A.p∧qB.非p∧非qC.非p∧qD.p∧非q
6.到点A(-1,-1)和B(3、7)的距离相等的点M的轨迹方程是()
A.x+y-2=0B.x-y-2=0C.x+y+2=0D.
7.已知△ABC的顶点B、C在椭圆
+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()
A.2
B.6C.4
D.12
8.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是()
A.5,3,
B.10,6,
C.5,3,
D.10,6,
9.设椭圆
上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.
10.椭圆
的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的面积为()
A.
B.
C.
D.21
11.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点
,则该椭圆的方程是()
A.
B.
C.
D.
12.下列四个结论中正确的个数为()
①命题“若
,则
”的逆否命题是“若
或
,则
”;②已知p:
x∈R,sinx≤1,q:
若a
x∈R,x2-x>0”的否定是“
x∈R,x2-x≤0”;④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件.
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
13.已知
,如果
是假命题,
是真命题,则实数
的取值范围是_______________.
14.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为________.
15.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为________.
16.给出如下三种说法:
①四个实数a,b,c,d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc.②命题“若x≥3且y≥2,则x-y≥1”为假命题.③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题.其中正确说法的序号为________.
三、解答题
17.已知p:
x2-12x+20<0,q:
(x-1+a)(x-1-a)>0(a>0).若非q是非p的充分条件,求a的取值范围.
18.设P为椭圆
上一点,F1、F2是其焦点,若∠F1PF2=
,求△F1PF2的面积.
19.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足
,求动点P(x,y)的轨迹方程.
20.命题
关于
的不等式
命题
函数
求实数
的取值范围.
21.已知椭圆
的一个顶点为
,离心率为
,过点
及左焦点
的直线交椭圆于
,
两点,右焦点设为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求
的面积.
22.圆
的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线
交于A,B两点,若
的面积为2,求C的标准方程.
参考答案
1.A
【分析】
逐一判断即可.
【详解】
若
,则
,故A正确
若
,则
,故B错误
当
时
不成立,故C错误
当
时,满足
,但
,故D错误
故选:
A
【点睛】
本题考查的是不等式和方程的知识,较简单.
2.C
【分析】
根据命题的等价关系,只需判断原命题与逆命题的真假即可.
【详解】
若
,当
时
,所以原命题若
,则
为假命题,
逆否命题与原命题的真假性相同,则逆否命题为假命题,
原命题的逆命题是:
若
,则
,
若
可得
且
,即
成立,所以逆命题是真命题,
又逆命题与否命题的真假性相同,则否命题为真命题,
综上,四个命题中,真命题的个数是2个,
故选:
C
【点睛】
本题考查四种命题之间的关系,考查命题的真假判断,属于基础题.
3.D
【分析】
根据全称命题的定义结合命题的真假判断得到答案.
【详解】
π是无理数是特称命题,A错误;取
得到2x为偶数,不满足
,B错误;
当
时,
,C错误;
所有菱形的四条边都相等是全称命题并且是真命题,D正确.
故选:
D
【点睛】
本题考查了全称命题和命题的真假判断,属于简单题.
4.D
【分析】
根据指数函数单调性求得参数
的范围,再根据必要性,即可判断选择.
【详解】
因为指数函数
在
上单调递减,
所以有
,解得
.
由
,
,
,
结合必要不充分条件的定义,可得
是它的一个必要不充分条件.
故选:
D.
【点睛】
本题考查必要不充分条件的求解,涉及指数函数的单调性,属综合简单题.
5.C
【分析】
解一元二次不等式判断命题p不正确,根据指数函数的单调性判断命题q正确,即可根据复合命题的真假判断规则进行判断.
【详解】
的解为
或
,
命题p不正确,
当
时,
,
函数f(x)=(4a-3)x在R上为减函数,命题q正确,
非p∧q为真命题.
故选:
C
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断,涉及一元二次不等式、指数函数的单调性,属于基础题.
6.D
【分析】
到点A和B的距离相等的点M的轨迹方程为
的垂直平分线,计算得到答案.
【详解】
到点A(-1,-1)和B(3、7)的距离相等的点M的轨迹方程为
的垂直平分线,
则
,故
,
中点为
,
故直线方程为:
,即
.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了直线的轨迹方程,确定轨迹为垂直平分线是解题的关键.
