最全二次函数概念图像性质表格完整版doc.docx
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二次函数的图象
1、二次函数的性质
函数
2
二次函数yaxbxc
a、b、c为常数,a≠0
2
ya(xh)k(a、h、k为常
数,a≠0)
a>0
a<0
a>0
a<0
图
象
(1)抛物线开口向上,并
(1)抛物线开口向下,并
(1)抛物线开口
(1)抛物线开口
向上无限延伸
向下无限延伸
向上,并向上无
向下,并向下无
限延伸
限延伸
性
b
b
(2)对称轴是x=
(2)对称轴是x=
h,顶点是(h,k)
h,顶点是(h,k)
(2)对称轴是x=2a,
(2)对称轴是x=2a,
顶点是
顶点是
b,4acb2
b,4acb2
(2a4a)
(2a4a)
质
(3)当x b b (3)当xh时, x x 随x的增大而增 (3)当2a时,y随 (3)当2a时,y随 y随x的增大而 大;当x>h时, x的增大而减小;当 x的增大而增大;当 减小;当x>h时, y随x的增大而 b b y随x的增大而 减小 x x 增大。 2a时,y随x的 2a时,y随x的 增大而增大 增大而减小 (4)抛物线有最低点,当 (4)抛物线有最高点,当 (4)抛物线有最 (4)抛物线有最 b b 低点,当x=h时, 高点,当x=h时, x x y有最小值 y有最大值 2a时,y有最小 2a时,y有最大 y最小值k y最大值k 4acb2 4acb2 y最小值 y最大值 值,最小值4a 值,最大值4a 2、二次函数解析式的几种形式: ①一般式: 2 yaxbxc(a、b、c为常数,a≠0) ②顶点式: 2 ya(xh)k(a、h、k为常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标。 ③交点式: ya(xx1)(xx2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标,即一 2 元二次方程ax2bxc0的两个根,且a≠0,(也叫两根式) 3、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 22 ①配方法: 将解析式yaxbxc化为ya(xh)k的形式,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线xh,若a>0,y有最小值,当x=h时,y最小值k;若a<0,y有最大值,当x=h时,y最大值k。 b,4acb2②公式法: 直接利用顶点坐标公式(2a4a),求其顶点;对称轴是直线 xba0,y有最小值,当xb时,y最小值4acb; 2a,若2a4a若a0,y有b4acb2 x时,y最大值 最大值,当2a4a 4、抛物线与x轴交点情况: 2 对于抛物线yaxbxc(a≠0) 2 1当b24ac0时,抛物线与x轴有两个交点,反之也成立。 2 2当b24ac0时,抛物线与x轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点。 2 3当b24ac0时,抛物线与x轴无交点,反之也成立。 5、求根公式: bb4ac 2a 赠送以下资料 二次函数的应用》中考题集锦 10题已知抛物线yx2mx2m2(m0). (1)求证: 该抛物线与x轴有两个不同的交点; (2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是否存 在实数m,n,使得AP2PB? 若存在,则求出m,n满足的条件;若不存在,请说明理由. 答案: 解: (1)证法1: yx2mx2m2 xm9m2, 24 9当m0时,抛物线顶点的纵坐标为m20, 4顶点总在x轴的下方. 而该抛物线的开口向上, 该抛物线与x轴有两个不同的交点. 或者,当m0时,抛物线与y轴的交点(0,2m2)在x轴下方,而该抛物线的开口向上, 该抛物线与x轴有两个不同的交点.)证法2: 222 m241(2m2)9m2, 2 当m0时,9m20,该抛物线与x轴有两个不同的交点. (2)存在实数m,n,使得AP2PB. 设点B的坐标为(t,n),由AP2PB知, ①当点B在点P的右边时, t0,点A的坐标为(2t,n), 且t,2t是关于x的方程x2mx2m2n的两个实数根. 22292 m24(2m2n)9m24n0,即nm2. 4 且t(2t)m(I),t (2)tmn2(II) 由(I)得,tm,即m0.将tm代入(II)得,n0. 当m0且n0时,有AP2PB. ②当点B在点P的左边时, t0,点A的坐标为(2t,n), 且t,2t是关于x的方程x2mx2m2n的两个实数根.m24(2m2n)9m24n0,即n9m2. 4 且t2tm(I),t2t2m2n(II) 由(I)得,t,即m0. 3 m20292 将t代入(II)得,nm2且满足nm2. 394 当m0且n20m2时,有AP2PB 9 第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下,滑下的距离S(米)与时间 t(秒)间的关系式为S10tt2,若滑到坡底的时间为2秒,则此人下滑的高度为() A.24米B.12米 C.123米D.6米 答案: B 第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图 (1)中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图 (2)的抛物线表示. (1)直接写出图 (1)中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t0)的函数关系式; (2)求出图 (2)中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t0)的函数关系式; (3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大? (说明: 市场销售单价和种植成本单价的单位: 元/500克.)答案: 解: (1)依题意,可建立的函数关系式为: 2t160(0t120), 3 y80(120≤t150), 2t20(150≤t≤180). 2)由题目已知条件可设za(t110)220. 85 图象过点(60,85), 3 化简得 2 (t110)260(120≤t150), (t170)256(150≤t≤180). 12 ①当W(t10)2100(0t120)时,有t10时,W最大,最大值为100;300 12 ②当W(t110)260(120≤t150)时,由图象知,有t120时,W最大,最 2大值为59; 3 12 ③当W(t170)256(150≤t≤180)时,有t170时,W最大,最大值为56.300 综上所述,在t10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元. 