两角和与差地正弦余弦正切公式docx.docx
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两角和与差地正弦余弦正切公式docx
实用标准
两角和与差的正弦余弦正切公式
教学目标
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式,并灵活运用.(重点)
2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(难点)
3.掌握两角和与差的正切公式及变形应用.(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1两角和与差的余弦公式
阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容,完成下列问题.
名称简记符号公式使用条件
cos(α-β)=
两角差的余弦公式C(α-β)cosαcosβ+α,β∈R
sinαsinβ
cos(α+β)=
两角和的余弦公式C(α+β)cosαcosβ-α,β∈R
sinαsinβ
cos75°cos15°-sin75°sin15°的值等于.
【解析】逆用两角和的余弦公式可得
cos75°cos15°-sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=
0.
文档
实用标准
【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式
阅读教材P128“探究”以下内容,完成下列问题.
1.公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α+β)
sin(α+β)=sinαcos
、∈R
β+cosαsinβ
αβ
sin(α-β)=sinαcos
两角差的正弦
S(α-β)
、∈R
-cos
sin
β
αβ
β
α
2.重要结论-辅助角公式
y
=sin
x
+
b
cos=
2
+
b
2sin(
+)(
,
b
不同时为0),其
a
x
a
xθa
中cos=
a
,sin
b
=
.
θ
a2+b2
θ
a2+b2
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()
(2)
存在,∈R,使得sin(-)=sin
-sin
成立.(
)
αβ
αβ
α
β
(3)
对于任意,∈R,sin(
+)=sin
+sin
都不成立.(
)
αβ
αβ
α
β
(4)sin54°cos24°-sin36°sin24°=sin30°.(
)
解:
(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sinα-sinβ.
(3)×.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立.
(4)√.因为sin54°cos24°-sin36°sin24°
文档
实用标准
=sin54°cos24°-cos54°sin24°=sin(54°-24°)=sin30°,故原式正确.
【答案】
(1)√
(2)√(3)×(4)√
教材整理3两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容,完成下列问题.
名称简记符号公式使用条件
,,+≠π+
tan(
+)=
αβαβk
两角和的
αβ
π
T(α+β)
tan
α+tan
β
(k∈Z)且tan
正切
1-tantan
β
2
α
·tan
≠1
α
β
,,-≠π+
tan(
-)=
αβαβk
两角差的
αβ
π
T(α-β)
tan
α-tan
β
(k∈Z)且tan
正切
1+tantan
β
2
α
·tan
≠-1
α
β
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)存在,∈R,使tan(
+)=tan
+tan
成立.(
)
αβ
αβ
α
β
(2)对任意,∈R,tan(
tan
α+tan
β
)
+)=
都成立.(
αβ
αβ1-tanαtan
β
(3)tan(
tanα+tanβ
=tan(
+)=
tan
等价于tan+tan
+
αβ
1-tan
β
α
β
α
α
)·(1-tan
tan
).(
)
β
α
β
文档
实用标准
π
+)=tan
0+
π
0+
解:
(1)√.当=0,=时,tan(
=tan
αβ
3
αβ
3
π
tan,但一般情况下不成立.
3
π
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+(k∈2
Z).
πππ
(3)√.当α≠kπ+2(k∈Z),β≠kπ+2(k∈Z),α+β≠kπ+2(k∈
Z)时,由前一个式子两边同乘以1-tanαtanβ可得后一个式子.
【答案】
(1)√
(2)×(3)√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
(1)(2016·济宁高一检测)
sin47°-sin17°cos30°
=()
cos17°
3
1
A.-
B.-
2
2
1
3
C.
D.
2
2
(2)化简求值:
文档
实用标准
1+tan75°
①;
1-tan75°
②sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°);
③(2016·遵义四中期末)tan20°+tan40°+3tan20°·tan
40°.
(1)化简求值应注意公式的逆用.
