高一数学二次函数的综合问题人教版doc.docx
- 文档编号:4402820
- 上传时间:2022-12-01
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:27.28KB
高一数学二次函数的综合问题人教版doc.docx
《高一数学二次函数的综合问题人教版doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学二次函数的综合问题人教版doc.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高一数学二次函数的综合问题人教版doc
高一数学二次函数的综合问题人教版
【本讲教育信息】
一.教学内容:
二次函数的综合问题
二.教学重难点:
含有参数的或在给定区间上的二次函数问题,讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程,不等式的综合问题。
【典型例题】
[例1]
求函数y
x(x
a)在x
[1,1]上的最大值。
解:
函数y
(x
a)2
a2
图象的对称轴方程为x
a,应分1
a
1,a
1,
2
4
2
2
2
a
即2a
2,a
2
和a
2这三种情形讨论,下列三图分别为
(1)a
2;
(2)
1
2
2a2;(3)a2时的草图。
由图易知:
f
(1),a
2
(a1),a2
y最大
f(a),2
a2;即y最大
a2
2a2
2
4
f
(1),a
2
a
1,a2
[例2]已知函数f(x)x2(m1)xm(mR)
(1)设A、B是ABC的两个锐角,且tanA、tanB是方程f(x)40的两个实
根,求证:
m5;
(2)当m3时,函数f(sin)的最大值是8,求m的值。
用心爱心专心
证明:
(1)方程f(x)4
0即为x2
(m1)x
m4
0
(m1)2
4(m4)0
m3或m5
依题意,得tanA
tanB
m
1
0
m
1
m5
tanA
tanB
m
4
0
m
4
(2)∵
f(sin
)
sin
2
(m1)sin
m
(sin
m
1
2
m
(m1)2
2
)
4
∵m
3
而m1
2
∴当sin
1时,f(sin
)取得最大值2m
2
2
由题意知2m
2
8
∴m3
[例3]
已知函数f(x)
x2
bx
c(b、c
R,c
2),F(x)
f(x)
c,当
x[
2,
2]时,恒有f(x)
0,且对于任意实数
x1、x2,总有F(x1
x2)
F(x1
x2)
2[F(x1)
F(x2)],求函数f(x)的解析式。
解:
由F
(
x
x2
bx
,得F(0)=0
)
在F(x1
x2)
F
(x1
x2)
2[F(x1)
F(x2)]中,令x1
0
,x2
x
得F(
x)
F(x)
2[F(0)
F(x)]
∴F(x)F(x)
∴F(x)是偶函数
因此b
0
∴f(x)
x2
c
又f(x)在[2,
2]上恒有f(x)0
所以f(
2)f(
2)
0,即2
c
0,亦即c
2
又c
2
∴c
2,故f(x)
x2
2
[例4]已知二次函数f(x)满足条件f(0)1及f(x1)f(x)2x
(1)求f(x);
(2)求f(x)在区间[1,1]上的最大值和最小值
解:
(1)设f(x)
ax2
bxc,由f(0)
1,可知c1
用心爱心专心
∵f(x1)
f(x)
[a(x
1)2
b(x
1)
c](ax2
bxc)2axab
故由f(x2)
f(x)
2x得2a
2,ab0
因而a
1,b
1
所以f(x)
x2
x
1
(2)f(x)x2
x1(x
1)2
3
∵1
1
2
4
3
[1,1],所以当x
时,f(x)的最小值为
2
2
4
当
x
时,
f(x)
的最大值为
f(
1)
3
1
[例5]某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙,约
定乙用经营该店的利润偿还转让费(不计息)。
已知经营该店的固定成本为6.8万元/月,该
消费品的进价为16元/件,月销售量q(万件)与售价p(元)的关系如图所示。
(1)写出销售q与售价p的函数关系式;
(2)当售价p定为多少时,月利润最多?
