析】平行线的传递性.
6.【答案】B;
【解析】∵AB∥CD,且∠ABC=130°,∴∠BCD=∠ABC=130°,
∵当∠BCD+∠CDE=180°时BC∥DE,∴∠CDE=180°﹣∠BCD=180°﹣130°=50°,
故选:
B.
7.【答案】B;
【解析】由∠1=∠2,得到AB∥CD,由邻补角与角平分线的性质得;∠BGM=
(180°-50°)×
=65°,再由平行线的性质得∠3的度数.
8.【答案】D;
【解析】由三角形内角和定理推论1得∠EFB=55°,由平行线的性质得∠C的度数.
二、填空题
9.【答案】50°;
【解析】因为AB∥CD,所以∠1=∠AGF,因为∠AGF与∠EGB是对顶角,所以∠EGB=∠AGF,故∠EGB=50°.
10.【答案】a≠b,a2≠b2;
【解析】“如果”后是题设,“那么”后是结论.
11.【答案】110;
【解析】∵∠2=∠MEN,∠1=∠2=40°,∴∠1=∠MEN,∴AB∥CD,∴∠3+∠BMN=180°,
∵MN平分∠EMB,∴∠BMN=
,∴∠3=180°﹣70°=110°.
故答案为:
110.
12.【答案】120°;
【解析】∵∠ABC=42°,∠A=60°,∠ABC+∠A+∠ACB=180°.∴∠ACB=180°﹣42°﹣60°=78°.又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD.∴∠FBC=
,∠FCB=
.又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°.∴∠BFC=180°﹣21°﹣39°=120°.
13.【答案】90°;
【解析】∠BAC+∠ACD=180°,
,即∠1+∠2=90°.
14.【答案】∥,∥,⊥;
15.【答案】120;
【解析】如下图,根据两直线平行,同位角相等求出∠3,再根据两直线平行,内错角相等求出∠4,然后相加即可得解.
16.【答案】12°;
【解析】根据三角形内角和定理可得∠1+∠3=30°,则∠3=30°-18°=12°,由于AB∥CD,然后根据平行线的性质即可得到∠2=∠3=12°.
三、解答题
17.【解析】
解:
因为∠2=∠3(对顶角相等),∠3=40°(已知),
所以∠2=40°(等量代换).又因为∠1+∠2=90°(已知),
所以∠1=90°-∠2=50°.
18.【解析】
解:
AB∥CD,理由如下:
因为AC平分∠DAB(已知),所以∠1=∠3(角平分线定义).又因为∠1=∠2(已知),所以∠2=∠3(等量代换),所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
19.【解析】
解:
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABO=∠CBO,∠BCD=∠ACD=30°.
又∵∠A=80°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°.
∴∠CBO=
∠ABC=
×40°=20°.
∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°.
20.【解析】
解:
∵∠B=x,∠C=y,
∴∠BAC=180°﹣x﹣y,
∵∠BAC的平分线交BC于点D,
∴∠BAD=
∠BAC=
(180°﹣x﹣y),
在Rt△ABE中,∠BAE=90°﹣x,
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=
(180°﹣x﹣y)﹣(90°﹣x)=
x﹣
y;
(2)∵∠BAD=
∠BAC=
(180°﹣x﹣y),AG平分∠BAD,
∴∠BAG=
∠BAD=
(180°﹣x﹣y),
∵∠BDF=∠BAD+∠B,
∴∠G=
∠BDF﹣∠GAD=
x.
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