金融数学课后习题答案.docx
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金融数学课后习题答案
第一章习题答案
1.设总量函数为A(t)=t2+2t+3。
试计算累积函数a(t)和第n个时段的利息
In。
解:
把t=0代入得A(0)=3于是:
a(t)=
A(t)
A(0)
=
t2+2t+3
3
In=A(n)−A(n−1)
=(n2+2n+3)−((n−1)2+2(n−1)+3))
=2n+1
2.对以下两种情况计算从t时刻到n(t (1)Ir(0 n); (2)Ir=2r(0 解: (1) I=A(n)−A(t) =In+In¡1+・・・+It+1 = n(n+1) 2 −t(t+1) 2 (2) I=A(n)−A(t) = Σn k=t+1 Ik= Σn k=t+1 Ik =2n+1−2t+1 3.已知累积函数的形式为: a(t)=at2+b。 若0时刻投入的100元累积到3时刻 为172元,试计算: 5时刻投入的100元在10时刻的终值。 第1页 解: 由题意得 a(0)=1,a(3)= A(3) A(0) =1.72 ⇒a=0.08,b=1 ∴A(5)=100 A(10)=A(0)・a(10)=A(5)・a(10) a(5) =100×3=300. 4.分别对以下两种总量函数计算i5和i10: (1)A(t)=100+5t; (2)A(t)=100(1+0.1)t. 解: (1) i5= A(5)−A(4) A(4) = 5 120 ≈4.17% i10= A(10)−A(9) A(9) = 5 145 ≈3.45% (2) i5= A(5)−A(4) A(4) = 100(1+0.1)5−100(1+0.1)4 100(1+0.1)4 =10% i10= A(10)−A(9) A(9) = 100(1+0.1)10−100(1+0.1)9 100(1+0.1)9 =10% 第2页 5.设A(4)=1000,in=0.01n.试计算A(7)。 解: A(7)=A(4)(1+i5)(1+i6)(1+i7) =1000×1.05×1.06×1.07 =1190.91 6.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率? 另外,500元以 单利率7.8%累积多少时间可以达到630元? 解: 设年单利率为i 500(1+2.5i)=615 解得i=9.2% 设500元需要累积t年 500(1+t×7.8%)=630 解得t=3年4个月 7.已知单利率为4%,问: 经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%? 解: 设经过t年后,年利率达到2.5% 1+4%×t=(1+2.5%)t t≈36.367 8.已知: (1+i)5=X,(1+i)2=Y.求(1+i)11. 解: (1+i)11=(1+i)5+2£3=XY3 9.已知600元投资两年将产生利息264元(复利方式),问: 2000元以同样的实 利率投资3年的终值。 第3页 解: 设实利率为i 600[(1+i)2−1]=264 解得i=20% ∴A(3)=2000(1+i)3=3456元 10.已知: 第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一 个货币单位。 计算(1+i)2n. 解: 设实利率为i 1 (1+i)n+ 1 (1+i)2n=1 解得(1+i)¡n= √ 5−1 2 所以(1+i)2n=( √ 5−1 2 )¡2 = 3+ √ 5 2 11.已知: 500元经过30年的投资将增为4000元,计算: 分别在第20、40和60年底 投资10,000元的现值之和。 解: 由500×(1+i)30=4000⇒(1+i)30=8 于是PV= 10000 (1+i)20+ 10000 (1+i)40+ 10000 (1+i)60 =1000×(8¡2 3+8¡4 3+8¡2) =3281.25 12.以同样的实利率,1元经过a年增为2元,2元经过b年增为3元,3元经过c年增 为15元。 若已知6元经过n年增为10元。 试用a,b和c表示n。 第4页 解: (1+i)a=2 (1) (1+i)b= 3 2 (2) (1+i)c=5(3) (1+i)n= 5 3 (4) (4)⇒n・ln(1+i)=ln5−ln3 (3)⇒ln5=c×ln(1+i) (1)× (2)⇒ln3=(a+b)・ln(1+i) 故n=c−(a+b) 13.已知资本A在一年内产生的利息量为336,产生的贴现量为300。 计算A。 解: A・i=336 A・d=300 i−d=i・d ⇒A=2800 14.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下,计算d5。 解: (1) d5= a(5)−a(4) a(5) = 10% 1+5×10% =6.67% 第5页 (2) a¡1(t)=1−0.1t ⇒a(t)= 1 1−0.1t ⇒d5= a(5)−a(4) a(5) = 1 0.5 −1 0.6 1 0.5 =16.67% 15.试用i(3)表示d(4),用d(12)表示i(6)。 