(3)企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费?
q(万件)
3
2
1
O
16
2025P(元)
解:
1p
7,16
p
20
(1)根据函数图象得
q
4
1p
6,20
p
25
5
(2)设月利润为
W(万元),则
(
1p
7)(p
16)
6.8,16
p
20
W
(p
16)q
6.8
4
1p
(
6)(p
16)
6.8,20
p
25
5
当16
p
20时,W
1(p
22)2
2.2
4
故p
20
时,Wmax
1.2
用心爱心专心
当20p
25
时,W
1(p
23)2
3,故p
23时,Wmax
3
5
∴当售价定为23
元/件时,月利润最多为
3万元。
(3)设最早n个月后还清转让费,则3n
58,n
20
∴企业乙最早可望
20个月后还清转让费。
[例6]是否存在常数k
R,使函数f(x)
x4
(2
k)x2
(2
k)在(
1]上是减函
数且在[1,0)上是增函数?
解法1:
设t
x2,则原函数转化为
f(x)
h(t)
t2
(2
k)t
(2
k)
那么问题就等价于是否存在常数k
R,使函数h(t)
t2
(2
k)t
(2
k)在(0,1]
上是减函数且在
[1,
)上是增函数,根据二次函数的性质知,
只需
2
k
1,故k4
2
解法2:
任取x1
x2
1
,则
f(x2)
f(x1)
x24
x14
(2
k)(x22
x12)
(x22
x12)(x22
x12
2k)
(x1
x2)(x2
x1)(x22
x12
2k)
由f(x)在(
1]上是减函数可知,对任意的
x1
x2
1(*)
0恒成立
所以有x22
x12
2k
0恒成立,即k
x22
x12
2恒成立
∵x1
x2
1
∴x22
x12
21124
因此,当k
4
时,(*)
0恒成立
即当k
4
时,函数f(x)在(
1]上是减函数
仿上可得当k
4
时,函数f(x)在
[
1,0)
上是增函数
故存在常数k
4
,使函数f(x)
x4
(2
k)x2
(2k)在(
1]上是减函数,
且在[
1,0)上是增函数。
[例7]
已知函数f(x)
x2
2x
a,x
[1,
)
x
用心爱心专心
(1)当a
1时,求函数
f(x)的最小值;
2
(2)若对任意x[1,
),f(x)
0恒成立,试求实数
a的取值范围
解:
(1)当a
1时,f(x)
x
1
2
,先证f(x)在区间[1,
)上为增函数(略)
2
2x
7
∴f(x)在区间[1,
)上的最小值为
f
(1)
2
(2)解法1:
在区间[1,
x2
2x
a
0恒成立
)上,f(x)
x
x2
2x
a0恒成立,y
x2
2xa
(x
1)2
a
1在[1,
)上递增
∴当x1
时,ymin
3a
于是当且仅当ymin
3
a
0时,函数
f(x)
0恒成立,故a
3
解法2:
f(x)
x
a
2,x
[1,
),当a
0时,函数f(x)的值恒为正
x
当a
0时,函数f(x)递增,故当x
1时,f(x)min
3a
于是当且仅当
f(x)min
3a
0时,函数f(x)
0恒成立
故0
a
3,综上,
a的取值范围是a
3
[例8]已知函数f(x)
ax2
bx
c(a
b
c)的图象上有两点
A(m1,f(m1))、B
(m2,f(m2)),且满足f
(1)
0,a2
(f(m1)
f(m2))
a
f(m1)
f(m2)
0。
(1)求证:
b
0
(2)求证:
f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是
[2,3)
证明:
(1)a2
[f(m1)
f(m2)]af(m1)f(m2)0
即[a
f(m1)][a
f(m2)]
0
∴
f(m1)
a或f(m2)
a
∴m1或m2是f(x)
a
即ax2
bxc
a
0
的实根
于是
0即b2
4a(ac)
∵
f
(1)
0
∴
a
b
c
0
将a
c
b代入上
述不等关系,得b2
4ab
0,即b(b
4a)
0,又a
b
c
用心爱心专心
∴必有a
0,c
0(否则与a
b
c
0矛盾)
∴b
4a
3a
c
0
∴b
0
(2)设f
(x)
ax2
bx
c
0两根为x1、x2
,则一个根为
1(∵
f
(1)
0
),另一
根为c,∵
a
b
c且由上知b
a
c
0
,∴
aac
0,∴
2
c
1,
a
a
2|x1x2
|
3
【模拟试题】(答题时间:
70分钟)
一.选择题:
1.