第13题如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式. (2)足球第一次落地点C距守门员多少米? (取437) (3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米? (取265) 12 表达式为y(x6)24. 12 12 (或yx2x1) 12 12 (2)(3分)令y0,(x6)240. 12 (x6)48.x1436≈13,x24360(舍去).足球第一次落地距守门员约13米. (3)(4分)解法一: 如图,第二次足球弹出后的距离为CD 根据题意: CDEF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位) 21(x6)24解得x1626,x2626. CDx1x246≈10. BD1361017(米). 12 解法二: 令(x6)240. 12 解得x1643(舍),x2643≈13. 点C坐标为(13,0). 设抛物线CND为y1(xk)22. 12 12 将C点坐标代入得: (13k)220. 12 解得: k1132613(舍去), k264326≈67518. 12 y(x18)2212 12 令y0,0(x18)22. 12 x11826(舍去),x21826≈23. BD23617(米).解法三: 由解法二知,k18,所以CD2(1813)10, 所以BD(136)1017.答: 他应再向前跑17米. 第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚 种植蔬菜.通过调查得知: 平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元;购置滴灌设备,这项费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为0.9;另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5万元. (1)基地的菜农共修建大棚x(公顷),当年收益(扣除修建和种植成本后)为y(万元),写出y关于x的函数关系式. (2)若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益,工作组应建议他修建多少公项 大棚.(用分数表示即可) (3)除种子、化肥、农药投资只能当年受益外,其它设施3年内不需增加投资仍可继续使 用.如果按3年计算,是否修建大棚面积越大收益越大? 修建面积为多少时可以得到最大收益? 请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议. 答案: (1)y7.5x2.7x0.9x20.3x0.9x24.5x. 22 2)当0.9x24.5x5时,即9x245x500, 5 从投入、占地与当年收益三方面权衡,应建议修建公顷大棚. 3 (3)设3年内每年的平均收益为Z(万元) 222 Z7.5x0.9x0.3x20.3x0.3x26.3x0.3x10.533.075(10分) 不是面积越大收益越大.当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益. 建议: ①在大棚面积不超过10.5公顷时,可以扩大修建面积,这样会增加收益. ②大棚面积超过10.5公顷时,扩大面积会使收益下降.修建面积不宜盲目扩大. 2 ③当0.3x26.3x0时,x10,x221.大棚面积超过21公顷时,不但不能收益, 反而会亏本.(说其中一条即可) 第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品,每件的生产成本为18元,按定价 40元出售,每月可销售20万件.为了增加销量,公司决定采取降价的办法,经市场调研,每降价1元,月销售量可增加2万件. (1)求出月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写x的取值范 围); (2)求出月销售利润z(万元)(利润=售价-成本价)与销售单价x(元)之间的函数关 系式(不必写x的取值范围); (3)请你通过 (2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围,使月销售利润不低于480万元. 答案: 略. 第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系 (1)求抛物线的解析式; (2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么? 3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么? B8,2 答案: (1)由题意可知抛物线经过点A0,2,P4,6, 设抛物线的方程为yax2bxc将A,P,D三点的坐标代入抛物线方程. 12 解得抛物线方程为y1x22x2 4 12 (2)令y4,则有x22x24 4 解得x1422,x2422 x2x1422 货车可以通过. 1 (3)由 (2)可知x2x1222 221 货车可以通过. 第17题如图,在矩形ABCD中,AB2AD,线段EF10.在EF上取一点M,分别以 EM,MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MNx, 当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值? 最大值是多少? H N G EMF 答案: 解: 矩形MFGN∽矩形ABCD, MNMF. ADAB. AB2AD,MNx, MF2x. EMEFMF102x. Sx(102x) 5225 2x. 22 当x25时,S有最大值为225. 第18题某企业信息部进行市场调研发现: 信息一: 如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系: yAkx,并且当投资5万元时,可获利润2万元. 信息二: 如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系: yBax2bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获利润3.2万元. (1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式; (2)如果企业同时对A,B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少? 答案: 解: (1)当x5时,y12,25k,k0.4, yA0.4x,当x2时,yB2.4;当x4时,yB3.2. 