步步高高考数学人教A理一轮讲义94直线与圆圆与圆的位.docx

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步步高高考数学人教A理一轮讲义94直线与圆圆与圆的位

步步高2015高考数学（人教A理）一轮讲义：

9.4直线与圆、圆与圆的位

高

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系

设直线l：

Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0），圆：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r0），

d为圆心（a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

2.圆与圆的位置关系

设圆O1：

（x－a1）2＋（y－b1）2＝r21（r10），圆O2：

（x－a2）2＋（y－b2）2＝r22（r20）.

1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.

（2）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（3）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.

（×）（×）（×）

（4）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.

（×）

（5）过圆O：

x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.

（√）

（6）过圆O：

x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.

（√）

高

2.（2013安徽）直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为A.1B.2C.46答案C

（）

解析圆的方程可化为（x－1）2＋（y－2）2＝5，圆心（1,2）到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2r－d＝4.

3.圆C1：

x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有（）A.1条答案B

解析⊙C1：

（x＋1）2＋（y＋1）2＝4，圆心C1（－1，－1），半径r1＝2.

⊙C2：

（x－2）2＋（y－1）2＝4，圆心C2（2,1），半径r2＝2.∴|C1C2|13，∴|r1－r2|＝0|C1C2|r1＋r2＝4，∴两圆相交，有两条公切线.

c

4.两圆交于点A（1,3）和B（m,1），两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________.

2答案3

c

解析由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋0上，

2∴

1＋mc

20，∴m＋c＝3.22

B.2条

C.3条

D.4条

5.若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________.答案（33）

解析由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是k3，即k∈（33）.

2

1，解得－3k＋1

直线与圆的位置关系

例1已知直线l：

y＝kx＋1，圆C：

（x－1）2＋（y＋1）2＝12.

（1）试证明：

不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长.

思维启迪直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定.

y＝kx＋1，

方法一

（1）证明由22

x－1＋y＋1＝12，

消去y得（k2＋1）x2－（2－4k）x－7＝0，因为Δ＝（2－4k）2＋28（k2＋1）0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

（2）解设直线与圆交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|1＋k|x1－x2|＝2

8－4k＋11k＝2

1＋k4k＋311－，

1＋k4k＋32

令t＝，则tk－4k＋（t－3）＝0，1＋k3

当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，

4所以Δ＝16－4t（t－3）≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，4k＋3故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为27.

1＋kk2＋4k＋4

方法二

（1）证明圆心C（1，－1）到直线l的距离d＝圆C的半径R＝23，R－d＝12－

1＋k1＋k|k＋2|

2

2

11k2－4k＋8

＝S＝11k2－4k＋8中，Δ＝（－4）2－4×11×80，1＋k故11k2－4k＋80对k∈R恒成立，

所以R2－d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

（2）解由平面几何知识，知|AB|＝2R－d＝2

8－4k＋11k，下同方法一.

1＋k方法三

（1）证明因为不论k为何实数，直线l总过点P（0，1），而|PC|＝523＝R，所以点P（0,1）在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

高

（2）解由平面几何知识知过圆内定点P（0,1）的弦，只有和AC（C为圆心）垂直时才最短，而此时点P（0,1）为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为7.

思维升华

（1）利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；

（2）勾股定理是解决有关弦问题的常用方法

.

（1）若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P（a，b）

A.在圆上C.在圆内

B.在圆外D.以上都有可能

（）

（）

（2）直线l：

y－1＝k（x－1）和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是A.相离C.相交

B.相切或相交D.相切

（3）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________.答案

（1）B

（2）C（3）（－13,13）解析

（1）由

1a＋b1，∴点P在圆外.a＋b

|k|

1.故直线与圆相交.1＋k

（2）圆x2＋y2－2y＝0的圆心是（0,1），半径r＝1，则圆心到直线l的距离d（3）根据题意知，圆心O到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，

∴

|c|

1，∴|c|13，

12＋5∴c∈（－13,13）.

题型二圆的切线与弦长问题

例2已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）2＋（y－2）2＝4.

（1）求过M点的圆的切线方程；

（2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

（3）若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值.

思维启迪在求过某点的圆的切线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法.解

（1）圆心C（1,2），半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C（1,2）到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切.

当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k（x－3），

高

即kx－y＋1－3k＝0.

|k－2＋1－3k|3

由题意知2，解得k＝.

4k＋13

∴圆的切线方程为y－1＝（x－3），

4即3x－4y－5＝0.