设二次函数
f(x)
ax2
bx
c(a
0),如果f(x1)
f(x2)(其中x1
x2
),则
f(x1x2)等于(
)
2
b
B.
b
C.
c
D.
4ac
b2
A.
a
4a
2a
2.
二次函数yx2
2(a
b)x
c2
2ab的图象的顶点在
x轴上,且a、、c为
ABC
b
的三边长,则
ABC为(
)
A.锐角三角形
B.
直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
3.
已知函数f(x)
4x2
mx
5在区间[
2,
)上是增函数,则f
(1)的范围是(
)
A.f
(1)
25
B.
f
(1)
25
C.
f
(1)
25D.
f
(1)25
4.
如图所示,是二次函数
y
ax2
bx
c的图象,则|OA||OB|等于(
)
c
c
C.
c
D.无法确定
A.
B.
a
a
a
y
A
B
x
O
5.yax2bx与yaxb(ab0)的图象只可能是()
用心爱心专心
6.
若f(x)(m
1)x2
2mx
3为偶函数,则f(x)在区间(
5,
2)上(
)
A.是增函数
B.是减函数
C.增减性随m的变化而改变
D.无单调性
二.
填空:
1.
已知函数f(x)
|x2
2ax
b|(xR),给出下列命题:
①f(x)必为偶函数
②当f(0)f
(2)时,f(x)的图象必关于直线x1对称
③若a2
b0,则f(x)
④f(x)有最大值a2
b
其中正确命题的序号是
在区间[a,)上是增函数
。
2.
若y
x2
(a2)x
3,x
[a,b]的图象关于直线x1对称,则b
。
3.
函数y
x2
4x
3(x(
2])的反函数的定义域是
。
4.
函数f(x)
2x2
mx
3,当x(
1]时是减函数,当x
(1,
)时是增函
数,则f
(2)
。
三.解答题:
用心爱心专心
1.
已知二次函数f(x)
ax2
bx
c的图象与直线y
25有公共点,且不等式
ax2
bxc0的解是
1
x
1
,求a、b、c的取值范围。
2
3
2.已知函数
3.已知函数
f(x)4x24axa22a2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值。
f(x)ax2a2x2ba3
(1)当x
(2,6)时,f(x)
0;当x(
2)
(6,)时f(x)
0,求a、
b的值及f(x)的表达式;
(2)设F(x)
k
f(x)
4(k
1)x
2(6k
1),k取何值时,函数F(x)的值恒为负
4
值?
4.设函数f(x)x2
2bx
c(cb
1),f
(1)0,且方程f(x)1
0有实根。
(1)证明:
3
c
1,b
0
(2)若m是方程
f(x)
1
0的一个实根,判断
f(m
4)的正负并加以证明。
5.已知函数f(x)
ax2
4x
b(a
0,a、b
R),设关于x的方程f(x)0的两
根为x1、x2
,f(x)
x的两实根为
、
。
1
|
|
1
,求a、
b
关系式;
()若
()若a、
b
均为负整数,且
|
|1
,求
f(x)
解析式;
2
(3)若
1
2,求证:
(x1
1)(x21)
7
用心爱心专心
【试题答案】
一.
1.D2.B3.A4.B5.D6.A
二.
1.③2.63.[1,)4.19
三.
1.
解:
依题意ax2
bx
c
25
0有解,故
b2
4a(c
25)
0,又不等式
ax2
bxc
0
的解是
1
x
1
,∴a
0且有
b
1,c
1,∴b
1a,
2
3
a
6
a
6
6
c
1a,∴b
c,代入
0得c2
24c(c
25)
0
,∴c
24,故得a、b、c
6
a
144,b
24
,c
24
的取值范围为
2.解:
∵f(x)4(x
a)2
2a
2
当a
2
①
0时,即
a
0
时,函数
f(x)
在
[0,2]
上是增函数
2
∴f(x)min
f(0)
a2
2a
2,由a2
2a
2
3,得a
12
∵a
0
∴a
1
2
②
当0
a
2,即
0
a
4
时,f(x)min
f(a)
2a
2
2
1
2
由
2a
2
3,得a
(0,4),舍去
2
当a
③
2,即a
4
时,函数f(x)在[0,2]
上是减函数,
2
f(x)min
f
(2)
a2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 二次 函数 综合 问题 人教版 doc
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)