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数
值.
sin47°-sin17°cos30°
解:
(1)
cos17°
sin(17°+30°)-sin17°cos30°
=
cos17°
sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17°cos30°
=
cos17°
cos17°sin30°
1
=
=sin30°=.
cos17°
2
【答案】C
tan45°+tan75°
(2)①原式=
1-tan45°tan75°
=tan(45°+75°)=tan120°=-3.
∴原式=-3.
文档
实用标准
②设=+15°,
αθ
则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-
3cosα
1
3
3
1
-3cos
=0.
=
+
cosα
+
cos
-
sinα
sinα
α
α
2
2
2
2
∴原式=0.
③原式=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°·tan40°=
3.
∴原式=3.
1.公式T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有tan
α·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-
β)).三者知二可表示出或求出第三个.
2.化简过程中注意“1”与“tan
π
π
1
”、“3”与“tan
”、“”
4
3
2
π
与“cos”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
3
[再练一题]
1.化简求值:
(1)cos61°cos16°+sin61°sin16°;
(2)sin13°cos17°+cos13°sin17°;
(3)
1+tan
12°tan72°
tan12
.
°-tan72°
文档
实用标准
2
解:
(1)原式=cos(61°-16°)=cos45°=.
2
1
(2)原式=sin(13°+17°)=sin30°=.2
(3)原式=
1+tan
12°tan72°
1
3
tan12
=-
=-.
°-tan72°
tan(72°-12°)
3
给值求值
π
3π
π
(2016·普宁高一检测)已知
4
<α<
4
,0<β<
4
,
π
3
3
5
cos+α=-,sin
π+β=
,求sin(α+β)的值.【导学号:
4
5
4
13
00680069】
3
π
可先考虑拆角,π++=
π+β+
+α,然后再利用sin(
α
αβ
4
4
+)=-sin(π++)求值.
β
αβ
π
3
ππ
解:
因为
4
<α<
4
π,所以
2
<
4
+α<π.
π
π
4
所以sin
+α=
1-cos2+α=.
4
4
5
π33
又因为0<β<4,4π<4π+β<π,
文档
实用标准
所以cos
3
1-sin2
3
12
π+β=-
π+β=-
,
4
4
13
所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)
=-sin
π
3π
+α+
+β=
4
4
π
3
π
3π
-sin+αcos
π+β+cos
+αsin
+β
4
4
4
4
4
12
3
5
=-
×-
+-
×
5
13
5
13
63
=.
65
1.本题属于给值求值问题,求解时,关键是从已知角间的关系
入手,分析出已知角和待求角的关系.如本题中巧用β=(α+β)-α
这一关系.
2.常见角的变换为
(1)2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α;
α+ββα
(2)2=α-2-2-β,
α-ββα
2=α+2-2+β;
πππ
(3)+α++β=+(α+β);
442
文档
实用标准
π
(4)4+α+
[再练一题]
π
π
-β=+(-).
4
αβ
2
4
3π
,tan
1
π
2.已知cos=-
,∈π,
=-,∈
,π,
α
5
α
2
β
3
β
2
求cos(α+β).
3π
解:
因为∈
π,
,
α
2
43
cosα=-,所以sinα=-.
55
π
,tan
1
因为∈
,π
=-,
β
2
β
3
3
10
10
所以cos
β=-
10
,sin
β=.
10
所以cos(
+)=cos
cos
-sin
sin
β
αβ
α
β
α
4
3
10
3
10
3
10
.
=-
5
×-
10
-
-
×
10
=
10
5
给值求角
已知sin
5
10
=
,sin
=
,且,为锐角,求
+
α
5
β
αβ
α
10
β的值.
sinα,sinβ→求cosα,cosβ→求cos(α+β)→
文档
实用标准
确定α+β的范围→求α+β的值
5
解:
∵sinα=,α为锐角,
5
2
∴cosα=1-sin2α=55.
10
又sinβ=,β为锐角,
10
∴cos
β=
1-sin2β=
3
10.
