成人高考数学试题doc.docx
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成人高考数学试题doc
2012年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项:
1.试卷共8页,请用签字笔答题,答案按要求写在指定的位置。
2.答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题(下列每小题的选项中,只有一项是符合题意的,请将表示该选项的字
母填在题后的括号内。
共10小题,每小题3分,共30分)
3ex,
x
0
1.若函数f(x)
sinx
在x
0在处连续,则a(C
)
a,x
0
x
A.0
B.1
C.2
D.3
解:
由f(0
0)
f(00)
f(0)得a
13a2,故选C.
sin2x
0
P26,5.f(x)
x
x
0处连续,则
参见教材
在x
3x2
2xkx
0
k
.
2.当x
0时,与函数
f(x)x2是等价无穷小的是(
A
)
A.ln(1
x2)
B.
sinx
C.
tanx
D.
1cosx
f(x)
x
2
1
故选A.
解:
由lim
x2)
lim
x2)
x
0ln(1
x0ln(1
参见教材P15,例19.
当x
1时,与无穷小量
(1x)等价的是(
)
A.
1
x3
B.
1(1
x)
C.
1(1
x2)
D.
1x
2
2
3.设y
f(x)可导,则[f(ex)]=(D
)
A.
f(ex)
B.
f(ex)
C.
exf(ex)
D.
exf(ex)
解:
[f(ex)]
f
(ex)(ex)
exf
(ex),故选D.
参见教材P44,1.设y
f(ex)ef(x),且f(x)存在,则y
(
)
A.
f(ex)ef(x)
f(ex)ef(x)
B.
f(ex)ef(x)f(x)
C.f(ex)ef(x)
D.
f(ex)exef(x)
f(ex)ef(x)f(x)
4.设1是f(x)
的一个原函数,则
x3f(x)dx
(B
)
x
A.
1x2
CB.
1x2
CC.
1x3
CD.
1x4lnxC
2
2
3
4
1
是f(x)
1
1
解:
因
的一个原函数
所以f(x)
x
2,所以
x
x
x3f(x)dx
xdx
1x2
C故选B.
2
参见教材P101,73.设sinx2为f(x)的一个原函数,求x2f(x)dx.
5.下列级数中收敛的是(
C
)
A.
4n
7n
B.
1
C.
n3
D.
sin
1
n1
3n
n1
3n2
n12n
n1
2n
(n
1)3
1lim(n
1)3
3
解:
因lim
2n
3
1
1
1,所以
nn
收敛,
故选C.
n
n
2n
n3
2
n
12
2n
参见模考试卷
2,6.下列级数中收敛的是
(
)
A.
n
B
.
(1)
n
1
C
.
3n
D
.
1
n13n
1
n
n1n
3
1ln(n1)
n
1
n
6.交换I
1
y
2
1
f(x,y)dx的积分次序,则下列各项正确
dy
1f(x,y)dxdy
1
0
y
1
2
y
2
的是(B
)
y
y=2x
x2
1
1
2x
2
A.
0
dx
2xf(x,y)dy
B.
0
dy
x2
f(x,y)dy
y=x
2
2
x2
2
2x
1
C.
1
dx
2x
f(x,y)dy
D.
1
dx
x2
f(x,y)dy
O1
x
解:
由题意画出积分区域如图
:
故选B.
1
dy
2
f(x,y)dx
2
2
参见冲刺试卷12,6.交换I1
1
dy
f(x,y)dx的积分顺
2
y
1
y
序,则I
(A
)
2
x
A.
dx1
1
x
1xC.1dx1
2x
2
1
f
x
ydy
(
B.dxxf(x,y)dy
)
1
x
1
1
f(x,y)dy
D
dxxf(x,y)dy
.1
2
x
7.设向量1,2是非齐次线性方程组AX=b的两个解,则下列向量中仍为该方程组解
的是(D
)
A.1
2
B.
1
2
C.
21
2D.212
解:
因A(
1
2)
A1
A2
bb
2b,
同理得
A(
1
2)
0,A(2
1
2)
3b,A(21
2)
b,故选D.
参见教材
P239,
14.设
1,
2是线性方程组
AX
b的解,则(
)
(A).
1
2是AX
0的解
(B).
1
2是AXb的解
(C).
k1
1
k2
2
是AX
b的解(k1
k2
1)
(D).
k1
1
k2
2
是Ax
0
的解(k1
k2
1)
8.已知向量
1
(1,2,1,1),2
(2,0,k,0),3(0,4,5,2)线性相关,则k
(D)
A.-2
B.2
C.-3
D.3
1
解:
2
3
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
0
k
0
0
4
k2
2
0
4k2
2
0
4
5
2
0
4
5
2
0
0
k30
由于1,2,3线性相关,所以r(
1,
2,3)2,因此k
3
参见教材P230,例4.设向量组
1
(1,10,a),2(1,a
11,a),3(2,a,1,a1)
线性相关,则a1.
1
解:
2
3
1
1
0
a
1
1
0
a
1
1
0
a
1
a11
a
0
a
2
1
0
0
a21
0
2
a
1
a1
0
a
2
1
a1
0
0
0
a1
由于1,2,
3线性相关,所以r(1,2,
3)2,因此矩阵(1,2,3)任意3阶子式
为0,从而a
1.
9.设A,B为事件,且P(A)
0.6,P(B)
0.4,P(AB)0.2,则P(AB)(A
)
B.0.4
C.
D.
解:
P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]0.2
参见模考试卷1,20.设A和B是两个随机事件,
P(A)0.3,P(B)0.6,P(AB)0.2,则P(A|B)_________.