7.C
【分析】
根据椭圆定义,椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】
设另一焦点为
,由题
在BC边上,
所以
的周长
故选:
C
【点睛】
此题考查椭圆的几何意义,椭圆上的点到两焦点距离之和为定值,求解中要多观察图形的几何特征,将所求问题进行转化,简化计算.
8.B
【分析】
变换
得到
,得到答案.
【详解】
,即
,故
,
故长轴长、短轴长、离心率依次是
,即
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率,长轴长,短轴长,属于简单题.
9.B
【分析】
根据椭圆定义得到
,
,得到离心率.
【详解】
,故
,即
,
,故
,
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查了椭圆离心率,属于简单题.
10.A
【分析】
求出焦点F1,F2的坐标,可设
,
代入椭圆方程求出
,从而求得
,代入
即可得解.
【详解】
在椭圆
中
,则
,
过F1作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,设
,
则有
,解得
,所以
,
,
所以△ABF2的面积为
.
故选:
A
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质,属于基础题.
11.D
【分析】
根据椭圆定义得到
,再计算
得到答案.
【详解】
,故
,
则
,故椭圆方程为:
.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,意在考查学生的计算能力和转化能力,也可以设椭圆方程代入点求解.
12.B
【分析】
①根据逆否命题的定义判断;②首先判断命题
的真假,再根据复合命题的真假判断规则进行判断;③特称命题的否定为全称命题;④根据集合的包含关系进行判断.
【详解】
①命题“若
,则
”的逆否命题是“若
或
,则
”,①错误;
②命题p正确,命题q错误,所以p∧q为假命题,②错误;
③命题“
x∈R,x2-x>0”的否定是“
x∈R,x2-x≤0”,正确;
④“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件,④错误.
故选:
B
【点睛】
本题考查四种命题、复合命题的真假、充分条件与必要条件的判定,属于基础题.
13.
【解析】
是假命题,
,解得
,由
是真命题,
,解得
,
实数
的取值范围是
,故答案为
.
14.
【分析】
根据待定系数法求解,先设出椭圆的标准方程,根据题意求出参数
后可得椭圆的标准方程.
【详解】
设椭圆的方程为
,
由题意得
,
∴
,
∴
,
∴椭圆的方程为
.
又点P(-5,4)在椭圆上,
∴
,解得
,
∴
,
∴椭圆的方程为
.
故答案为
.
【点睛】
求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体步骤为:
先定形,再定量,即先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,求出a,b后即可得到椭圆的标准方程.
15.
【分析】
由点
为椭圆的短轴的一个端点,所以
,根据
是等腰三角形,得到短轴的平分
,进而利用
,即可求解.
【详解】
由题意,因为
为椭圆的短轴的一个端点,所以
,
所以
是等腰三角形,所以短轴的平分
,
顶角的一半是
,所以
,
所以椭圆的离心率为
.
故答案为:
.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用,其中解答中熟练应用椭圆的对称性,以及离心率的定义是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
16.①②
【分析】
依次判断每个选项:
取
,a,b,c,d不成等比数列,①正确;取
得到②正确;p,q可以一真一假,③错误,得到答案.
【详解】
a,b,c,d等比数列,则ad=bc;若ad=bc,取
,则a,b,c,d不成等比数列,①正确;
取
满足x≥3且y≥2,x-y≥1不成立,②正确;
若p∧q为假命题,则p,q均为假命题或
真
假,或
假
真,③错误.
故答案为:
①②.
【点睛】
本题考查了命题的真假判断,必要不充分条件,且命题的真假判断,意在考查学生的推断能力.
17.
【分析】
解不等式得到非q和非p,根据非q是非p的充分条件得到
,解得答案.
【详解】
,即
,非p为:
或
;
,
非q为:
,即
,
非q是非p的充分条件,故
,即
.
综上所述:
.
【点睛】
本题考查了命题的否定,充分条件,意在考查学生的推断能力和转化能力.
18.
【分析】
根据余弦定理结合椭圆定义得到
,再利用面积公式计算得到答案.
【详解】
,
,则
,
根据余弦定理:
,
即
,故
.
.
【点睛】
本题考查了椭圆焦点三角形面积问题,意在考查学生的计算能力和转化能力,属于常考题型.
19.
【分析】
根