正弦定理与余弦定理.docx
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正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理
一、三角形中的各种关系
设AABC的三边分别是a,4c,与之对应的三个角分别是A,民C,那么有如下关
系:
1、三内角关系
三角形中三内角之和为乃(三角形内角和定理),即A+3+C=〃,;
2、边与边的关系
三角形中任意两条边的和都大于第三边,任意两条边的差都小于第三边,即
a+c,a+c>b,b+c>a;a-b 3、边与角的关系 (1)正弦定理 三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等,即 ‘一=―丝=^=2R(这里,R为AABC外接圆的半径). sinAsinBsinC 注1: (I)正弦定理的证明: 里,R为AABC外接圆的半径) 证: 法一(平面几何法): 在AA8C中,作C〃J_A8,垂足为“ 那么在mAAHC中,sinA=—;在mAB"C中,sinB=— ACBC /eCH=/? sinA,CH=asinB=>Z? sinA=^sinBIP-= sinAsinB 同理可证: 一丝 sinBsinC 于是有,=上=工 sinAsinBsinC 作AABC的外接圆。 0,设其半径为R 连接80并延长,那么可得到。 0的直径BD,连接D4 因为在圆中,直径所对的圆周角是直角 所以/DAB=90" ARc 于是在放AD43中,sin。 =一=— BD2R 又因为在同一圆中,同弧所对的圆周角相等 所以NO=NC .•.'=^=£=2/? sinCsinDc 2R 故^=―竺=—L=2R(这里,R为A45C外接圆的半径) sinAsinBsinC 法二(平面向量法) (II)正弦定理的意义: 正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式, 也就是任意三角形的边角关系. (Ill)正弦定理适用的范围: U)三角形的两角及一边,解三角形; (ii)三角形的两边及其中一边所对应的角,解三角形; (iii)运用a: c=sinA: sinB: sinC解决角之间的转换关系. 注2: 正弦定理的一些变式: (i)6/: : c=sinA: sinB: sinC; (ii)sinA=—,sinB=—,sinC=—; 2R2R2R (iii)a=2/? sinA,b=2/? sinB,c-2/? sinC. 注3: 三角形是确定的,那么在运用正弦定理解该三角形时,其解是唯一的; 三角形的两条边和其中一条边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其 解是不确定的,此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角,大角对大 边〃定理及三角形内角和定理解决问题. 例1.AABC中,。 *分别为角A,8的对边,假设8=60〃,。 =75。 〃=8,那么" ■ 例2.AA8C中,角A,5,C的对边分别为,A=—,a=V3,b=l,那么c= 3 • 例3.在AA8C中,b=C,B=6(f,c=l,求。 和A,C 例4.在AA8C中,N3=2NA,3C=2,A3=2+2百,那么ZA=_. 例5.AABC中,角43所对的边分别是出入,假设4cos3=〃cosA,那么AABC 一定是0 C.直角三角形D.等腰直角三角形 (2)余弦定理 三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角 的余弦的乘积的2倍,即 a2=h2+c2-2/? ccosA,b1=c2+q2-2cacosB,c2=a2+〃2-2abcosC, 注LU)余弦定理的证明: 法一(平面几何法) 在AA8C中,作CbJ_A8,垂足为“ 理,升naa〃〃士,aCHCH.AHAH 那么在/? 才AA77C中,sinA==;cosA== AChACh CH=bsinA,AH=bcosA=BH=AB-AH=c-bcosA 在RfACHB中,由勾股定理有8C2=c”2+b”2 于是有 a1=(/? sinA)2+(c-hcosA)2=b2sin2A+c? -2Z? ccosA+b2cos2A =/72(sin2A+cos2A)+c2-2bccosA=b2+c2-2bccosA 同理可证: b2=c2+q2-2cacosB,c2=a2+/? 2-2abcosC. 法二(平面向量法) (II)余弦定理的意义: 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类三角形 两边及夹角求第三边或者是三个边求角的问题,假设对余弦定理加以变形并 适当结合其它知识,那么使用起来更为方便、灵活。 (III)余弦定理适用的范围: (i)三角形的三条边,可求出其三个内角; (ii)三角形的两条边及它们之间的夹角,可求出其第三条边; (iii)三角形的两条边及其中一条边所对应的角,可求出其另两个角及第三 条边. 注2: 余弦定理的变式: cosA=+C——;cosB=C——; 2bclea a2+/72-c2 cosC=; 2ah 注3: 常选用余弦定理判定三角形的形状; 注4: 求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理 实现边角互化. 例1.在AABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,求此三 角形的三边长. 例2•如以下图所示,在四边形ABCD中,AD.LCD,AD=\O,AB=14, ZBDA=60°,/BCD=1350,求3c的长. 7 例3.在A48C中,8c=5,AC=4,cos(A-8)=—,那么cosC=() 8 (3)面积公式: (i)常规方法: S^BC=-a-ha; 4AM2<• =—absinC=—acsinB=—besinA 222 (iii)海伦公式: S^bc=4P(P-a)(P-b)(p-c)=r・p. 这里,儿为边。 的高线;〃为AABC周长的一半,即p="+;+c;〃为A4BC内 切圆的半径. 