惠州市届高三第二次调研考试数学文科试题及答案.docx
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惠州市届高三第二次调研考试数学文科试题及答案
惠州市2014届高三第二次调研考试试题
数学(文科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合
,集合
,
表示空集,那么
()
A.
B.
C.
D.
2.命题“存在实数
,使
”的否定为()
A.对任意实数
,都有
B.不存在实数
,使
C.对任意实数
,都有
D.存在实数
,使
3.双曲线
的离心率为()
A.
B.
C.
D.
4.直线
与圆
的位置关系是()
A.相切B.相交且直线不经过圆心
C.相离D.相交且直线经过圆心
5.已知
,
,若
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
6.函数
的定义域为()
A.
B.
C.
D.
7.已知等差数列
的前
项和为
,若
,
,则
为()
A.
B.
C.
D.
8.已知函数
的部分
图像如图所示,则
的值分别为()
A.
B.
C.
D.
9.已知
为两条不同的直线,
为两个不同的平面,给出下列4个命题:
①若
②若
③若
④若
其中真命题的序号为()
A.①②B.②③C.③④D.①④
10.设
是正
及其内部的点构成的集合,点
是
的中心,若集合
.则集合
表示的平面区域是()
A.三角形区域B.四边形区域
C.五边形区域D.六边形区域
二、填空题:
(本大题共5小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分20分)
(一)必做题:
第11至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
11.复数
的虚部为__________.
12.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.
13.设变量
满足约束条件
,则
的
最大值为_________.
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系下,圆
的圆心到直线
的距离为.
15.(几何证明选讲选做题)如图,圆
是
的外接圆,过点
的切线交
的延长线于点
,且
,
,则
的长为 .
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和最值;
(2)求函数
的单调递减区间.
17.(本小题满分12分)
对某校高一年级学生参加社区服务次数统计,随机抽去了
名学生作为样本,得到这
名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表如下:
(1)求出表中
的值;
(2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于
次的学生中任选
人,求至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率.
18.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥
中,
底面
为
的中点,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求点
到平面
的距离。
19.(本小题满分14分)
已知数列
的前
项和是
,且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求适合方程
的正整数
的值.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的一个顶点为
,焦点在
轴上,若右焦点到直线
的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线
与椭圆相交于不同的两点
、
,当
时,求
的取值范围.
21.(本小题满分14分)
已知函数
(1)若函数
在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2)若
,函数
在区间
内有唯一零点,求
的取值范围;
(3)若对任意的
,均有
,求
的取值范围.
参考答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1.【解析】因为
,所以
,选
;
2.【解析】特称命题的否定为:
对任意实数
,都有
,选
;
3.【解析】由
可知
,
所以
,离心率
,选
4.【解析】圆心
到直线
的距离为
,而圆的半径为
,距离等于半径,所以直线与圆相切,选
;
5.【解析】由
得
,解得
,选
;
6.【解析】要使解析式有意义,必须满足
,解得
,选
;
7.【解析】
,即
,得
,据等差数列前
项和公式
得
,选
8.【解析】据五点法可得
,解得
,
,选
;
9.【解析】若
则
与
的位置关系不能确定,所以命题①错误,
若
,命题②正确,若两平面垂直于同一条直线,则这两平面平行,所以命题③正确,两直线同时平行于一个平面,这两条直线的位置关系不能确定,所以命题④正确,综上所述,选
;
10.【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心,重心为中线
的一个三等分点,如图所示,图中六边形
区域为集合
所表示的平面区域,选
。
二、填空题(本大题共5小题,第14、15小题任选一道作答,共20分)
11.
12.
13.
14.
15.
11.【解析】由
,可得虚部为
;
12.【解析】第一次循环:
;第二次循环:
;;
第三次循环:
,
;跳出循环,输出
;
13.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,当目标函数对应的直线过点
时;
的值最大,即
;
14.【解析】
化为普通方程为
,可知圆心坐标为
,
化为普通方程为
,
;
15.【解析】据切割线定理可得
,即
,
解得
或
,舍去
,所以
。
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
解:
(1)
…………………………3分
…………………………4分
当
即
时,
取最大值2;…………5分
当
即
时,
取最小值-2…………6分
(2)由
,………………………8分
得
………………………10分
∴单调递减区间为
.………………………12分
17.(本小题满分12分)
解:
(1)因为
,所以
……………2分
又因为
,所以
……………3分
所以
,
……………4分
(2)设参加社区服务的次数在
内的学生为
,参加社区服务的次数在
内的学生为
;……………5分
任选
名学生的结果为:
共
种情况;……………8分
其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的情况有
,共
种情况…10分
每种情况都是等可能出现的,所以其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率为
.……………12分
18.(本小题满分14分)
证明:
(1)因为
平面
,
平面
,
所以
…………2分
又因为在
中,
,
为
的中点,
所以
…………4分
又
平面
,
平面
,且
,
所以
平面
………6分
(2)法一:
因为
平面
且
平面
所以平面
平面
,……………8分
又因为平面
平面
,
所以点
到
的距离
即为点
到平面
的距离,……………10分
在直角三角形
中,由
……………11分
得
……………13分
所以点
到平面
的距离为
.………………………14分
法二:
设点
到平面
的距离为
,据
………8分
即
,得
………………………13分
所以点
到平面
的距离为
.………………………14分
19.(本小题满分14分)
(1)当
时,
,由
,得
……………………1分
当
时,∵
,
,…………………2分
∴
,即
∴
…………………………………………5分
∴
是以
为首项,
为公比的等比数列.…………………………………6分
故
…………………………………………7分
(2)
,
……………9分
…………………………………………11分
……13分
解方程
,得
…………………………………………14分
20.(本小题满分14分)
解:
(1)依题意可设椭圆方程为
,………………………….2分
则右焦点
的坐标为
,………………………….3分
由题意得
,解得
,
故所求椭圆的标准方程为
.………………………….5分
(2)设
、
、
,其中
为弦
的中点,
由
,得
…………………….7分
因为直线与椭圆相交于不同的两点,所以
即
①,………………………….8分
,所以
,
从而
………………………….9分
所以
,………………………….10分
又
,所以
,
因而
,即
②,……………………….11分
把②式代入①式得
,解得
,………………………….12分
由②式得
,解得
,………………………….13分
综上所述,求得
的取值范围为
.………………………….14分
21.(本小题满分14分)
(1)
,所以
,得
.………………2分
又
,所以
,得
.………………3分
(2)因为
所以
,
.………………4分
当
时,
,当
时,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增………………5分
又
,可知
在区间
内有唯一零点等价于
或
,.………………7分
得
或
..………………8分
(3)若对任意的
,均有
,等价于
在
上的最大值与最小值之差
……………10分
(ⅰ)当
时,在
上
,
在
上单调递增,
由
,得
,
所以
.………………9分
(ⅱ)当
时,由
得
由
得
或
所以
,同理
.………………10分
当
,即
时,
,与题设矛盾;
.………………11分
当
,即
时,
恒成立;……………12分
当
,即
时,
恒成立;
.………………13分
综上所述,
的取值范围为
..………………14分
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