故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.|a－2＋4|4

（2）由题意得2，解得a＝0或a.3a＋1（3）∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为∴（

|a＋2|

*****

）＋（＝4，解得a＝－24a＋1

|a＋2|

a＋1

思维升华

（1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上

（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.

（2）求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题.

已知点P（0,5）及圆C：

x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

解

（1）如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为（x＋2）2＋（y－6）2＝16，

∴圆C的圆心坐标为（－2,6），半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，

∴|AD|＝23，|AC|＝4.C点坐标为（－2,6）.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.

设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.|－2k－6＋5|3由点C到直线AB的距离公式：

＝2，得k＝.

4k＋－1故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），→→

则CD⊥PD，即CDPD＝0，

∴（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，

高

化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.题型三圆与圆的位置关系

例3

（1）已知两圆C1：

x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：

x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________.

（2）两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________.

（3）已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.

思维启迪求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来.3

答案

（1）x－2y＋4＝0

（2）2（3）x＝

2解析

（1）两圆的方程相减得：

x－2y＋4＝0.

（2）两圆圆心距d＝74＋，∴两圆相交，故有2条切线.

（3）⊙O的圆心为（0,0）2，⊙O′的圆心为（4,0）6，设点P为（x，y），由已知条件和圆3

切线性质得x2＋y2－2＝（x－4）2＋y2－6，化简得x＝2

思维升华判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到

.

已知两圆C1：

x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：

x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则以两圆公共弦为直

径的圆的方程是________________.答案（x＋2）2＋（y－1）2＝5

解析圆C1的圆心为（1，－5）50，圆C2的圆心为（－1，－1）10，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点（－2,1）即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5.

一、圆与集合的交汇问题

高考中与圆交汇问题的求解

典例：

（5分）设M＝{（x，y）|y＝2a－x，a0}，N＝{（x，y）|（x－1）2＋（y－3）2＝a2，a0}，则M∩N≠时，a的最大值与最小值分别为________、________.

思维启迪本题条件M∩N≠反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解.

解析因为集合M＝{（x，y）|y＝2a－x，a0}，

所以集合M表示以O（0,0）为圆心，半径为r12a的上半圆.同理，集合N表示以O′（13）为圆心，半径为r2＝a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，

高

2a＋a＝2，得a＝2－2；2a－a＝2，得a＝2＋2.所以a的最大值为22＋2，最小值为2－2.答案2＋222－2

温馨提醒本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对M∩N≠的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如AB，则A＝或A≠两种可能，应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来.二、圆与线性规划的交汇问题

2x－y＋2≥0，

典例：

（5分）如果点P在平面区域x－2y＋1≤0，

x＋y－2≤0为________.

思维启迪求解本题应先画出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值.

上，点Q在曲线x2＋（y＋2）2＝1上，那么|PQ|的最小值

高

2x－y＋2≥0，

解析由点P在平面区域x－2y＋1≤0，

x＋y－2≤0

上，画出点P所在的

平面区域.由点Q在圆x2＋（y＋2）2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示.

由题意，得|PQ|的最小值为圆心（0，－2）到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.

|0－2×－2＋1|

又圆心（0，－2）到直线x－2y＋1＝05，此时垂足（－1,0）在满足条件的平面

1＋2区域内，故|PQ|的最小值为5－1.答案

5－1

温馨提醒本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.三、圆与不等式的交汇问题

典例：

（5分）（2012天津）设m，n∈R，若直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是A.[13，1＋3]

B.（－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞）C.[2－2，2＋22]

D.（－∞，2－2]∪[2＋22，＋∞）

思维启迪圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式.解析圆心（1,1）到直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0（m＋n）2，

所以m＋n≥2＋22或m＋n≤2－2.答案

D

温馨提醒直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，

从而求得m＋n的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要注意各知识应熟练掌握才能逐一化解.

1

＝1，所以m＋n＋1＝mn≤

4m＋1＋n＋1|m＋n|

（）

高

方法与技巧

1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

1

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率

k不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.2.过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

（1）几何方法

当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.

（2）代数方法

设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.3.两圆公共弦所在直线方程的求法

若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.4.圆的弦长的求法

l222

（1）几何法：

设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r－d.

y＝kx＋b，

（2）代数法：

设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，解方程组消y后得关222

x－x＋y－y＝r，00

于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|1＋k[x1＋x2－4x1x2]（k为直线斜率）.失误与防范

1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.

2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.

高

A组专项基础训练（时间：

40分钟）

一、选择题

1.圆C1：

x2＋y2＝1与圆C2：

x2＋（y－3）2＝1的内公切线有且仅有A.1条答案B

解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.

