全国校级联考安徽省皖南八校届高三第三次联考数学文试题解析版.docx
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全国校级联考安徽省皖南八校届高三第三次联考数学文试题解析版
“皖南八校”2018届高三第三次联考
文数学卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
..................
所以
或
,故选C.
2.已知复数
是
的共轭复数,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
视频
3.已知等差数列
中,
,前5项和
,则数列
的公差为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设等差数列
的首项为
,公差为
,
由
,所以
,解得
,故选C.
4.已知
,
,
,则下列大小关系正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】试题分析:
故选D.
考点:
实数的大小比较.
5.定义某种运算
的运算原理如右边的流程图所示,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析:
该题属于新定义运算,在程序框图中,将题中所给的
比较大小,根据条件,找准方向,求出结果即可.
详解:
根据题中所给的程序框图,可以得到
,
,又
,可知答案为3,故选A.
点睛:
该题属于利用程序框图求解新定义运算问题,关键是看清方向,找准目标,求得正确结果.
6.中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一中名为“堑堵”的几何体,其三视图如图所示,则其外接球的表面积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析:
该题属于已知几何体的三视图,,求其外接球的表面积问题,把三棱柱补成长方体,则长方体的对角线长等于外接球的直径,从而求得结果.
详解:
由已知可得该“堑堵”是一个半个长方体的直三棱柱,且长宽高分别是
,该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球,而长方体的对角线是
,所以其外接球的半径为1,所以其外接球的表面积为
,故选B.
点睛:
解决该题的关键是将根据三视图将几何体还原,从而得到该几何体是半个长方体的三棱柱,利用长方体的外接球的特征求得结果.
7.设
满足约束条件
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】画出约束条件所表示的可行域,如图所示,
设
,可化为
,
当直线
经过点
时,直线在
轴上的截距最大,此时
取得最大值,
当直线
经过点
时,直线在
轴上的截距最小,此时
取得最小值,
由
,解得
,此时最大值为
,
由
,解得
,此时最小值为
,
所以目标函数
的最大值为
,故选A.
8.将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)再把图像向左平移
个单位,得到函数
的图象,则函数
图象的一个对称中心为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
,可得函数的解析式为
,再把函数
图像向左平移
个单位,得到函数
,
令
,解得
,
当
时,
,所以函数
的一个对称中心的坐标为
,故选B.
9.2018年行平昌冬季奥运会与2月9~2月25日举行,为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P,某学生设计了如下的计算机模拟,通过计算机模拟项长为8,宽为5的长方形内随机取了N个点,经统计落入五环及其内部的点数为
个,圆环半径为1,则比值
的近似值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设奥运五环所占的面积为
,矩形的面积为
,
由在长方形内随机取了
个点,经统计落入五环及其内部的点数为
个,
根据面积比的几何概型概率公式得
,则
,
单独五个圆的面积为
,
所以奥运会所占面积与单独五个环面积和的比例为
,故选C.
10.函数
的部分图象大致为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
函数
为奇函数,图象关于原点对称,排除A、C项,
当
时,
,排除D,故选B.
11.已知
分别是双曲线
的左右焦点,过
的直线
与双曲线左右两支分别交于
两点,若
是等边三角形,则该双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析:
根据双曲线的定义,算出在三角形
中,
,利用余弦定理算出
,结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率.
详解:
如图,依题意可得
,又因为
,所以
,又因为
,所以
,即在三角形
中,
,由余弦定理,可得
,从而可得
,即
,故选B.
点睛:
这是一道求双曲线离心率的题目,解题的关键是掌握双曲线的定义及性质,在解三角形的过程中,也可以放在
中利用余弦定理解决,此时应用
即可得结果.
12.已知
,若
在区间
上有且只有一个极值点,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】试题分析:
当
时,
,在
上单调递增,没有极值点,故排除B,D选项.当
时,
,令
,
,故函数单调递增,且
,所以
上
有零点且左边小于零,右边大于零,即
有极值点且仅有
个,故
符合题意,排除C选项,选A.
考点:
导数与极值点.
【思路点晴】本题主要考查导数与极值点个数的问题.小题可以采用排除法,即观察选项后,代入
两个特殊值,然后利用极值点的概念,用导数来验证和排除选项.通常来说,解答此类问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化:
(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量
与
夹角为
,则
__________.
【答案】
【解析】由向量
与
的夹角为
,
则
.
14.若过点
有两条直线与圆
相切,则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意过点
有两条直线与圆
相切,
则点
在圆外,即
,解得
,
由方程
表示圆,则
,解得
,
综上,实数
的取值范围是
.