解: 由(1+ i(3) 3 )3=(1−d(4) 4 )(¡4) ⇒d(4)=4・[1−(1+ i(3) 3 )¡3 4] 由(1+ i(6) 6 )6=(1−d(12) 12 )(¡12) ⇒i(6)=6・[(1−d(12) 12 )¡2−1] 16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值: 季结算名利率6%;每四年结 算一次的名贴现率为6%。 解: (1)终值为100×(1+i(4) 4)4£2=112.65元 (2)终值为100×[(1−4d(1 4)) 1 4]¡2=114.71元 17.已知: i(m)=0.1844144和d(m)=0.1802608。 计算m。 解: 利用1 d(m) −1 i(m)=1 m ⇒m=8 18.基金A以单利率10%累积,基金B以单贴现率5%累积。 计算两个基金的利息 力相等的时刻。 第6页 解: aA(t)=1+0.1t⇒δA(t)= a0 A(t) aA(t) = 0.1 1+0.1t a¡1 A(t)=1−0.05t⇒δB(t)=−(a¡1 B(t))0 a¡1 B(t) = 0.05 1−0.05t 由δA(t)=δB(t)得 t=5 19.一年期投资的累积函数为二次多项式,前半年的半年名利率为5%,全年的实 利率为7%,计算δ0.5。 解: 依题意,累积函数为a(t)=at2+bt+1 a(0.5)=0.25a+0.5b+1=1.025 a (1)=a+b+1=1.07 ⇒ a=0.04 b=0.03 于是 δ0.5= a0(0.5) a(0.5) =0.068 20.已知: 帐户A的累积函数为: 1+t2,帐户B的累积函数为: 1+2t+t2。 计算帐 户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。 解: 依题意,δA(t)=2t 1+t2,δB(t)=2 1+t 由δA(t)>δB(t) ⇒2t 1+t2> 2 1+t ⇒t>1 21.已知季结算名贴现率为8%,分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当 前的现值: 全部采用复贴现;在最后的不足年份内采用单贴现。 解: d(4)=8%,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为d0。 全部采用复利: (1−d)3=1−8% 2 第7页 PV=5000(1−d)25=4225.25 前两年用复利: 1−3d0=1−8% 2 PV=5000(1−d)24(1−d0)=4225.46 22.为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元,当前选择这样的投资: 前两 年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。 已知季结算名利率6%,计算第3年 初投入的金额。 (原来的答案有误) 解: i(4)=6%,则i=(1+6% 4)4−1=6.14% 设第3年初投入X,以第3年初为比较日,列价值方程 2000(1+i)2+2000(1+i)+X=2000v2+5000v8 解得X=504.67元 23.在一定的利率下,下面两种付款方式等价: 1〕第5年底支付200元,第10年底 支付500元;2〕第5年底一次性支付400.94元。 另外,以同样的利率现在投资100元 再加上第5年底投资120元,这些投资在第10年底的终值为P。 试计算P。 解: 对两种付款方式,以第5年为比较日,列价值方程: 200+500v5=400.94 解得v5=0.40188 所以 P=100(1+i)10+120(1+i)5=917.762 24.经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍? 解: 1000(1+6%)t=2×1000(1+4%)t 解得: t=36年 25.已知年利率为8%,且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元,计 算n。 第8页 解: 列价值方程为 100vn+100v2n=100 解得n=6.25 26.基金A以月换算名利率12%累积;基金B以利息力δt=t 6 累积,初始时刻两基 金本金相同,计算两基金累积额相同的下一个时刻。 解: δt=1 6t,得基金B的积累函数为 aB(t)=exp( ∫t 0 δsds)=exp( t2 12 ) 欲使aA(t)=aB(t)则 (1+ 1 12 i(12))12t=exp( t2 12 ) 解得t=1.4 27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。 解: 1000(1+i)15=3000 则i (2)=((1+i) 1 2−1)×2=7.46% 28.已知现金流: 当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元,在 第2年底的终值为700元。 计算实利率。 解: 列价值方程为 300(1+i)2+200(1+i)+100=700 解得i=11.96% 29.已知货币的价值以利息力δt=kt积累,在十年内增长了一倍,计算k。 (原来 的答案有误) 解: δt=kt则积累函数为 a(t)=exp ∫t 0 ksds=exp( k 2 t2) 由a(10)=2得e50k=2 解得k=0.0139 第9页 30.