届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题解析版.docx
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届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题解析版
2020届江苏省盐城市盐城中学
高三上学期第一次月考数学试题
一、填空题
1•已知集合A=x1x1,B1,0,3,则AIB
【答案】0
【解析】根据交集的概念,求得两个集合的交集•
【详解】
交集是两个集合的公共元素组合而成,故AB0.
故答案为:
0
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念和运算,属于基础题
2•设幕函数f(x)kxa的图像经过点(4,2),则k
3
【答案】-
2
1
【解析】由题意得k1,24丄
k
3
2
2
3.若命题“?
t€R,t2-av0”是真命题,
则实数
a的取值范围是
【答案】(0,)
V0-4(-a)>0
【解析】命题"tR,t2-av0”是真命题,
a>0,则实数a的取值范围是(0,)
故答案为(0,+)•
4.函数f(x)In(x1)42x的定义域为
【答案】(1,2]
【解析】【详解】
由{X10可得,1x2,所以函数f(x)ln(x1)、厂的定义域为1,2
2x0
,故答案为1,2
5.已知角
的顶点与坐标原点重合,
始边与
x轴的正半轴重合,终边经过点P1,2,
则sin2
【答案】
【解析】
5
根据三角函数定义求cos
和sin
,最后代入公式sin2
2sincos求
【详解】
解:
由题意可得
OP
cos
品i
sin
5
y22、5
75,
sin2
2sincos
故答案为:
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义,
属于基础题.
6.已知等差数列{an}的前n项和为
Sn,Sn132,a6a930,
则ai2的值为
【答案】24
a6的值,再根据等
【解析】首先根据等差数列的前n项和公式和等差中项,即可求出
差数列的通项公式和8930,即可求出ag,进而求出cll2的值.
【详解】
因为Sn132,所以,=132,即11a6=132,所以,a6=12
2
又a6a930,所以,8g=18,因为868122ag,所以,可求得:
3i2=24
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n项的公式,熟练掌握通项公式和
等差数列的前n项的公式是解决本题的关键.
7.定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)2xx2,则
f
(1)=.
1f1211,故答案为1.
【答案】1
【解析】由fx为奇函数可得:
8•已知函数f(x)2sin(2x)(0)的最大值与最小正周期相同,贝y函数f(x)在
4
[1,1]上的单调增区间为•
13
【答案】[丄,二
44
【解析】试题分析:
由题意可知,函数
f(x)
2sin(x
13
2kx-
2k,k
Z,又x
44
上的单调递增区间为
[1
3].
44
【考点】三角函数的图象与性质
-),令一2k
42
1
[1,1],所以x
4
x2k,解得
42
3
,所以函数f(x)在[1,1]
4
9.设向量a(sin2,cos),b
(cos,1),则“;//b”是“tan
£”成立的
条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
【答案】必要不充分
【解析】【详解】试题分析:
rr2
a//b(sin2,cos)//(cos,1)sin2coscos0或2sincos
1rr1
cos0或tan,所以“a//b”是“tan-”成立的必要不充分条件
【考点】向量共线
10•已知函数f(x)exlnxaex(aR),若fx在0,上单调递增,贝U实数a的
取值范围是.
【答案】,1
【解析】对函数fx求导,根据函数在0,
上单调递增列不等式,分离常数a后,
1
构造函数hxInx—x0,利用导数求得hx的最小值,进而求得a的取值范
x
围•
【详解】
依题意,
0,
时,fx
exlnx1
x
0恒成立,即
也即a
lnx
1
_在
x
0,
上恒成立,构造函数
0,则
,所以函数
hx在区间0,1上递减,在区间1,
上递增,在
取得极小值也即是最小值,故hxh11,所以a1.
故答案为:
1.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式恒成立问题的求解策略,属于
中档题•11•如下图,在直角梯形ABCD中,AB//CD,ADC90°,AB4,AD,2,E为
uuvumvnrtuuvuuuv
BC中点,若ABAC4,贝VAEBC
【答案】
【解析】
13
2
【详解】
以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设
CDmm0,结合题意可
uuuruuir
得:
A0,0,B4,0,Cm,.2,C0,,2,则AB4,0,AC
uuuuuur故ABAC
4m4,m
1,即C1,2,则E
5V2
2,2
uuiu5uuLT
据此有AE—,—,BC
22
uuiuuuu
3/2,AEBC
xax0
12•若函数y{,在区间2,2上有两个零点,则实数a的取值范
xalnx,x0
围为•
【答案】0,2In2
a>0
即^<4
a<22
所以
【解析】【详解】试题分析:
由题设可知函数
的区间-..和区间--内分别有一个根
:
_」.■,
-与函数;--LJ在给定
‘一仃兰0
*4—a>0
1-a+hi2>0
故答案0,2In2
【考点】函数的图象及零点的确定.