例1.在AABC中,假设三边为连续的正整数,且最大角为钝角. (1)求该最大角; (2)求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. (参考数据: cos71'=0.25) 例2.在AABC中,内角A,民。 对应的边分别是。 也c,a2+c2=2b2. (1)假设3=工,且A为钝角,求内角A与C的大小; 4 (2)假设人=2,求AABC面积的最大值. 二、关于三角形内角的常用三角恒等式 由三角形内角和定理: 4+3+。 =〃,有A=i—(3+C) 由此可得到: sinA=sin(B+C),cos/\=-cos(B+C); V7A71B+C 乂-二 222 半径等问题 三、三角形的度量问题: 即所谓的求边、角、周长、面积、 (1)求角角边的适用定理是正弦定理; (2)求边边角的适用定理是正弦定理或余弦定理; (3)求边边边、边角边的适用定理是余弦定理. 注: 在解决“边边角〃(a1,A)类型的题目时,假设利用正弦定理求角,那么 应判定三角形的个数: 假定: A<90〃, ①假设。 26,那么有一解; ②假设那么当A时,有两解;当。 =〃sinA时,有一解;当 avbsinA时,无解; 假定: A290〃, ①假设那么有一解; ©a 四、三角形形状的判定方法 m角的判定; ⑵边的判定; (3)综合判定; (4)余弦定理判定. 注: 余弦定理判定法: 假设c是AABC的最大边,那么: ①〃2+从>c2<=>AABC是锐角三角形; ②〃? +〃=AABC是钝角三角形; ③"+〃=/=AABC是直角三角形. 注: 关于锐角三角形有以下等价结论: 三角形是锐角三角形。 三内角都是锐角。 任意两角和都是钝角。 三内角的余 弦值均为正值o任意两条边的平方和都大于第三边的平方. 五、高考真题整理 1.设AA8C的三内角A,3,C的对边分别为,假设。 =也,b=&, 8=120°,那么。 =() A.V6B.2C.V3D.y/2 2.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍,那么它的顶角的余弦值是() A.—B.-C.-D.— 18482 3.在AABC中,角A,3,C所对的边分别为〃也c,假设(限-c)cosA=acosC, 那么cosA=, jr1 4、在AABC中,B=—,3c边上的iWj等于—3C,那么cosA=. 43 4 5、AABC的内角A,B,C的对边分别为。 ,b,c.假设cosA=—, 5 cosC=—,a=l,那么b=. 13 6、AABC的三边长分别为3,5,7,那么该三角形的外接圆半径等于. 7、在△ABC中,B=45°,。 是我边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长. 8、在AA8C中,内角A,dC对应的边分别为a,。 。 ,c=2,C=-. (1)假设A48C的面积等于G,求出〃; (2)假设sinC+sin(B-A)=2sin2A,求AABC的面积. 9、设函数/(x)=sinxcosx—sin^x—工)(xeR). 4 ⑴求函数/(幻的单调区间; (2)在锐角AABC中,角A,B,C所对应的边分别为。 ,b,c.假设 r /(y)=0,c=2,求AABC面积的最大值. 10>向量机=(二,sinx),n=(l,sinx+V3cosx),函数= (1)试求函数/(x)的单调递增区间; (2)假设A48C的三个内角A,B,。 所对应的边分别为〃,〃,c,内角6 满足/(3)=3,且〃=3,试求AABC面积的最大值. 11、在AA3c中,角A,B,C所对应的边分别为 c°sU,sin人迫,c>4. 416 (2)求AABC的周长. 12、设AABC三个内角A,B,C所对的边分别为。 ,b,c.c=~, 3 acosA=bcosB. (1)求角A的大小; (2)如以下图,在AABC的外角/AC。 内取一点P, 13>AABC的内角A,B.C的对边分别为〃八2cosC{acosB+bcosA)=c. ⑴求C; (2)假设c=J7,AABC的面积为求AABC的周长. 2 14、在AABC中,/+。 2=从+缶。 . (1)求N3的大小; (2)求0cosA+cosC的最大值. 15、AABC的内角A,B,。 所对的边分别为。 ,b,c.向量加=(〃,、&)与 n=(cosA,sinB)平行. ⑴求A; (2)假设。 =近,b=2,求AA8C的面积. 16、如图,扇形的圆心角4408=2万,半径为4五,假设点。 是AB上一动点 3 (不与点A,5重合). (1)假设弦BC=4(G-1),求BC的长; (2)求四边形。 4cB面积的最大值. 【解析】U)在A03C中,BC=4(V3-1),OB=OC=4桓 由余弦定理,有 OB2+OC2-BC232+32-16(4-26)32736 cosZBOC====— 2OBOC2x32642 7T : ./BOC=- 6 于是萩的长为沙必半万 7 (2)设ZAOC=,, 2 那么NBOC=—;r—。 3 于四“I'J面*'pg/i^0/\(b=SaAOC+S、BOC =-OA-OCsinZAOC+-OBOCsinZBOC iin =—x4^2•4^2•sin6+—x4V2-4a/2-sin(—兀一6) 223 16sin6+161Tcos。 -(一;)sin0] =24sin8+8百cos。 =16Gsin(e+工) 6 2 又eq(0,—乃) 八71,7157r e+—£(一,— 666 故当。 +工=工,即。 =工时;四边形OAC8的面积最大,且最大值为166 623 17、在aABC中,假设AB=2,AC=41BC,求名他。 的最大值・ 【解析】(法一)由余弦定理.,有cos3= /+c2_/ a2+4—2/ 4-a2 2ac 4a 4a =-acs\nB=-a-2-Vl-cos2B=〃Jl一(上与=侬一二小&二“: 22\4aV16a2 l-a4+24a2-16_J-(c/一3+12g V16-V16 又由三角形三边关系,有: \a+b>c9即f+也:
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- 正弦 定理 余弦