实变函数题库集问题详解.docx
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实变函数题库集问题详解
实变函数试题库及参考答案本科
一、题
1.设
为集合,则
(用描述集合间关系的符号填写)
2.设
是
的子集,则
(用描述集合间关系的符号填写)
3.如果
中聚点都属于
,则称
是闭集
4.有限个开集的交是开集
5.设
、
是可测集,则
(用描述集合间关系的符号填写)
6.设
是可数集,则
=
7.设
是定义在可测集
上的实函数,如果
,
是可测集,则称
在
上可测
8.可测函数列的上极限也是可测函数
9.设
,
,则
10.设
在
上
可积,则
在
上可积
11.设
为集合,则
(用描述集合间关系的符号填写)
12.设
,则
=
(其中
表示自然数集
的基数)
13.设
,如果
中没有不属于
,则称
是闭集
14.任意个开集的并是开集
15.设
、
是可测集,且
,则
16.设
中只有孤立点,则
=
17.设
是定义在可测集
上的实函数,如果
,
是可测,则称
在
上可测
18.可测函数列的下极限也是可测函数
19.设
,
,则
20.设
是
上的单调增收敛于
的非负简单函数列,则
21.设
为集合,则
22.设
为有理数集,则
=
(其中
表示自然数集
的基数)
23.设
,如果
中的每个点都是点,则称
是开集
24.有限个闭集的交是闭集
25.设
,则
0
26.设
是
中的区间,则
=
的体积
27.设
是定义在可测集
上的实函数,如果
,
是可测集,则称
在
上可测
28.可测函数列的极限也是可测函数
29.设
,
,则
30.设
是
上的非负可测函数列,且单调增收敛于
,由勒维定理,有
31.设
为集合,则
=
32.设
为无理数集,则
=
(其中
表示自然数集
的基数)
33.设
,如果
中没有不是点的点,则称
是开集
34.任意个闭集的交是闭集
35.设
,称
是可测集,如果
,
36.设
是外测度为零的集合,且
,则
=
37.设
是定义在可测集
上的实函数,如果
,
是可测,(
)则称
在
上可测
38.可测函数列的上确界也是可测函数
39.设
,
,则
40.设
,那么由黎斯定理,
有子列
,使
于
41.设
为两个集合,则
.(等于)
42.设
如果
满足
(其中
表示
的导集),则
是闭.
43.若开区间
为直线上开集
的一个构成区间,则
满(i)
(ii)
44.设
为无限集.则
的基数
(其中
表示自然数集
的基数)答案:
45.设
为可测集,
则
.答案:
46.设
是定义在可测集
上的实函数,若对任意实数
都有
是可测集
上的可测函数.
47.设
是
(
)的点,则
.答案
48.设
为可测集
上的可测函数列,且
则由____黎斯__定理可知得,存在
的子列
使得
.
49.设
为可测集
(
)上的可测函数,则
在
上的
积分值不一定存在且
在
上不一定
可积.
50.若
是
上的绝对连续函数,则
是
上的有界变差函数.
51.设
为集合,则
答案=
52.设
,如果
满足
(其中
表示
的部),则
是开集
53.设
为直线上的开集,若开区间
满足
且
,则
必为
的构成区间
54.设
,则
的基数=
(其中
表示自然数集
的基数)
55.设
为可测集,
且
,则
答案=
56.设
是可测集
上的可测函数,则对任意实数
,都有
是可测集
57.若
是可数集,则
答案=
58.设
为可测集
上的可测函数列,
为
上的可测函数,如果
,则
不一定成立
59.设
为可测集
上的非负可测函数,则
在
上的
积分值一定存在
60.若
是
上的有界变差函数,则
必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)
多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)
1.设
,则(ACD)
是不可数集
是闭集
中没有点
2.设
是无限集,则(AB)
可以和自身的某个真子集对等
(
为自然数集的基数)
3.设
是
上的可测函数,则(ABD)
函数
在
上可测
在
的可测子集上可测
是有界的
是简单函数的极限
4.设
是
上的有界函数,且黎曼可积,则(ABC)
在
上可测
在
上
可积
在
上几乎处处连续
在
上几乎处处等于某个连续函数
5.设
,如果
至少有一个点,则(BD)
可以等于
可能是可数集
