华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测题2doc.docx

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第十一章反常积分复习自测题

一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：

1、正确地判断下列反常积分的敛散性：

f+81fa\「+8]

（1）I—dr（G>0）；

（2）[—dx（G>0）；（3）I—ck（o>0）。

JaJ0XPJ0兀〃

2、正确地判斷下列反常积分的敛散性：

（1）

dx（a>1x（lnx）p

3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值:

（1）

Ir+81rII

k如⑵匚市如⑶二戸如⑷

4、用定义据理说明下面的关系：

（反常积分的牛顿一莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征）

（1）若函数/（X）在S,+oo）上连续，F（x）为/（X）在S，+oo）上的原函数，记

F（+oo）=limf（x）,

则无穷积分J

+8

/（x）cLx收敛oF（+oo）=lim/（兀）存在，且

XT+oo

2

jf{x）dx=F（%）

—oo

（2）若函数/（x）在（-co,+oo）上连续，F（x）为/（x）在（-oo,+oo）上的原函数，记

F（+oo）=limf（x）,F（—8）=lim/（x）,

.YT+«>片

f+8

则无穷积分［/（x）dx收敛u>F（+oo）=lim/（x）和F（-oo）=lim/（x）都存在，且

J一8XT+ooxt—oo

4-00

fMdx=F（x）

a

（3）若函数/（x）和g（x）都在a+°°）上连续可微，且limf（x）g（x）存在，则无穷积分

f（x）g\x）dx收敛of\x）g（x）dx收敛，且

p+8+oor+8

L/賊（皿=（/（咖创门咖皿,

其中/（+8）g（+°°）=limf（x）g（x）o

JTT+oo

（4）若函数/（兀）在1/7,4-00）上连续，X=（p（t）在［00）（其中〃为有限数或+oo）上连续可导,

且严格单调递增，°（［Q,0））=［d,+oo）,则无穷积分（「/（x）cLx收敛O积分M（p⑴）（p©&收

敛，且

（5）设函数/（x）在（-co,+oo）上连续,

+8

/（x）dx收敛也不

a

二、举例说明下面关系不一定成立：

1、瑕积分r/（x）dx收敛不一定能推出瑕积分r/2（x）dr；无穷积分

JaJa

一定能推出无穷积分J"/2（x）dx收敛；

注：

定积分的乘法性对反常积分不一定成立。

2、无穷积分J"/（x）dx收敛不一定能推出无穷积分|/（x）|dx收敛；注：

注意与定积分的绝对值性质的区别。

C+8

3^设函数/（x）在［（2,+oo）上连续，且］/（x）ck收敛，则lim/（x）=0不一定成立;

Jaxt+8

三、通过下面的问题探索lim于（兀）的情况:

r+8

1>设函数/（x）定义在［a,+8）上，且在任何［a.u］cL<7,+oo）上可积，/（x）dx收敛，若

Ja

limf（x）=A存在，则limf（x）=0:

x—>-K*>x—>-K*>

2、利用1探索：

（1）设函数/（x）在［a,+x）上单调，且f/（x）dx收敛，则lim/（兀）=0；

Jaxt+8

c+°°r+°°.

（2）设函数/'（X）在［0,+°°）上连续可导，且J/（x）cLt与Jf（x）cLt都收敛，则

lim/（x）=0；

+oo

3、设函数/（x）在a+g）上连续，且/（x）cLr收敛，则lim/（x）=0«/（兀）在上

Ja

一致连续；

4、设函数/（x）在［a,+x）上连续，且/（x）dx收敛，试探索下面的问题：

Ja

ru+c

（1）证明：

当u>a时，lim/（x）ck=0（其中c为任意给定的正数），从而

Ca+〃+l

lim|f（x）dx=0；

"TsJa+n

提示：

注意到无穷积分的定义即可。

（2）利用

（1）和积分第一中值公式证明：

在［67,+oo）中，存在严格递增的数列｛£｝满足：

limX”=4-oo,lim/（兀）=0；

〃T8HT8

r+8

（3）类似于

（1）方法证明：

若函数/（兀）在S,+oo）上单调递增（减），且丨f（x）dx收敛，

Ja

则还有limxf（x）=0o

注：

注意到第三大题的第2小题

（1）,（3）表明：

/（x）=o（~）（xt+oo）。

X

提示：

不妨设/（兀）在［（7,+oo）上单调递增，注意到下而的积分不等式以及无穷积分的定义即可：

当u>2a时，2（j/（x）dr

J—MJU

2

5、若函数/（x）在［a,+°°）（o>0）上连续可微，单调递增（减），且lim/（兀）=0,则

提示：

利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式

r+8.f+8+oo「+8

Jxf（x）（Lv=Jxdf（x）=xf（x）-J/（x）cLro

JaJaaJci

1、若无穷积分J收敛,

g（x）dx发散，则无穷积分

四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用〉；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：