已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的 一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096,计算i。 解: (1+i)3+(1−i)3=2.0096 解得i=0.04 31.现有实利率为的投资项目。 证明: 一个货币单位的本金在第二个计息期的利 息收入与第一个计息期的利息收入之差为。 试给出这个结论的实际背景解释。 解: 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j,第二个计息期内的利息收 入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。 32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式: A)现在付款15元,6个月后付款13.65元 B〕现在一次性付款28元。 如果两种方式无差异,计算隐含的年实利率。 (将原题中的16元改成13.65元,这 样结果更加符合实际) 解: 设半年实利率为i 0,则有: 15(1+i 0 )+13.65=28(1+i 0 ) 解得: i 0 =0.05故: i=(1+i 0 )2−1=0.1025 33.甲在1997年元旦借给乙1000元,要求乙按下面方式偿还: 分别于1998年 和1999年元旦偿还100元,于2000年元旦偿还1000元。 在1998年元旦(正常还 款后)甲因急需资金,将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。 如果甲乙合约的年 利率为,甲丙合约的年利率为,比较和的大小。 解: 价值方程: 正常: 1000=100(1+j)¡1+100(1+j)¡2+1000(1+j)¡3 转让: 960=100(1+k)¡1+1000(1+k)¡2 解得: j=6.98%,k=7.4% 从而: j 34.如果常数利息力增加一倍,计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。 第10页 解: 和δ等价的年利率i=eδ−1,年利率变化: e2δ−eδ eδ−1 =eδ 和δ等价的年贴现率1−e¡δ=d,年贴现率变化: e¡δ−e¡2δ 1−e¡δ=e¡δ 35.证明: lim d! 0 δ−d δ2=lim i! 0 i−δ δ2= 1 2 证: lim d! 0 δ−d δ2=lim δ! 0 δ−1+e¡δ δ2=lim δ! 0 1−e¡δ 2δ =lim δ! 0 e¡δ 2 = 1 2 lim i! 0 i−δ δ2=lim δ! 0 eδ−δ−1 δ2=lim δ! 0 eδ−1 2δ =lim δ! 0 eδ 2 = 1 2 36.某厂家对零售商提供两种折扣: 付现款可低于零售价格30%;6个月后付款, 可低于零售价格25%。 如果两种方式等价,计算对应的年利率。 解: 设货款为S,半年实利率为i 0 则有: 0.7S(1+i 0 )=0.75S 解得: 1+i 0 =1.0714 故i=(1+i 0 )2−1=14.80% 37.令0 1)在(t,1)内单利计算; 2)复利计算; 3)单利方式: 先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。 在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。 解: 1)单利方式: X1(1+(1−t)i)=1 2)复利方式: X2(1+i)1¡t=1 3)单利方式: X3=(1+ti) 1+i 由Taylor展开易证: (1+i)1¡t>1+(1−t)i(1+i)t<1+it 故X1 38.基金A以年利率6%累积;基金B以年利率8%累积。 第10年底两个基金的终值 之和为2000元,第10年底基金A为基金B的一半。 计算第5年底两个基金的资本之 和。 (原来的答案有误) 第11页 解: 设基金A,B的本金为A,B: A(1+0.06)10+B(1+0.08)10=1000 A(1+0.0610)=0.05B(1+0.08)10 解得: A(1+0.06)5=498.17 B(1+0.08)5=907.44 从而5年底的累积值和=1405.61 39.已知第一年的实利率i1与第二年的实贴现率d2数值相同,第一年初的1000元 在第二年底的终值为1200元。 计算i1。 解: 设第二年的实利率i2,由题意: i1=d2=i2 1+i2 从而: 1000(1+i1)(1+i2)=1000( 1+2i2 1+i2 )(1+i2)=1200 解得: i2=0.1,进而i1=1 11 40.甲以名利率i (2)=10购得1000份100元面额的26周国债。 1)计算价格P; 2)近似推导名利率i (2)的波动对价格P的影响(dP di (2)); 3)当名利率波动一个百分点时,近似计算价格P的波动范围。 (待查) 解: 1)P=1000×100×(1+i (2) 2)¡1=95238.095 2)P=105 1+i (2) 2 (dP di (2))=−2£105 (2+i (2))2 3)(|dP di (2) |)| i (2)=10%=4.5351×104即波动范围: 95238.095±453.51 41.