不可能是可数集
6.设
是无限集,则(AB)
含有可数子集
不一定有聚点
含有点
是无界的
7.设
是
上的可测函数,则(BD)
函数
在
上可测
是非负简单函数列的极限
是有界的
在
的可测子集上可测
8.设
是
上的连续函数,则(ABD)
在
上可测
在
上
可积,且
在
上
可积,但
在
上有界
9.设
是狄利克莱函数,即
,则(BCD)
几乎处处等于
几乎处处等于
是非负可测函数
是
可积函数
10.设
,
,则(ABD)
是可测集
的任何子集是可测集
是可数集
不一定是可数集
11.设
,
,则(AB)
当
是可测集时,
是可测函数
当
是可测函数时,
是可测集
当
是不可测集时,
可以是可测函数
当
是不是可测函数时,
不一定是可测集
12.设
是
上的连续函数,则(BD)
在
上有界
在
上可测
在
上
可积
在
上不一定
可积
13.设
在可测集
上
可积,则(AC)
,
都是
上的非负可积函数
和
有一个在
上的非负可积
在
上
可积
在
上不一定
可积
14.设
是可测集,则(AD)
是可测集
的子集是可测集
的可数子集是可测集
15.设
,则(CD)
几乎处处收敛于
一致收敛于
有子列
,使
于
可能几乎处处收敛于
16.设
是
上有界函数,且
可积,则(BD)
在
上黎曼可积
在
上可测
在
上几乎处处连续
在
上不一定连续
17.设
则(CD)
(A)
是可数集 (B)
是闭集 (C)
中的每个点均是聚点 (D)
18. 若
(
)至少有一个点,则(BD)
(A)
可以等于0 (B)
(C)
可能是可数集 (D)
不可能是可数集
19.设
是可测集,则
的特征函数
是(ABC)
(A)
上的符号函数 (C)
上的连续函数
(B)
上的可测函数(D)
上的连续函数
20.设
是
上的单调函数,则(ACD)
(A)
是
上的有界变差函数 (B)
是
上的绝对连续函数
(C)
在
上几乎处处收敛 (D)
在
上几乎处处可导
21.设
,则(AC)
(A)
是可数集(B)
是闭集
(C)
(D)
中的每一点均为
的点
22.若
的外测度为0,则(AB)
(A)
是可测集(B)
(C)
一定是可数集(D)
一定不是可数集
23.设
,
为
上几乎处处有限的可测函数列,
为
上几乎处处有限的可测函数,如果
,则下列哪些结果不一定成立(ABCD)
(A)
存在(B)
在
上
-可积
(C)
(D)
24.若可测集
上的可测函数
在
上有
积分值,则(AD)
(A)
与
至少有一个成立
(B)
且
(C)
在
上也有
-积分值
(D)
三、单项选择
1.下列集合关系成立的是(A)
2.若
是开集,则(B)
4.设
是
上一列非负可测函数,则(B)
5.下列集合关系成立的是(A)
6.若
是闭集,则(C)
7.设
为无理数集,则(C)
为闭集
是不可测集
9.下列集合关系成立的是(B)
10.设
,则(A)
11.设
为康托集,则(B)
是可数集
是不可数集
是开集
13.下列集合关系成立的是(A)
若
则
若
则
若
则
若
则
14.设
,则(A)
15.设
,则(B)
是
中闭集
是
中完备集
16.设
,
是
上的可测函数,则(B)
不一定是可测集
是可测集
是不可测集
不一定是可测集
17.下列集合关系成立的是(A)
(A)
(B)
(C)
(D)
18.若
是开集,则(B)
(A)
的导集
(B)
的开核
(C)
(D)
的导集
19.设
的康托集,则(C)
(A)
为可数集(B)
为开集
(C)
(D)
20、设
是
中的可测集,
是
上的简单函数,则(D)
(A)
是
上的连续函数(B)
是
上的单调函数
(C)
在
上一定不
可积(D)
是
上的可测函数
21.下列集合关系成立的是(A)
(A)
(B)
(C)
(D)
22.若
是闭集,则(B)
(A)
(B)
(C)
(D)
23.设
的有理数集,则(C)
(A)
(B)
为闭集
(C)
(D)
为不可测集
24.设
是
中的可测集,
为
上的可测函数,若
,则(A)
(A)在
上,
不一定恒为零(B)在
上,
(C)在
上,
(D)在
上,
四、判断题
1.可数个闭集的并是闭集.(×)
2.可数个可测集的并是可测集.(√)
3.相等的集合是对等的.(√)
4.称
在
上几乎处处相等是指使
的
全体是可测集.(√
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