10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从
甲袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是(B)
A.
3
7
C.
1
1
B.
20
4
D.
16
2
解:
由全概率公式得
3
2
1
1
7
p
5
4
5
20
4
参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.
二、填空题(本题共
10小题,每小题
3分,共
30分,把答案填在题中横线上。
)
11.设函数y
arcsinx1
1
x2
,则函数的定义域为
[2,4).
3
16
解:
1
x1
1,16
x2
0
2
x
4
2
x
4.
4
x
4
3
参见冲刺试卷
9,1
题:
函数y
arcsin(lnx)
的定义域为(
)
2
x
A.0x2
B.e1
x
2
C.e1
xe
D.2xe
解:
2
x
0
x
2
e1
x2
B.
1
lnx
1
e1
x
e
12.设曲线y
x2
x
2在点M处的切线斜率为
3,则点M的坐标是(1,0)
.
解:
y2x1,由y2x13x1,从而y0,故填(1,0).
参见教材P46,16.已知直线y2x是抛物线yx2axb上点(2,4)处的切
线,求a,b.
13.设函数y
xarctanx,则y
2
.
(1
x2)2
解:
y
arctanx
x
y
1
1
x2
2x2
2
.
1x2
(1x2)2
1x2
(1x2)2
参见教材
P46,15.求下列函数的二阶导数(
4)y
(4
x2)arctanx
2
14.
(lnx
1)2012
dx
(lnx
1)2013
C.
x
2013
解:
(lnx
1)2012
dx
(lnx
1)2012d(lnx
1)
(lnx
1)2013
C.
x
2013
参见教材P90,例30.已知
f(x)dx
F(x)
C,则
f(lnx)
.
x
dx
15.
xex
1dx
=
e.
0
解:
xex
1dx
e
xexdx
e.
0
0
参见教材P128,例10.计算
xexdx
0
【解】
xe
x
dx
xd(e
x
)[xe
x
e
x
]0
1lim[
x
e
x
]1.
0
0
x
x
e
16.幂级数
(x
2)n
的收敛域为[3,7).
n1
5n
n
(x
2)n
1
x
2
解:
由lim
un1(x)
lim5n1
nn
1
lim
n
x
2
1.
n
un(x)
n
(x2)
n
5n1
5
5n
n
得3x7级数收敛,
当x
3时,级数为
(1)n
收敛;
当x
7时,级数为
1发散;
n1
n
n1n
故收敛域为[3,7).
参见教材P182,例13.求下列级数的收敛半径和收敛域
:
(4)
(x3)n
;
n1
n25n
冲刺试卷
1,26题:
求幂级数
(2)n
3n(x1)n的收敛域.
n1
n
17.设A是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且
A
2
A
3
E
0,
1
AE.
则(A2E)
解:
A2
A3E0(A2E)(AE)
E
(A
2E)1
(AE)
参见教材
P213,例6.矩阵的综合运算知识
⑤设A2
A4E,则(A2E)1AE
2
解:
A2
A4E
A2
A2E2E(A2E)(AE)2E
(A2E)[(AE)]E(A2E)1
AE
2
2
.
参见冲刺试卷2,19题.已知n阶方阵A满足A2
A
2E0,其中E是n阶单位阵,
则(A
E)1
=
.
解:
A2
A2E
0(AE)A
2E
(AE)
A
E,
(AE)1
A
2
2
0
1
1
18.设A
1
0
1
,记A1表示A的逆矩阵,
A*表示A的伴随矩阵,则
0
0
1
0
1
1
(A1)*
1
0
1.
0
0
1
1
0
0
参见冲刺试卷3,18.已知A=
0
1
3
,A*为A的伴随阵,则
2
2
0
1
5
2
(A*)1
.
1
4
0
0
解:
由
A*AAE
*
AE
*
)
1
4A0
2
6
=||=
A(-4)=
(A
4
0
4
10
19.设型随机变量X~N(1,8),且P(Xc)P(Xc),则c=1.
解:
由正态分布的对称性得c1.
参见冲刺试卷4,
20.设随机变量X~N(,
2)(
0),且二次方程
y2
4yX
0无实根的概率为
1,则=
.
2
解:
由于X~N(
2)(0)
方程y2
4y
X
0有实根,则
16
4X
0X4
此方程无实根的概率为
pP{X
1
故
=4.
4}
2
20.设型随机变量
X在区间[2,4]上服从均匀分布
则方差D(X)
1
.
3
解:
直接由均匀分布得
D(X)
(4
2)2
1
12
.
3
参见教材P277,
3.设随机变量X在(0,
)(
0)上服从均匀分布,则D(2
3X)
3,则等于
(A)23
(B)
3
(C)2
(D)4
3
3
三、计算题:
本大题共
8小题,其中第
21-27题每题7
分,第
28题11分,共60
分。
21.计算极限lim
xsinx.
x0
tan2x
x
sinx
解:
原式=lim
x
2
x0
=lim1
cosx
x0
2x
=limsinx=0.
x02
参见冲刺试卷4,21.求limx2(1
xsin1).
x
x
1
解:
令t
,则
x
lim[x2(1
xsin1)]
limt
sint
lim1
cost
limsint
1
x
x
t0
t3
t0
3t2
t06t
6
22.求由方程yxxy确定的隐函数的导数dy.
dx
解:
两边取对数得xlnylnxlny,
两边求导得lny
xy
1
1y,
y
x
y
从而dy
y(1
xlny).
dx
x(x
1)
参见模考试卷1,22.设函数y
f(x)由方程ylnx
ln(x
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