安徽省无为县开城中学届高三上学期第二次月考数学理试题.docx
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安徽省无为县开城中学届高三上学期第二次月考数学理试题
安徽省无为县开城中学2015届高三上学期第二次月考数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={x|
},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()
A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]
2.求函数
零点的个数为()
A.
B.
C.
D.
3.三个数
的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
4.设
则
的值为()
A.
B.
C.
D.
5.已知直线
与曲线
相切于点
,则
()
A.
B.
C.
D.
6.已知△ABC的面积为
,且
,则∠A等于()
A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°
7.若
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
8.函数
的图象是由函数
的图象()
A.向左平移
个单位而得到B.向左平移
个单位而得到
C.向右平移
个单位而得到D.向右平移
个单位而得到
9.在
中,若
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
10.现有四个函数:
①
;②
;③
;④
的图象(部分)如下:
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()
A.①④③②B.③④②①
C.④①②③ D.①④②③
开城中学2015届高三第二次月考数学答题卷
班级:
姓名:
第Ⅰ卷(选择题共50分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上.)
11.(理科)设函数
是偶函数,则实数
=______。
(文科)已知函数
是奇函数,则实数
=________.
12.已知
,则
的值是______
13.设
一元二次方程
有正整数根的充要条件是
=_____
14.(理科)由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为_________。
(文科)计算:
=________.
15.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________.
①函数f(x)的最小正周期为
;
②函数f(x)的振幅为2
;
③函数f(x)的一条对称轴方程为x=
;
④函数f(x)的单调递增区间为[
,
];
⑤函数的解析式为f(x)=
sin(2x-
).
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知
,
,其中
.
(1)求
;
(2)求
的值.
17.(本小题满分12分)已知函数
.
(1)求
的最小正周期;
(2)求出函数
在区间
上的单调递减区间。
18.(本小题满分12分)已知函数
(m为常数,且m>0)有极大值9.
(1)求m的值;
(2)若斜率为-5的直线是曲线
的切线,求此直线方程.
19.(本小题满分12分)设
,其中
为正实数.
(Ⅰ)当
时,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若
为
上的单调函数,求
的取值范围。
20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=2cosxsin(x+
)-
.
(1)求函数f(x)的最小正周期T;
(2)若△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对角为B,试求cosB的取值范围,并确定此时f(B)的最大值.
21.(本小题满分14分)如图所示,甲船由A岛出发向北偏东
45°的方向做匀速直线航行,速度为15
海里/小时,在甲
船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里处的B岛
出发,朝北偏东θ(tanθ=
)的方向作匀速直线航行,速度
为10
海里/小时.
(1)求出发后3小时两船相距多少海里?
(2)求两船出发后多长时间距离最近?
最近距离为多少海里?
答案:
选择题:
11.
=___-1_(理科)
=___0_____.(文科)12.
13.3或414.
(理科)
(文科)15:
③⑤
17.解
(1)
∴
(2)
18.(Ⅰ)f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=
m,
当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,
)
(
+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,
即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅰ)f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=
m,
当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,
)
(
+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,
即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,
依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-
.
又f(-1)=6,f(-
)=
,
所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-
=-5(x+
),
即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
19.本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.
解:
对
求导得
①
(I)当
,若
综合①,可知
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以,
是极小值点,
是极大值点.
(II)若
为R上的单调函数,则
在R上不变号,结合①与条件a>0,知
在R上恒成立,因此
由此并结合
,知
20.解:
(1)f(x)=2cosx·sin(x+
)-
=2cosx(sinxcos
+cosxsin
)-
=2cosx(
sinx+
cosx)-
=sinxcosx+
·cos2x-
=
sin2x+
·
-
=
sin2x+
cos2x
=sin(2x+
).
∴T=
=
=π.
21.解:
以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示
的平面直角坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2).
则
,
由tanθ=
可得,cosθ=
,
sinθ=
,
故
(1)令t=3,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20),
|PQ|=
=
=5
.
即出发后3小时两船相距5
海里.
(2)由
(1)的解法过程易知:
|PQ|=
=
=
=
≥20
,
∴当且仅当t=4时,|PQ|取得最小值20
.
即两船出发后4小时时,相距20
海里为两船的最近距离.
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