考研资料数学冲刺模拟卷答案与解析数学三.docx
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考研资料数学冲刺模拟卷答案与解析数学三
2018考研数学冲刺模拟卷(数学三)
答案与解析
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)若函数在处连续,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A.
【解析】在处连续选A.
(2)二元函数的极值点是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D.
【解析】令
由知,为极值点.选D.
(3)设函数可导,且,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A.
【解析】,所以选A。
(4)设函数收敛,则()
(A)1(B)2(C)-1(D)-2
【答案】C.
【解析】
因为原级数收敛,所以.选C.
(5)设为阶矩阵,且,则下列结论正确的是
(A)的任意阶子式都不等于零(B)的任意个列向量线性无关
(C)方程组一定有无穷多解(D)矩阵经过初等行变换可化为
【答案】C.
【解析】对于选项C,所以选项C正确,
对于选项A和B,r(A)=m,由秩的定义可得,存在一个m阶行列式不为零,从而m阶行列式所在的列向量组线性无关,所以选项A和B不正确
对于选项D,矩阵经过初等行变换和列变换才可化为,所以选项D不正确
(6)设,
其中为任意实数,则
(A)必线性相关(B)必线性无关
(C)必线性相关(D)必线性无关
【答案】D.
【解析】
所以,从而选项A和B均不正确
,从而选项C不正确
利用排除法可得正确答案为D
对于选项D,,
从而可得,所以必线性无关
(7)设二维随机变量的联合分布函数为,边缘分布函数分别为和,则
(A)(B)
(C)(D)
【答案】D.
【解析】设,则
所以
所以正确答案为D
(8)设总体服从正态分布,,…,是取自总体的简单随机样本,其均值、方差分别为,.则
(A)(B)
(C)(D)
【答案】C.
【解析】
而,且与相互独立
所以
所以正确答案为C.
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
【答案】.
【解析】
.
(10)已知,则.
【答案】.
【解析】交换积分次序:
.
(11)设某产品的需求函数为,其中为价格,则需求弹性函数为 .
【答案】
【解析】
(12)设函数具有一阶连续偏导数,且,,
则.
【答案】.
【解析】故
,
因此,即,再由,可得
(13)设为四维非零的正交向量,且,则的所有特征值为.
【答案】0,0,0,0
【解析】设矩阵的特征值为,则的特征值为
由为四维非零的正交向量
从而
所以的特征值的特征值为
所以4阶矩阵的4个特征值均为0.
(14)设二维随机变量服从正态分布,则.
【答案】
【解析】
所以相互独立相互独立,相互独立
同理
从而
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)求极限
【答案】.
【解析】,令,则有
(16)(本题满分10分)计算积分,其中是第一象限中以曲线与轴为边界的无界区域。
【答案】.
【解析】
(17)(本题满分10分)求
【答案】.
【解析】原式=
.
(18)(本题满分10分)设是区间上的任一非负连续函数,在区间内可导,且试证明在内,存在唯一实根.
【解析】
(1)要证,使;令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理:
又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,,使.
(2)由,知在内单调增,故
(1)中的是唯一的.
(19)(本题满分10分)设函数在内具有二阶导数,且满足等式,若求函数的表达式.
【解析】(I)由于题目是验证,只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了
同理
代入,得
,
即.
则对应的特征方程为,,故.
由得,即
(20)(本题满分11分)设均为四维列向量,,非齐次线性方程组的通解为
(Ⅰ)求方程组的通解;
(Ⅱ)求方程组的通解.
【解析】(Ⅰ)由的通解为
可得,即
所以可由线性表出,可由线性表出即可由线性表出
从而
所以方程组只有唯一解
②+2①得
所以程组的唯一解为;
由(Ⅰ)可得可由线性表出,可由线性表出
从而
所以
所以齐次线性方程组的基础解系中有2个线性无关的解向量,非齐次线性房出租有无穷多解
由(Ⅰ)中的
即
且线性无关
所以的基础解系为
由
可得的一个特解为
所以的通解为:
.
(21)(本题满分11分)设二次型的
矩阵合同于.
(Ⅰ)求常数;
(Ⅱ)用正交变换法化二次型为标准形.
【解析】(Ⅰ)此二次型对应的实对称矩阵
因为实对称矩阵与合同
所以
而,解得
(Ⅱ)
解得矩阵的特征值为
当时,解齐次线性方程组
解得对应的一个线性无关的特征向量为
当时,解解齐次线性方程组
解得对应的一个线性无关的特征向量为
当时,解解齐次线性方程组
解得对应的一个线性无关的特征向量为
因为矩阵有三个不同的特征值,所以三个特征值对应的特征向量均正交
将单位化得
从而正交变换矩阵在正交变换,使得.
(22)(本题满分11分)将三封信随机地投入编号为的四个邮筒.记为1号邮筒内信的数目,为有信的邮筒数目.求:
(Ⅰ)的联合概率分布;
(Ⅱ)的边缘分布;
(Ⅲ)在条件下,关于的条件分布.
【解析】(Ⅰ)的所有可能取值为0,1,2,3;的所有可能取值为1,2,3
从而的所有可能取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)
所以的联合概率分布为
Y
X
1
2
3
0
3/64
9/32
3/32
1
0
9/64
9/32
2
0
9/64
0
3
1/64
0
0
(Ⅱ)的所有可能取值为1,2,3
由的联合分布律得
所以的边缘分布
1
2
3
1/16
9/16
3/8
(Ⅲ)的所有可能取值为1,2,3
从而
所以在条件下,关于的条件分布:
1
2
3
1/9
2/3
2/9
(23)(本题满分11分)已知在直线,,,围成的区域D内服从二维均匀分布.
(Ⅰ)求的边缘概率密度;
(Ⅱ)求与的协方差;
(Ⅲ)求的方差.
【解析】由已知得
(Ⅰ)
(Ⅱ)
所以
(Ⅲ)
从而
所以
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