2.（2012重庆）对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是（）A.相离

B.相切

D.相交且直线过圆心

B.2条

C.3条

D.4条

（）

C.相交但直线不过圆心答案C

解析∵x2＋y2＝2的圆心（0,0）到直线y＝kx＋1的距离|0－0＋1|1d＝≤1，

1＋k1＋k又∵r＝2，∴0dr.

∴直线与圆相交但直线不过圆心.

3.直线l过点A（2,4）且与圆x2＋y2＝4相切，则l的方程为A.3x－4y＋10＝0C.x－y＋2＝0答案D

解析显然x＝2为所求切线之一；另设y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，而|4－2k|

3＝2，k＝，即切线为3x－4y＋10＝0，

4k＋1

B.x＝2

D.x＝2或3x－4y＋10＝0

（）

∴x＝2或3x－4y＋10＝0为所求.

4.（2013山东）过点（3,1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为

（）

A.2x＋y－3＝0C.4x－y－3＝0答案A

B.2x－y－3＝0D.4x＋y－3＝0

高

1

解析如图所示：

由题意知：

AB⊥PC，kPC＝∴kAB＝－2，∴直线

2AB的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0.

5.已知直线y＝kx＋b与圆O：

x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b1＋k→→时，OAOB等于A.1

B.2

D.4

（）

C.3

答案A

解析设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得（1＋k2）x2＋2kbx＋b2－1＝0，b2－12kb故x1＋x2＝－，xx＝

1＋k121＋k→→从而OAOB＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b22k2b22b22＝b－1－b＝－1＝1.

1＋k1＋k2

二、填空题

6.若直线y＝x＋b与曲线y＝34x－x有公共点，则b的取值范围是________.答案1－22≤b≤3

解析由y＝34x－x，得（x－2）2＋（y－3）2＝4（1≤y≤3）.∴曲线y＝3－4x－x是半圆，如图中实线所示.当直线y＝x＋b与圆相切时，|2－3＋b|

2.∴b＝1±22.由图可知b＝1－2.

∴b的取值范围是[1－2，3].

7.若过点A（a，a）可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________.31，答案（－∞，－3）∪2解析圆方程可化为（x－a）2＋y2＝3－2a，

3－2a03

由已知可得2，解得a－3或1a.

2a3－2a

8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a0）的公共弦长为3，则a＝________.答案1

解析方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.1

相减得2ay＝2，则y＝由已知条件

a即a＝1.三、解答题

1

22－32＝，

a

高

2

9.已知以点C（t，t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.

t

（1）求证：

△OAB的面积为定值；

（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程.4

（1）证明∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.

t24

设圆C的方程是（x－t）2＋（y－）2＝t2，

tt4

令x＝0，得y1＝0，y2＝；

t令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，114

∴S△OAB＝OB＝×||×|2t|＝4，

22t即△OAB的面积为定值.

（2）解∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.1

∵kMN＝－2，∴kOC＝.

221

∴t，解得t＝2或t＝－2.t2

当t＝2时，圆心C的坐标为（2,1），OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点.

当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去.∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.

10.已知矩形ABCD的对角线交于点P（2,0），边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点（－1,1）在边AD所在的直线上.

（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；

（2）已知直线l：

（1－2k）x＋（1＋k）y－5＋4k＝0（k∈R），求证：

直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.解

（1）∵lAB：

x－3y－6＝0且AD⊥AB，点（－1,1）在边AD所在的直线上，∴AD所在直线的方程是y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0.

9

5.1

5，

高

x－3y－6＝0，由得A（0，－2）.3x＋y＋2＝0，

∴|AP|＝4＋4＝22，

∴矩形ABCD的外接圆的方程是（x－2）2＋y2＝8.

（2）直线l的方程可化为k（－2x＋y＋4）＋x＋y－5＝0，

l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点（3,2）的直线系，即l恒过定点Q（3,2），

由（3－2）2＋22＝58知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M，N，

则|MN|＝8－d（d为P到l的距离），

设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|sinθ5sinθ，当θ＝90°时，d最大，|MN|最短.

1此时l的斜率为PQ，

21

故l的方程为y－2x－3），x＋2y－7＝0.

2

B组专项能力提升（时间：

30分钟）

1.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为

（）

A.x2＋y2－2x－3＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0答案D

B.x2＋y2＋4x＝0D.x2＋y2－4x＝0

解析设圆心为（a,0），且a0，

则（a,0）到直线3x＋