【易错点晴】
本题设置了一道以分段函数的解析式
a,x0
Inx,x
背景的零点个数的综合应
0
用问题•将问题等价转化为两个函数.-与函数;-二-吗■-芒:
V在给定的区间
-^<0
(-2,0]和区间(0=2〕内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组4-0>0,通
2—a+lii2>0过解不等式组从而获得答案•
13•在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知
sinBsinCmsinAmR,且a24bc0.且角A为锐角,则m的取值范围是
2
【解析】利用正弦定理化简
sinBsinC
msinAm
R,利用余弦定理表示出cosA,
根据A为锐角列不等式,解不等式求得
m的取值范围
【详解】
依题意,
由正弦定理得
bcma,由余弦定理得
cosA
22
bc22bca2ma
2bc
2bc
2
a
2
—2m3,由于A为锐
232
角,所以0cosA1,所以o2m31,即—m2,由于m为正数,故
2
—m2.
2
6_
故答案为:
62.
2
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化,考查不等式的解法,考查化归
与转化的数学思想方法,属于中档题.
1
14•已知函数f(x)2txln(xn2),g(x)t,若函数
x
h(x)4x3nx2(1n)xn8在,上是增函数,且fxgx0在定义
3
域上恒成立,则实数t的取值范围是•
12
【答案】,Ue2
2e
【解析】根据h'x0求得n的值,由此化简fxgx0,利用分类讨论的方法,
结合导数的知识列不等式,解不等式求得t的取值范围
【详解】
432
上是增函数,所以
由于函数h(x)x3nx2(1n)xn8在
3
'2
hx4x2nx1n0恒成立,故
22
4n161n0,即n20,
所以n
2.
故fxg
x0即2txlnx
2tx
lnx
0
2txlnx0
1t
0
①,或
1②.t0
x
2t
Inx
x
由①得
t
x③,
1
构造函数mx
x
1
-t0在0,上恒成立,等价于
x
lnx小
lnx1十,
x0,mx
2,所以mx
x
x
在0,e上mx0,mx递减,在e,
上mx0,mx递增,最小值为
1
-,所以③等价于
e
1
e,解得t
丄
2e
2t
由②得
t
Inx
x④.由也
2x
1
解得
x
1.根据mX和y-的单调性可知,当
e"
且仅当t
2
e时,④成立.
综上所述,
t的取值范围是
丄
2e
故答案为
—Ue2
2e
【点睛】
考查利用导数求解不等式
本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题,恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,难度较大,属于难题二、解答题
22
15.已知集合Ax|x3x20,集合Byyx2xa,集合
2
Cx|xax40,命题p:
AB,命题q:
AC.
(1)若命题P为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题Pq为假命题,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)a3;
(2)(,0)(3,)
【解析】先求出集合Ax1x2和B{y|ya1};
(1)由题意得AB=,由集合的交集运算得a的取值范围;
(2)先求出Pq为真命题时a的取值范围,从而求出Pq为假命题时a的范围.
【详解】
•••y
2小/
x2xa(x
1)2a1
a
1,
•••集合B
{y|y
a
1},
集合
Ax
x23x2
0x1
x
2
,集合C
x
2x
ax
40
(1)
由命题
P是假命题,
可得A
B=
即得a1
2,
•a
3.
(2)
当P
q为真命题时,
p,q都为真命题,
即AB
,且
A
C,
a12
a
3
1a40
a
3,解得0
a3.
222a40
a
0
pq为假命题时,
a
0或a3,••
•a的取值范围是:
(,0)(3,)
【点睛】本题考查了集合交集的运算,考查了复合命题为假命题的应用,二次函数的性质,属于基础题•
1
16.ABC中,角A,B,C所对边分别是a、b、c,且cosA-.
3
Bc
(1)求sin2cos2A的值;
2
⑵若a,3,求△ABC面积的最大值.