对j>0,证明: 1)f(m)=(1+j m)m是m的递增函数; 2)g(m)=m[(1+j) 1 m−1]是m的递减函数。 解: 1)f 0 (m)=1 m(1+j m)mln(1+j m),j>0,m>0,f 0 (m)>0 2)令y=ln(1+j)/m,则原式化为: ey−1 y ln(1+j)(j>0) 由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。 42.面额100元的26周国债名收益率11.07%。 证明: 售价在94.767到94.771之间时, 均可保持这个收益率。 (题意不理解,暂无修改意见) 第12页 第二章习题答案 1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。 如果它们前十年每年底存 款1000元,后十年每年底存款1000+X元,年利率7%。 计算X。 解: S=1000s20p7%¬+Xs10p7%¬ X= 50000−1000s20p7%¬ s10p7%¬=651.72 2.价值10,000元的新车。 购买者计划分期付款方式: 每月底还250元,期限4年。 月结算名利率18%。 计算首次付款金额。 解: 设首次付款为X,则有 10000=X+250a48p1.5%¬ 解得X=1489.36 3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i=1 n 。 试计算该年金的现值。 解: PV=nanpi¬ =n 1−vn 1 n = (n+1)nn2−nn+2 (n+1)n 4.已知: a¬np=X,a2¬np=Y。 试用X和Y表示d。 解: a2¬np=a¬np+a¬np(1−d)n则 d=1−( Y−X X ) 1 n 5.已知: a¬7p=5.58238,a1¬1p=7.88687,a1¬8p=10.82760。 计算i。 解: a1¬8p=a¬7p+a1¬1pv7 解得i=6.0% 6.证明: 1 1−v10=s1¬0p+a1¬p s1¬0p。 第1页 证明: s1¬0p+a∞¬p s1¬0p= (1+i)10−1 i+1 i (1+i)10−1 i = 1 1−v10 7.已知: 半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值: 开始4年每半 年200元,然后减为每次100元。 解: PV=100a8p3%¬+100a20p3%¬=2189.716 8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。 然 后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。 设前25年的年利率为8%, 后15年的年利率7%。 计算每年的退休金。 解: 设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日 1000¨s25p8%¬=X¨a15p7%¬ 解得X=8101.65 9.已知贴现率为10%,计算a¨¬8p。 解: d=10%,则i=1 1−d −1=1 9 a¨¬8p=(1+i) 1−v8 i =5.6953 10.求证: (1)a¨¬np=a¬np+1−vn; (2)s¨¬np=s¬np−1+(1+i)n 并给出两等式的实际解释。 证明: (1)a¨¬np=1−vn d=1−vn i 1+i =1−vn i+1−vn 所以a¨¬np=a¬np+1−vn (2)s¨¬np=(1+i)n−1 d=(1+i)n−1 i 1+i =(1+i)n−1 i+(1+i)n−1 所以a¨¬np=s¬np−1+(1+i)n 第2页 12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利 率6%,计算: 1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终 值。 解: PV=100a49p1.5%¬−100a2p1.5%¬=3256.88 AV=100s49p1.5%¬−100s2p1.5%¬=6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。 年金A在第1-10年和第21-30年中每 年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金 额为Y,在第11-20年中没有。 已知: v10=1 2 ,计算Y。 解: 因两种年金价值相等,则有 a30pi¬+a10pi¬v10=Ya30pi¬−Ya10pi¬v10 所以Y=3−v10−2v30 1+v10−2v30=1.8 14.已知年金满足: 2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另 外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。 计算i。 解: 由题意知, 2a2npi¬+3anpi¬=36 2anpi¬vn=6 解得i=8.33% 15.已知 a¬7p a1¬1p= a¬3p+sX¬p aY¬p+sZ¬p 。 求X,Y和Z。
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