2.44a2b 3.216a4b 解得a0.2b1.6 2 yB0.2x1.6x. (2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(10x)万元,获得利润W万元,根据题意可得 W0.2x21.6x0.4(10x)0.2x21.2x4 W0.2(x3)25.8 当投资B种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元,所以投资A种商品7万元,B种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元. 第19题如图所示,图 (1)是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高 为30m,支柱A3B350m,5根支柱A1B1,A2B2,A3B3,A4B4,A5B5之间的距离均为15m, B1B5∥A1A5,将抛物线放在图 (2)所示的直角坐标系中. (1)直接写出图 (2)中点B1,B3,B5的坐标; 2)求图 (2)中抛物线的函数表达式; 3)求图 (1)中支柱A2B2,A4B4的长度. 答案: (1)B1(30,0),B3(0,30),B5(30,0); 2)设抛物线的表达式为ya(x30)(x30), 把B3(0,30)代入得ya(030)(030)30. 1 ∴a. 30 1∵所求抛物线的表达式为: y(x30)(x30). 30 (3)∵B4点的横坐标为15, 145 ∴B4的纵坐标y4(1530)(1530). 44302 ∵A3B350,拱高为30, ∴立柱A4B4204585 4422 由对称性知: A2B2A4B4825(m)。 第20题某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元售出,那么每月可售出500个.根据销售经验,售价每提高1元.销售量相应减少10个. 1)假设销售单价提高x元,那么销售每个篮球所获得的利润是元;这种篮球每 月的销售量是个.(用含x的代数式表示)(4分) (2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润? 如果是,请说明理由;如果不是,请 求出最大利润,此时篮球的售价应定为多少元? (8分) 答案: (1)10x,50010x; (2)设月销售利润为y元,由题意y10x50010x, 2 整理,得y10x2029000. 当x20时,y的最大值为9000, 205070. 70元. 答: 8000元不是最大利润,最大利润为9000元,此时篮球的售价为 赠送以下资料 《二次函数的应用》中考题集锦 10题已知抛物线yx2mx2m2(m0). (1)求证: 该抛物线与x轴有两个不同的交点; (2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是否存在实数m,n,使得AP2PB? 若存在,则求出m,n满足的条件;若不存在,请说明理由. 答案: 解: (1)证法1: 2 yx2mx2m2xm9m2, 24 92当m0时,抛物线顶点的纵坐标为m20, 4顶点总在x轴的下方. 而该抛物线的开口向上,该抛物线与x轴有两个不同的交点. (或者,当m0时,抛物线与y轴的交点(0,2m2)在x轴下方,而该抛物线的开口向上,该抛物线与x轴有两个不同的交点.) 证法2: m241(2m2)9m2, 当m0时,9m20, 该抛物线与x轴有两个不同的交点. (2)存在实数m,n,使得AP2PB. 设点B的坐标为(t,n),由AP2PB知, ①当点B在点P的右边时,t0,点A的坐标为(2t,n),且t,2t是关于x的方程x2mx2m2n的两个实数根. m24(2m2n)9m24n0,即n9m2. 4且t(2t)m(I),t (2)tmn2(II) 由(I)得,tm,即m0. 将tm代入(II)得,n0.当m0且n0时,有AP2PB. ②当点B在点P的左边时,t0,点A的坐标为(2t,n),且t,2t是关于x的方程x2mx2m2n的两个实数根. 22292m4(2mn)9m4n0,即nm. 4且t2tm(I),t2t2m2n(II) 由(I)得,tm,即m0. 3 将tm代入(II)得,n20m2且满足n9m2. 3 94 202 当m0且nm2时,有AP2PB 9 第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下,滑下的距离S(米)与时间 t(秒)间的关系式为S10tt2,若滑到坡底的时间为2秒,则此人下滑的高度为() A.24米B.12米 C.123米D.6米 答案: B 第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图 (1)中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图 (2)的抛物线表示. 160 140 120 100 80 60 40 20 O 1)直接写出图 (1)图中(1表)示的市场销售单价关系式; (2)求出图 (2)中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t0)的函数关系式; (3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大? (说明: 市场销售单价和种植成本单价的单位: 元/500克.)答案: 解: (1)依题意,可建立的函数关系式为: 2t160(0t120), 3 y80(120≤t150), 2t20(150≤t≤180). 2)由题目已知条件可设za(t110)220. 85图象过点(60,835), 化简得 12 (t10)2100(0t120), 300 12 (t110)260(120≤t150), 300 12 (t170)256(150≤t≤180). 300 12 ①当W(t10)2100(0t120)时,有t10时,W最大,最大值为100;300 12 ②当W(t110)260(120≤t150)时,由图象知,有t120时,W最大,最300 2大值为59; 3 12 ③当W(t170)256(150≤t≤180)时,有t170时,W最大,最大值为56.300 综上所述,在t10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元. 第13题如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴 上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4 米高,球落地后又一次弹起.
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