【答案】
(1)
Bc
【解析】
(1)将sin2cos2A化简代入数据得到答案•
2
9
(2)利用余弦定理和均值不等式计算bc,代入面积公式得到答案
4
.2B
C
.2
A
1sin
cos2A
sin-
2
2
2
A
2八
1
cosA
cos
2cosA
1-
2
2
1
1-
」2
1
1-;
2
9
9
⑵由cosA
1
,可得sinAi
门
3
9
【详解】
由余弦定理可得a2b2c2
2cos2A1
2cos2A1
2、2
3
333 即有bc<3a2 4 9 -,当且仅当b c3,取得等号 则厶ABC面积为IbcsinA1-乙2土2 22434 3 即有b —时,△ABC的面积取得最大值*• 24 【点睛】本题考查了三角恒等变换,余弦定理,面积公式,均值不等式,属于常考题型 17.如图,在ABC中,BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点,luruuu DC2BD. 0,求实数t的值. uuuUULTLUUT (2)若ABtCDCD 815 【答案】 (1) (2)t 314 UULTUUUUUUUUUT 【解析】 (1)将AD,BC都转化为用AB,AC为基底表示,根据向量数量积的运算,求 /曰UUUTUUU 得ADBC的值• UUUUUT UULTUUUUUUTABCDUUU (2)将原方程ABtCDCD0转化为tLUU2,同 (1)的方法,将CD转化 CD UUUUULT 为用AB,AC为基底表示,根据向量数量积和模的运算,求出t的值. UUUT AD UULT BC 2uuu AB 3 1UUUT —AC 3 UULT AC UUU AB 1UULT 一AC 2uuu2一AB 1UUUUULT -ABAC 3 (2) UUU AB 12cos120 UUUT tCD UULT CD 1 3 UUU AB 3' UUU CD UULT AD UUU BC UUU QCD 2UUU CB 3 UULT UUUABAC UUT2 BC UUU CD 2uuu CB 3 28 UUUUUUT QABCD UUU2UUU2UULT ABABAC 33 UUU2 CD 2uuu2-AB 2UUUTUUU ACAB 3 cos1207 【详解】 UULT UUUT (1)QD是边BC上一点, DC 2 BD UUU 1 UUU 1 UULT UUU BD BC AC AB 3 3 UULT UUU 1 UUUT UUU 2UUU AD AB 1 AC AB -AB 3 3 1UUUT AC 3 82 12cos120 33 10 T 15 14 【点睛】 本小题主要考查平面向量的基本定理, 数学思想方法,属于中档题• 18.某公园为了美化环境和方便顾客, 考查向量数量积和模的运算,考查化归与转化的计划建造一座圆弧形拱桥,已知该桥的剖面如图 所示,共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE,桥面跨度DE 的长不超过12米,拱桥ACB所在圆的半径为3米,圆心O在水面DE上,且AD和BE 所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切•设ADO ,已知直线型桥面每米修 关系式; )的修建总费用为 4a一 兀• 3 W元,求W关于的函数 (2)当 为何值时,桥面修建总费用 W最低? 【答案】 (1) 3cos W2a4 sin 【解析】 (1) 设C为弧AB的中点,连结OA, OC,OB,通过解直角三角形以及弧 长公式, 求得 AD,Ac的长,由此计算出修建总费用W的表达式,根据DE长度的限 制,和圆的直径,求得的取值范围. (2)利用导数求得W的单调区间,进而求得当为何值时,W取得最小值. 【详解】 (1)设C为弧AB的中点,连结OA,OC,OB,则OAAD 在OAD中,AD tan 又因为AOCADO 3cos sin ,所以弧AC长为I3 所以W 4a ~3 込a2a4sin 3cos sin 当DE 6时, 2;当de 12时, 6,所以6 2a 3cos 4 所以W sin 3 _~2 sin 4sin2 ;~2 sin 3,令 当孑3时,f0,函数f单调递减; 当一,一时,fo,函数f单调递增; 32 所以当时,函数f取得最小值,此时桥面修建总费用最低• 3 【点睛】 考查弧长的 本小题主要考查利用导数求函数的最值,考查函数在在实际生活中的运用, 计算,属于中档题• X1 19•已知函数f(x)axlnx(1a)xa(aR). 22 (1)当a1时,求函数fx在x1处的切线方程; (2)当a0时,证明: 函数fx只有一个零点; (3)若函数fx的极大值等于0,求实数a的取值范围 【答案】 (1)y0 (2)证明见解析(3),1 【解析】 (1)求得函数在x1处的导数,由此求得切线方程 (2)通过求fX的二阶导数,研究其一阶导数,进而求得函数fX的单调区间,由 此证得函数fX只有一个零点• (3)当a0时根据 (2)的结论证得结论成立 .