15.如图1所示是一种生活中常见的容器,其结构如图2,其中
是矩形,
和
都是等腰梯形,且
平面
,现测得
与
间的距离为
,则几何体
的体积为__________
.
【答案】3500
【解析】分析:
该几何体属于不规则几何体,在解决问题的过程中,需要对几何体进行分割,将其分割为两个全等的三棱锥和一个三棱柱,利用题中的条件,求得相应的量,代入体积公式求得结果.
详解:
在
上,取两点
,分别满足
,连接
,则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱,根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量,可以求得
,故答案是
.
点睛:
该题属于求不规则几何体的体积的问题,解题的关键是将不规则几何体进行分割,转化为熟悉的几何体,利用体积公式求得结果.
16.已知数列的前
的前
项和为
,数列的
的前
项和为
,则满足
的最小
的值为__________.
【答案】9
【解析】由数列
的前
项和为
,则当
时,
,
所以
,
所以数列
的前
和为
,
当
时,
,
当
时,
,
所以满足
的最小
的值为
.
点睛:
本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题,其中解答中涉及到数列的通项
与
的关系,推导数列的通项公式,以及等差、等比数列的前
项和公式的应用,熟记等差、等比数列的通项公式和前
项和公式是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在
中,角
的对边分别为
。
(1)求角
的大小;
(2)若
,求
的面积。
【答案】
(1)
;
(2)
【解析】试题分析:
(1)在
中,利用正弦定理和三角恒等变换的公式,化简可得
,
即
,即可求解角
的大小;
(2)在
中,由余弦定理,求得
边的长,再利用三角形的面积公式即可求解
的面积
试题解析:
(1)在
中,
,
则
,
所以
,所以
,
即
,所以
.
(2)在
中,
,
由余弦定理,得
,所以
,所以
,
所以
的面积为
.
18.如图,已知四棱锥
的底面
是菱形,
平面
,点
为
的中点。
(1)求证:
平面
平面
;
(2)求三棱锥
的体积。
【答案】
(1)见解析;
(2)
【解析】试题分析:
(1)连接
与
交于点
,连接
,得
,又由
,利用线面垂直的判定定理,得
平面
,进而可得平面
平面
.
(2)利用所以
,即可求得三棱锥的体积.
试题解析:
(1)连接
与
交于点
,连接
,
因为
平面
平面
,所以
,
因为点
为
的中点,所以
,
因为
,
因为
是菱形,所以
,
因为
,所以
平面
,
因为
平面
,所以平面
平面
.
(2)由
(1)可知
平面
,
,
所以
所以
所以
.
19.2017年,在青岛海水稻研究发展宗鑫的试验基地,我国奇数团队培养处的最新一批海水稻活动丰收,由原亩产300公斤,条到最高620公斤,弦长测得其海水盐分浓度月为
。
(1)对
四种品种水稻随机抽取部分数据,获得如下频率分布直方图,根据直方图,说明这四种品种水稻中,哪一种平均产量最高,哪一种稳定(给出判断即可,不必说明理由);
(2)对盐碱度与抗病害的情况差得如右图和
的列联表的部分数据,填写列表,并以此说明是否有
的把握说明盐碱度对抗病虫害有影响。
附表及公式:
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)根据题设中的频率分布直方图,可得
品种平均产量最高,
品种产量最稳定.
(2)完成
的列联表,计算
的值,根据附表,即可作出判断没有90%的把握说明盐碱度对抗病虫害有影响.
试题解析:
(1)D品种平均产量最高,B品种产量最稳定.
(2)
,
故没有90%的把握说明盐碱度对抗病虫害有影响.
20.设椭圆
的离心率为
,椭圆
上一点
到左右两个焦点
的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过
的直线与椭圆
交于
两点,且两点与左右顶点不重合,若
,求四边形
面积的最大值。
【答案】
(1)
;
(2)6
【解析】分析:
第一问根据题中条件,利用椭圆的定义以及性质,求得
的大小,再根据椭圆中
的关系,求得
的值,从而求得椭圆的方程,第二问根据题中的条件,可以断定
是弦的中点,从而确定出四边形是平行四边形,应用面积公式求得结果.
详解:
(1)依题意,
,
因为
,所以
,
所以椭圆
方程为
;
(2)设
,
则由
,可得
,
即,
,
,
又因为
,所以四边形
是平行四边形,
设平面四边形
的面积为
,
则
设
,则
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- 全国 级联 安徽省 皖南 八校届高三 第三次 联考 数学 试题 解析