指数函数和对数函数的知识点及典型例题.docx
- 文档编号:4414113
- 上传时间:2022-12-01
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:157.60KB
指数函数和对数函数的知识点及典型例题.docx
《指数函数和对数函数的知识点及典型例题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《指数函数和对数函数的知识点及典型例题.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
一、指数的性质
(一)整数指数幂
1.整数指数幂概念:
anaaa(nN)a01a0
n个a
1anna0,nN
an
2.整数指数幂的运算性质:
(1)amanamnm,nZ
(2)amamnm,nZ
(3)abanbnnZ
mnmnmna1nnna其中aaaaa,ababn.
bbn
3.a的n次方根的概念
一般地,如果一个数的n次方等于an1,nN,那么这个数叫做a的n次方根,
即:
若xna,则x叫做a的n次方根,n1,nN
例如:
27的3次方根3273,27的3次方根3273,
32的5次方根5322,32的5次方根5322.
说明:
①若n是奇数,则a的n次方根记作na;若a0则na0,若ao则na0;
2若n是偶数,且a0则a的正的n次方根记作na,a的负的n次方根,记作:
na;(例如:
8的平方根82216的4次方根4162)
3若n是偶数,且a0则na没意义,即负数没有偶次方根;
40n0n1,nN∴n00;
5式子na叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。
∴naa.
4.a的n次方根的性质
般地,若n是奇数,则nana;
5.例题分析:
例.计算:
740740
解:
740740(52)2(52)225
(二)分数指数幂
1012
1.分数指数幂:
5a10a2a5a03a12a4a3a0即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;
幂的运算性质amn
ma
对分数指数幂也适用,
2
323
5
454
24
例如:
若a0,则
a3
a33a2,
a4
a44a5,
∴3a2a34a5a5
规定:
m
(1)正数的正分数指数幂的意义是annama0,m,nN,n1;
m11
(2)正数的负分数指数幂的意义是an1mn1ma0,m,nN,n1.
mnm
annam
2.分数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用,即:
1arasarsa0,r,sQ
rsrs
2ararsa0,r,sQ
rrr
3abarbra0,b0,rQ
说明:
(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;
2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义
3.例题分析:
例1】用分数指数幂的形式表示下列各式ao:
例2】计算下列各式的值(式中字母都是正数)
=4ab04a;
例3.计算下列各式:
55
32
32
=554=1255545;
11所以x2x25.
3311111111
(2)(法一)x2x2=(x2)3(x2)3(x2x2)[(x2)2x2x2(x2)2]
11
(x2x2)[(xx1)1]5(31)25,
333333
(法二)[(x2)(x2)]2(x2)2(x2)22x2x2x3x32
而x3x3(xx1)(x2x21)
1122
(xx1)[(xx1)23]3(323)18
33
∴(x2x2)220,
33
又由xx130得x0,∴x2x20,
33
所以x2x22025.
二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数yax(a0且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,a叫底数,函数定义域
是R.
2.指数函数yax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质:
a1
0a1
图
象
性
(1)定义域:
R
质
(2)值域:
(0,)
(3)过定点(0,1),即x0时y1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
例1】求下列函数的定义域、值域:
(1)y82x1
(2)y1
(1)(3)y3x(4)yax1(a0,a1).
2ax1
11
解:
(1)Q2x10∴x原函数的定义域是{xxR,x},
22
1
令t则t0,tR
2x1
∴y8t(tR,t0)得y0,y1,
所以,原函数的值域是{yy0,y1}.
1
(2)Q1()x0∴x0原函数的定义域是0,,
2
1
令t1()x(x0)则0t1,
2
Qyt在0,1是增函数∴0y1,
所以,原函数的值域是0,1.
3)原函数的定义域是R,
令tx则t0,
Qy3t在,0是增函数,∴0y1,
所以,原函数的值域是0,1.
4)原函数的定义域是R,
x
由yax1(a0,a1)得axy1,
ax1y1
所以,原函数的值域是1,1.
说明:
求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
ax1
【例2】当a1时,证明函数yax是奇函数a1
证明:
由ax10得,x0,
故函数定义域{xx0}关于原点对称
∴f(x)f(x)
x
所以,函数yax1是奇函数
a1
三、对数的性质
1.对数定义:
一般地,如果a(a0且a1)的b次幂等于N,就是abN,那么数b叫做a为底N的对数,记作logaNb,a叫做对数的底数,N叫做真数。
即abN,logaNb。
a
N
b
指数式abN
底数
幂
指数
数式logaNb
对数的底数
真数
对数
说明:
1.在指数式中幂N>0,∴在对数式中,真数N>0.(负数与零没有对数)
2.对任意a0且a1,都有a01∴loga10,同样:
logaa1.