（f（x）±g（x））dx发散;

提示：

反证法。

判断］心I-^+―!

—|ck的敛散性;J2I十x\nx丿

5.仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：

设函数/（x）,g（兀）和力（兀）都定义在[a,+8）上，且它们在任何[a,u]u[a,+oo）上可积，若对任

意xw[a,+g）,有g（x）

提示：

（1）用柯西准则；

（2）可直接用定义和极限的迫敛性。

六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幕函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幕函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。

试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：

判断下列反常积分的敛散性：

c+-sinkx,r+8coskx,r+-sinkx./、宀、r+°°coskx.z、小、

Kdr,dr,dr（6r>2）,dr（6r>2）；

Jo1+X2Jo1+兀2Jo1+护Jo1+屮

七、仔细体会并熟练掌提无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出〉，熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。

试解决下面的问题：

1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）

2、设函数/（兀）在a+g）上单调递减，且limf（x）=0（注意此条件蕴含了/（x）>0,为什

片T+oo

么？

），则

十8

/（x）cosxdv都条件收敛。

进一步有J/（x）dr发散，则Jf（%）sinxdx与提示：

类似于第七大题第1小题

（1）的方法。

（3）若把函数/（兀）“在s,+oo）上单调递减彗攵为“在a+oo）上单调递增=上述结果是否有变

化？

注：

此问题为第七大题第1小题（1〉的一般情形。

3^设函数.f（x）在［d,+oo）（d>0）上连续，且Jxf（x）dx收敛，探索

J"f（x）dx和J*®/W—dvJaJa兀

的收敛性。

提示：

用阿贝尔判别法。

八、试讨论下列反常积分的敛散性（注意：

先正确地判断类型；再注意混合反常积分敛散性的含义）:

r+8兀

1、1（a）=[dx:

Jo1+X

rzxf+-ln（l+x）、

2、I（p）=———dr；

Jo0

*、f+8sinxi_八、

3^/（/?

）=J（）——dr（其中/?

>0）o

九、反常积分的典型计算问题：

（注意：

在反常积分值的计算中经常采用线性性、区间可加性、以及第一大题中涉及的牛顿一莱布尼茨公式、换元法和分部积分法）

提示：

先用线性性,

j-In（sin2x）ck用适当换元法和区间可加性,

71

c三i=2x1〃龙\\c-c

ln（sin/）d/

ln（sin2x）cLr=~J（）ln（sinr）dr=—J（；ln（sinr）dr+J

其中对J兀In（sinr）dr再用适当换元，In（sinr）dr=J2ln（sinw）dwo

22°

2、利用1计算下列反常积分的值：

其中

xln（1一cosx）|0=lirrjxln（l-cosx）=0,

ln（l-cosx）dx=In2sin2xdx=^ln2+2joln（sinx）dxo

（3）用线性性及1,并注意到ln（tanx）=In（sinx）-In（cosx）o

（4）用换元x=tan及（3）o

通过计算的方法探索无穷积分J——cU与o的关系，并计算出它的值。

。

（1+X）（1+兀）

提示：

先用区间可加性得,

+81

0（1+兀2）（1+屮）血=

i1『+°°I

（）（l+xpl+xT^+J1（l+x2）（l+^）dx，

再用换元兀=1得，J1Jdx=-

tJo（l+x2）（l+xa）

+8

+8

（1+/2）（1+严）山‘

从而

—arctanX

1+x2

+°°71

1~7

表明

；dx与&无关。

0（1+兀2）（1+屮）

4、计算无穷积分J。

提示：

用分部积分法。

e^txcosbxdx和

+8

o厂sin/zxdr的值，其中o〉0。