圆和半平面上的迪利希莱Dirichlet问题泊松积分公式.docx
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圆和半平面上的迪利希莱Dirichlet问题泊松积分公式
圆和半平面上的狄利克雷(Dirichlet)问题—泊松积分公式
在第一章的§2.5中,我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。
在这一节中,我们将继续阐述这种联系。
具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱(Dirichlet)问题,即要找一个未知函数,它在某个区域内是调和的,而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。
例如图2.8所示,一半径为1的圆柱体充满导热的物质。
我们知道,圆柱体内的温度是由调和函数
来描述的。
若圆柱体表面的温度是已知的,是由
所给定的,由于
在
上是连续的,因此,我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数
,使得
。
这就是我们所要解的迪利希莱问题。
图2.8
我们刚才所讨论的迪利希莱问题,其边界是简单的几何形状,如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的,通常用变量分离法来解,对更复杂的形状,有时要用共形映照的方法。
这种方法将在以后讨论。
在这节里,我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。
一.圆的迪利希莱问题
对解边界为圆周的迪利希莱问题,柯西积分公式是有帮助的。
考虑z-复平面上半径为R,中心为原点的圆(见图2.9)设f(z)是在圆周
上及其内解析的函数。
图2.9
对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式,对圆内的任何一点z,我们有
(2-25)
令
,它位于过圆点和点z的射线上,且
,因此,
位于圆的外部。
于是,由柯西定理,我们有
. (2-26)
将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减,我们获得
(2-27)
令
于是
。
将它们代入(2-27)式,我们有
.
将分子和分母同时乘以
,则分子
,
分母
。
于是,最后我们有
现将解析函数f(z)表示成其实部U和V,于是,
上述方程成为
由于这个方程两边的实部必相等,于是我们得到下列泊松(Poisson)公式
(2-28)
对
与
,我们也有类似的公式。
泊松积分公式(2-28)是重要的。
这个公式告诉我们:
当U在圆周
上的取值
已知时,则调和函数
在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出。
由于我们要求f(z)在这半径为R的圆周上及其内部是解析的,因此读者必须假定方程(2-28)中的函数
是连续的。
事实上,这条件可放宽成允许
有有限个“跳跃的”不连续点,泊松公式仍成立。
例2-6如图2.10所示,设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半。
上半管
保持1伏特的电位,下半管
保持-1伏特的电位。
求在管内任何一点
的势。
图210
解:
由于电位势是个调和函数,因此泊松公式是可用的。
由公式(2-28),R=1,我们有
. (2-29)
在每个积分中,我们作变数变换
并利用下述积分公式
.(2-30)
取
=1+r
,b==-2r,我们得到.
由于反正切函数是多值函数,在应用这个公式时,必须取适当的单值支,使得
对一切r<1是连续的和
仅在裂缝
和
时是不连续的。
二.对于半平面的迪利希莱问题
我们的问题是要在上半
平面上求一个函数
使得它在上半平面(
>0的区域)上是调和的,而在实数轴
=0上
必须满足欲先给定的边界条件
.
设
在
上是解析的.考虑闭围道
它由半径为R的上半圆周
和实数轴上的线段
所组成。
令z是C
內任何一点,由柯西积分公式,我们有
(2-32)
由于z位于上半平面,则
必位于下半平面,因此,它必在C
的外部。
于是,据柯西定理,有
(2-33)
将(2-32)式和(2-33)式的两边分别相减,我们获得
令
,则
。
上式右端的第二个积分I
等于
. (2-35)
记(2-34)右端的第一个积分为
,在
上
,我们有
。
若在上半平面v
上
,则得
。
于是,对任意给定的点z,我们有
. (2-36)
由于(2-34)式对任何
都是成立的,因此,我们有
.
将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示,
,
,由(2-37)式,我们有
于是,取实部,我们既得对上半平面的泊松积分公式:
(2-38)
关于
与
也有相似的公式。
当
在整个实数轴上的值完全已知时,泊松积分公式(2-38)给出了调和函数
在上半平面内每一点的值。
我们能证明,在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的。
若没有这个限制,还能找到其他的解。
在我们的推导过程中,我们假定,
是在闭上半平面
上解析的函数f(u,v)的实部,这要求方程(2-38)中的函数
对
是连续的。
事实上,这个要求可以放松,若
有有限多个跳跃点(既第一类不连续点),方程(2-38)仍然是成立的。
例2-7如图2.12所示,上半空间
充满着导热的物质。
在边界v=0,u>0上,温度保持在0
,而在边界v=0,u<0,上,温度保持在
。
求整个导体的稳定的温度分布
。
解我们知道,温度
是一个调和函数,泊松积分公式(2-38)是直接可用的。
我们有
,又
,于是
第二个积分是零。
在第一个积分中作变量变换p=x-u,则
. (2-39)
由于
,故
。
.
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