28苏教版高中数学必修Ⅰ教案231 对数1.docx
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28苏教版高中数学必修Ⅰ教案231对数1
2.3.1 对数
(1)
教学目标:
1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质.
2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程.
3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题.
4.对数的初步应用.
教学重点:
对数定义、对数的性质和运算法则
教学难点:
对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及运算法则的推导
课前练习:
画出函数
的图象,并利用图象回答:
k为何值时,方程|3x-1|=k无解?
有一解?
有两解?
分析:
应用数形结合法来求解.
解析:
函数
的图象如图所示.
当k<0时,直线y=k与函数
的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k
1时,直线y=k与函数
的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当0 的图象有两个不同交点,所以方程有两解. 教学过程: 已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,求20年后国民生产总值是原来的多少倍? 分析: 设原来国民生产总值为1, 则20年后国民生产总值 . ∴20年后国民生产总值是原来的1.07220倍. 这是个实际应用问题,我们把它转化为数学中知道底数和指数,求幂值的问题.也就是上面学习的指数问题. 新问题: 已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,问经过多年后国民生产总值是原来的4倍? 分析: 设原来国民生产总值为1,需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程得: . 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值,求指数的问题,这是上述问题的逆问题,即本节的对数问题. 1.对数的概念 一般地,如果a(a>0,a≠1)的 次幂等于N,就是 , 那么数 就叫做以a为底N的对数(logarithm), 记作 , 其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子 叫做对数式. 注: 对数这个定义的认识及相关例子: (1)对数式 实际上就是指数式中的指数 的一种新的变形式. (2)对数是一种新的运算.是知道底( )和幂值( )求指数( )的运算. 联想·质疑 对数的定义中为什么规定 呢? ①若a<0,且N为某些数值时,x不存在.如由于式子 没有实数解,所以不存在 ,所以规定a不能小于0. ②若a=0,且N≠0时 不存在;N=0时, 无意义,所以规定a≠0. ③若a=1,且N不为1时,x不存在, 不存在;而a=1,N=1时,x可以为任何实数,不能确定.所以规定a≠1. ④由于正数的任何次幂都是正数,即 >O(a>0),故N= >0.如果用计算器计算真数为负数的情况,计算器会提示出错信息. 在规定了后,对数记号便随着a,N的确定而惟一确定,根据这一规定,我们知道并不是每一个指数式都能直接改写成对数式.如 不能写成 . 练习: (课时训练P41练习2) 对数式 中,实数 的取值范围是() A. B. C. D. 分析: 要注意对数等式的限制条件! 应选C. 实际上 这个式子涉及到了三个量 , , ,由方程的观点可得“知二求一”. 知道a,b可求N,即前面学过的指数运算;知道b(为自然数时)、N可求a,即初中学过的开根号运算,记作 ;知道a,N可以求x, 即今天要学习的对数运算,记作logaN=b.因此, 对数是一种新的运算,一种知道底和幂值求指数的运算.而每学一种新的运算,首先要学习它的记法,对数运算的记法为logaN, 读作: 以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法. 2.两个特殊的对数 看: 两个在对数发展过程中有着重要意义的对数. 对数 ( ) 底数a=10时,叫做常用对数(commonlogarithm),简记 ; 底数 时,叫做自然对数(naturallogarithm),记作 , 其中 是个无理数,即 ≈2.71828……. 实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆对数这个概念,请同学们填写下列表格. 式子 名称 指数式 对数式 式子 名称 指数式 底数 指数 幂值 对数式 底数 对数 真数 题型1: 指对数式的互化 例1. (1)将下列指数式写成对数式: ①210=1024;②10-3= . (2)将下列对数式写成指数式: ①log0.46.25=-2; ②lg2=0.3010. 分析: 公式 N=b ab=N要会灵活运用. 解析: (1)①log21024=10;②lg =-3. (2)①0.4-2=6.25;②100.3010=2. 练习1: (课本P58第1题) 答案: 2; ;-1;0;1;-1;0;1. 练习2: (课时训练P42第6题) 已知 求 的值. 解析: ∵ ∴ ∴ ∴ . 从本题的求解过程中,你能得到什么收获? 答: 对含有多层对数符号的式子,从外向内象脱衣服一样,一层一层地将对数符号剥掉. 类比: 求函数的值域时,从内向外象穿衣服一样,一层一层地按对应法则利用不等式的性质求解. 例2.求下列各式中的x值: (1)x=log27 ; (2)log x=-4; (3)logx8=-3.(4) 分析: 对于对数和对数的底数与真数三者之间,已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个. 解析: (1)把x=log27 化为27x= ,即33x=3-2,∴x=- ; (2)把log x=-4化为x=( )-4=16; (3)把logx8=-3化为x-3=8,即x=8 = . (4) 或 , 但必须: ∴ 应舍去, . 即 为所求的值. (在对数式的求解中要牢记: 真数必须大于零,底数必须大于零且不等于1) 反思·领悟: 与 是反映相同的三个变量 、 、 之间的同一种关系的两种不同的表达式,前一个叫对数式,后一个叫指数式.要注意转换过程中各字母的位置变化. 练习: (课时训练P41例2) (1) ; (2) ; (3) ;(4) . 答案: (1) ∴ . (2) . (3) . 2.两个重要的公式 (1)对数恒等式 . 分析: 证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知识只有定义,所以显然要利用定义加以证明.而对数定义是建立在指数基础之上的,所以必须先设出指数等式或转化为指数等式,再转化成对数等式,再进行证明. 证明: 设 化成指数式可得 , 即得 . (2)对数恒等式 . 证明: 将 代入 ,即得 . 注: 当幂的底数和对数的底数相同时,才可以用公式 . 例3.(课时训练P42练习5) 解析: log (3+2 )+ =log ( +1)2+ . 例4.计算: log2.56.25+lg +ln + 的值 分析: 先化底数,即将对数的底数与真数的底数化为相同的值,再利用对数恒等式求值. 解析: log2.56.25+lg +ln + . 反思·领悟: 几个常用的对数恒等式 (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) . 练习: (课时训练P42第7题) 是方程 的两根,求 的值. 解析: 由题意,得 则 ∴ . 作业: 设 则 . 答案: 引申: 求解析式
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