当a0,根据fx的二阶导数,对a 分成0a1,a1,a1三种情况,利用f 的一阶导数,结合零点的存在性定理, 求得实数a的取值范围. 【详解】 x2 (1)当a1时,fxxlnx 2 Inx1 所以fx在x1处的切线方程为y 0. (2)fx alnxx1 x0,令gx alnxx 当a0时, x在0,上单调递减,又 所以当x 0,1时,fx x单调递增,当x 1, 时,f 单调递减 所以 0,所以f 只有一个零点x1. (3) ①当a0时, 由 (2)知, x的极大值为f1 0,符合题意; ②当 a0时,令g x0,得 a,当x0,a时, 单调递增, a, 时, x单调递减,注意到 (i)当0 1 a1时,gag10,又gea 1 ea 0. 所以存在X1 0,a,使得gx10,当x0,为 时, 单调递减,当 x为,1时,gx x单调递增,当 x1,时, x0,fx单调递减,所以 fx的极大值为f1 0,符合题意; (ii)当a1时,gx 0恒成立,fx在0, 上单调递减, 无极值,不合题意; (iii)当a1时,gag10,又g 2a ae1,令 2 x X 1 0,x在1,上单调递减, e' X 所以x 1 -1,所以geaa2ea10, e 存在x2 a, 使得gX2fX20, 当x0,1 时, f x0,fx单调递减,当X1,x2 时,fx0,fx单 调递增,当 X X2, 时,fx0,fx单调递减,所以 fX的极大值为fX2, 且fX2 f 1 0,不合题意. 综上可知, a的取值范围是,1. 【点睛】 本小题主要考查利用导数求切线的斜率,考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数 研究函数的极值,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,综 合性较强,属于难题• 2* 20.已知正项数列an的前n项和为Sn,且an2an4Sn1nN. (1) 求数列 an的通项公式; (2) 若bn an1 -,数列bn的前n项和为Tn,求Tn的取值范围; S2n1S2n1 (3) 若Cn 1 -an1,n为奇数 * 2nN,从数列Cn中抽出部分项(奇数项与偶 n 22,n为偶数 数项均不少于两项),将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列•当等差数列的项数 最大时,求所有满足条件的等差数列 【答案】 (1)an2n 1 (2)Tn 1 (2n1)2 2,丄(3)1,2,3,4,5 94 和5,4,3,2,1. 【解析】 (1)利用an S1,n1 SnSn1,n ,求得数列 an 的通项公式• bn的前n项和Tn.利用差比 (2)由 (1)求得Sn的表达式,然后利用裂项求和法求得较法证得数列Tn递增,进而求得Tn的取值范围 (3)先判断出数列Cn的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数•然后假设抽出的数列中 有三个偶数,推出矛盾,由此证得偶数只有两项•进而证得奇数最多有3项•由此求得所 有满足条件的等差数列. 【详解】 2 (1)当n1时,由a;2an 2 4Sn1,得a1 2a14a1 1,得ai1, 22 an1an 2 2an12an4a.1,即an1 2 an2an1an0,即 an1an 2 an1an 0 因为数列 an 各项均为正数, 所以an1 an0,所以an1an2 所以数列 an 是以1为首项, 2为公差的等差数列• 因此,an 1 2(n1)2n 1,即数列 an的通项公式为an2n1 1,两式相减, 得 1 2an1 4Sn 由a;2an4Sn1,得a;1 (2)由 1) 知an2n1, 所以Sn n(12n1)2 n 所以bn an1 S2n1S2n1 2n (2n1)2(2n1)2 1 (2n1)2 1 (2n1)2 所以Tn 2n (2n1)2(2n 1)2 11 3232 (2n 1 (2n1)2 41 1 (2n1)2 令f(n) (2n1)2,则 f(n1) f(n)12 (2n1) (2n3)2 8(n 1) (2n3)2(2n 1)20 所以fn 是单调递增数列,数列Tn递增, 所以TnT1 -,又Tn-,所以Tn的取值范围为 94 n,n2k1 (3)Cnn 22,n2k 设奇数项取了s项,偶数项取了k项,其中s,kN*,s2,k2. 因为数列cn的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数,因此,若抽出的项按照某种顺序 构成等差数列,则该数列中相邻的项必定一个是奇数,一个是偶数假设抽出的数列中有三个偶数,则
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