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数学高考知识点总结整理
数学高考知识点总结整理(详细篇)
高中数学第一章-集合
©版权所有考试内容:
数学探索©版权所有集合、子集、补集、交集、并集.
数学探索©版权所有逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.
数学探索©版权所有考试要求:
数学探索©版权所有
(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
数学探索©版权所有
(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.
§01.集合与简易逻辑知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
二、知识回顾:
(一)集合
1.基本概念:
集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
2.集合的表示法:
列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:
确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为;
②空集是任何集合的子集,记为;
③空集是任何非空集合的真子集;
如果,同时,那么A=B.
如果.
[注]:
①Z={整数}(√)Z={全体整数}(×)
②已知集合S中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(×)(例:
S=N;A=,则CsA={0})
③空集的补集是全集.
④若集合A=集合B,则CBA=,CAB=CS(CAB)=D(注:
CAB=).
3.①{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R二、四象限的点集.
③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}一、三象限的点集.
[注]:
①对方程组解的集合应是点集.
例:
解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是.(例:
A={(x,y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=)
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n-1个.③n个元素的非空真子集有2n-2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.
例:
①若应是真命题.
解:
逆否:
a=2且b=3,则a+b=5,成立,所以此命题为真.
②.
解:
逆否:
x+y=3x=1或y=2.
故是的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
3.例:
若.
4.集合运算:
交、并、补.
5.主要性质和运算律
(1)包含关系:
(2)等价关系:
(3)集合的运算律:
交换律:
结合律:
分配律:
.
0-1律:
等幂律:
求补律:
A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U
反演律:
CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)
6.有限集的元素个数
定义:
有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card(A)规定card(φ)=0.
基本公式:
(3)card(UA)=card(U)-card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?
);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式的解可以根据各区间的符号确定.
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.分式不等式的解法
(1)标准化:
移项通分化为>0(或<0);≥0(或≤0)的形式,
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法:
与型的不等式的解法.
(2)定义法:
用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”:
作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.
(三)简易逻辑
1、命题的定义:
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:
p或q(记作“p∨q”);p且q(记作“p∧q”);非p(记作“┑q”)。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:
若P则q;逆命题:
若q则p;
否命题:
若┑P则┑q;逆否命题:
若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:
(原命题逆否命题)
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真,它的否命题不一定为真。
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
7、反证法:
从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容:
数学探索©版权所有映射、函数、函数的单调性、奇偶性.
数学探索©版权所有反函数.互为反函数的函数图像间的关系.
数学探索©版权所有指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.
数学探索©版权所有对数.对数的运算性质.对数函数.
数学探索©版权所有函数的应用.
数学探索©版权所有考试要求:
数学探索©版权所有
(1)了解映射的概念,理解函数的概念.
数学探索©版权所有
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.
数学探索©版权所有(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数.
数学探索©版权所有(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.
数学探索©版权所有(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.
数学探索©版权所有(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
§02.函数知识要点
一、本章知识网络结构:
二、知识回顾:
(一)映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=(y)(yC)叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:
对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1 ⑵若当x1 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 7.奇函数,偶函数: ⑴偶函数: 设()为偶函数上一点,则()也是图象上一点. 偶函数的判定: 两个条件同时满足 ①定义域一定要关于轴对称,例如: 在上不是偶函数. ②满足,或,若时,. ⑵奇函数: 设()为奇函数上一点,则()也是图象上一点. 奇函数的判定: 两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: 在上不是奇函数. ②满足,或,若时,. 8.对称变换: ①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) 9.判断函数单调性(定义)作差法: 对带根号的一定要分子有理化,例如: 在进行讨论. 10.外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如: 已知函数f(x)=1+的定义域为A,函数f[f(x)]的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是. 解: 的值域是的定义域,的值域,故,而A,故. 11.常用变换: ①. 证: ② 证: 12.⑴熟悉常用函数图象: 例: →关于轴对称.→→ →关于轴对称. ⑵熟悉分式图象: 例: 定义域, 值域→值域前的系数之比. (三)指数函数与对数函数 指数函数的图象和性质 a>1
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