3.如果把abN中的b写成logaN,则有alogaNN(对数恒等式).
log100.012。
2.对数式与指数式的互换
例如:
4216,log4162;102100,log101002;
例1】将下列指数式写成对数式:
1)5425;
2)26614;
3)3a27;
4)135.37.
解:
(1)log56254;
2)
log26146;(3)
log327a;
4)log15.37m.
3
3.介绍两种常见的对数:
①常用对数:
以10作底log10N简写成lgN;
logeN简写成lnN.
②自然对数:
以e作底为无理数,e=2.71828⋯⋯,
例2】
(1)计算:
log927,log354625.
解:
设xlog927则9x27,32x3,∴x3;
2
2
2x210
但必须:
2x211
2
3x22x10
∴x0舍去,从而x2.
②logx287.
535
3(33)5∴x33;
7
4.对数的运算性质:
如果a>0,a1,M>0,N>0,那么
1)loga(MN)logaMlogaN;
M
2)logalogaM-logaN;
N
3)logaMnnlogaM(nR).
例3】计算:
解:
(1)解法一:
lg142lg73lg7lg18
3
lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)
lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20;解法二:
lg142lg7lg7lg18
3
72
lg14lg(3)2lg7lg18
3
147
=lglg10;
(7)218
3
52
33
lgg
gg
52
3)
lg27lg83lg10lg(33)2lg233lg102
23(lg32lg21)3
lg1.2
322
lg10
lg32lg212
;m0,m1)
5.换底公式:
logaNlogmN
logma
证明:
设logaNx,则aN
logmN,∴xlogmalogmN,
从而得:
logmN
xlogma,
∴logaN
logmNlogma
说明:
两个较为常用的推论:
1)logablogba1;
2)logambnnlogab(a、b0且均不为1).
am
证明:
(1)logablogbalgblga1;
lgalgb
例4】计算:
(1)51log0.23;
(2)log43log92log2432.
例5】已知log189a,18b5,求log3645(用a,b表示).
解:
18
∵log189a,∴log1821log182a,
∴log1821a,
又∵18b5,
∴log185b,
∴log3645log1845
log1836
证明:
∵3x4y6zt1,
四、对数函数
1.对数函数的定义:
函数
ylogax(a0且a1)叫做对数函数。
2.对数函数的性质:
1)定义域、值域:
对数函数ylogax(a0且a1)的定义域为(0,),值域为(,).
2)图象:
由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数
图象作关于yx的对称图形,即可获得。
3)对数函数性质列表:
图
象
a1
0a1
x1
ylogax
x1
(1,0)
(1,0)
ylogax
性
质
(1)定义域:
(0,)
(2)值域:
R
(3)过点(1,0),即当x1时,
y0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,)上是减函数
例1】求下列函数的定义域:
1)ylogax2;
(2)yloga(4x);(3)yloga(9x2).
分析:
此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,)求解。
解:
(1)由x2>0得x0,
∴函数ylogax2的定义域是xx0;
(2)由4x0得x4,
∴函数yloga(4x)的定义域是xx4;
(3)由9-x20得-3x3,
∴函数yloga(9x2)的定义域是x3x3.
【例2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小:
(1)1.10.9,log1.10.9,log0.70.8;
(2)log53,log63,log73.
解:
(1)∵1.10.91.101,
log1.10.9log1.110,
0log0.71log0.70.8log0.70.71,
∴1.10.9log0.70.8log1.10.9.
(2)∵0log35log36log37,
∴log53log63log73.
【例3】求下列函数的值域:
(1)ylog2(x3);
(2)ylog2(3x2)
解:
(1)令tx3,则ylog2t,
∵t0,∴yR,即函数值域为R.
(2)令t3x2,则0t3,
∴ylog23,即函数值域为(,log23].
【例4】判断函数f(x)log2(x21x)的奇偶性。
解:
∵x21x恒成立,故f(x)的定义域为(,),
f(x)log2(x21x)
log2x21xf(x),
所以,f(x)为奇函数。
【例5】求函数y2log1(x23x2)的单调区间。
3
3133
解:
令ux23x2(x23)214在[23,)上递增,在(,23]上递减,
又∵x23x20,∴x2或x1,
故ux23x2在(2,)上递增,在(,1)上递减,
又∵y2log1u为减函数,
3
所以,函数y2log1(x23x2)在(2,)上递增,在(,1)上递减。
3
11
【例3】已知xx13,求下列各式的值:
(1)x2x2;
(2)
111111
解:
(1)Q(x2x2)2(x2)22x2x2(x2)2
x1x12325,
11
∴x2x25,
3)求底数:
①logx3,
5
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 指数函数 对数 函数 知识点 典型 例题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)