10
∴cos(
+)=cos
cos
-sinsin
αβ
α
β
αβ
2
5
3
10
5
10
2
=
×
-
×
10
=.
5
10
5
2
π
又α,β∈0,,
2
∴0<α+β<π,
π
因此α+β=4.
1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小),
导致求出的角不合题意或者漏解.
2.求角的大小,要解决两点:
(1)确定所求角的范围,
(2)求角的
某一三角函数值,特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函
文档
实用标准
数值.
[再练一题]
.若把本例题的条件改为“∈0,
π
,∈-
π
,且
3
,0
cos(α
α
2
β
2
3
2
-)=,sin
=-
10
”,试求角的大小.
β
5
β
α
π
π
解:
∵∈0,
,∈-,0
,∴-∈
(0
,π,
α
β
αβ
)
2
2
34
由cos(α-β)=5,知sin(α-β)=5.
由sin
2
,知cos
7
2
=-
=.
β
β
10
10
∴sinα=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
4
7
2
3
2
2
=×
+×-
10
=.
5
10
5
2
又∈0,
π
π
2
,∴=.
α
α
4
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1函数y=sinx+cosx(x∈Z)的最大值为2对吗?
为什
么?
文档
实用标准
【提示】不对.因为sinx+cosx
22
=2sinx+cosx
22
2sinx·cos
π
π
=
+cos
x·sin
4
4
π
=
2sin
x+
.
4
所以函数的最大值为
2.
探究2
函数y=3sin
x+4cosx的最大值等于多少?
y
x
x
3
4
x
【提示】
因为
=3sin
+4cos
=5
sin
+cos
,
5
x5
34
令cosφ=5,sinφ=5,
则y=5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin(x+φ),
所以函数y的最大值为5.
探究
3
如何推导sin
x
+
b
cos
x
=
2
+
b
2
sin(
x
+
a
a
b
φ)tanφ=公式.
a
【提示】asinx+bcosx
a
sinx+
b
=
a2+b2
cosx,
a2+b2
a2+b2
文档
实用标准
令cos
φ=
a
,sin
φ=
b
,则
a2+b2
a2+b2
a
sin
+
cos
x
=
a
2
+
b
2
(sin
x
cos
+cos
x
sin
)
x
b
φ
φ
=a2+b2sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a、b的符号确定,φ
tanφ=
b
sinφ=
b
φ=
角的值由
确定,或由
和cos
a
a2+b2
a
共同确定).
a2+b2
当函数y=sinx-3cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x
=________.
可先用公式Sα±β将函数化为y=Asin(ωx+φ)形式再求最大值对
应的x值.
解:
函数为y=sinx-
1
3
3cosx=2sinx-
cosx
2
2
π
π
=2sinxcos-cosxsin
3
3
π
=2sinx-,3
ππ5π
当0≤x<2π时,-3≤x-3<3,
ππ
5π
所以当y取得最大值时,x-=,所以x=.
326
文档
实用标准
5π
【答案】
6
1.对于形如sinα±cosα,3sinα±cosα的三角函数式均
可利用特殊值与特殊角的关系,运用和差角正、余弦公式化简为含有
一个三角函数的形式.
2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想,在三角函数求值化简的变换过程中,一定要本着先整体后局部的基本原则.
[再练一题]
x
π
4.函数
(
)=sin
-cos
+
的值域为()
fx
x
6
A.[-2,2]B.-3,3
33
C.[-1,1]D.-,
22
π
解:
f(x)=sinx-cosx+
6
31
=sinx-cosx+sinx
22
3
3
=sinx-
cosx
2
2
π
=3sinx-6,
所以函数f(x)的值域为[-3,3].
文档
实用标准
故选B.
【答案】B
[构建·体系]
1.(2016·清远期末)化简:
sin21°cos81°-cos21°·sin81°等
于()
1
1
A.
B.-
2
2
3
- 配套讲稿:
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