运筹学线性规划在管理中的应用案例.docx
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运筹学线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用
某企业停止了生产一些已经不再获利的产品,这样就产生了一部分剩余生产力。
管理
层考虑将这些剩余生产力用于新产品I、n、川的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量
的主要因素,具体数据如下表:
机器设备类型]
每周可用机器台时数
铳床
500
车床
350
磨床
150
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表:
机器设备类型
新产口口I
新产口口n
新产品川
铳床
8
4
6
车床
4
3
0
磨床
3
0
1
三种新产品的单位利润分别为元、元、元。
目标是要确定每种新产品的产量,使得公司的利润最大化。
1判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析(分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对
偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析)。
6、若销售部门表示,新产品I、n生产多少就能销售多少,而产品川最少销售18件,请重新完成本题的1-5。
解:
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化,总利润为:
++
决策的限制条件:
铳床限制条件
车床限制条件
磨床限制条件
8xi+4x2+6X3<500
4xi+3X2w350
3xi+X3<150
即总绩效测试(目标函数)为:
maxz=++
3、本问题的线性规划数学模型
maxz=++
S.T.8x计4x2+6X3<500
4xi+3X2w350
3xi+X3W150
xi>0、X2>0、X3>0
50,25,0),最优值:
30元。
4、用Excel线性规划求解模板求解结果:
最优解(
5、灵敏度分析
目标函数最
优值为
:
30
变量
最优解
相差值
X1
50
0
X2
25
0
X3
0
.083
约束
松
弛/剩余变量
对偶价格
1
0
.05
2
75
0
3
0
.033
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
X1
.4
5
无上限
X2
.1
2
.25
X3
无下限
.25.333
常数项数范围
约束
下限
当前值
上限
1
400
500
600
2
275
350
无上限
3
150
(1)最优生产方案:
新产品I生产50件、新产品n生产25件、新产品川不安排。
最大利润值为30
元。
(2)x3的相差值是意味着,目前新产品川不安排生产,是因为新产品川的利润太低,若要使新产品川值得生产,需要将当前新产品川利润元/件,提高到元/件。
(3)三个约束的松弛/剩余变量0,75,0,表明铣床和磨床的可用工时已经用完,而车床的可用工时还剩余75个工时;
三个对偶价格,0,表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
(4)目标函数系数范围
表明新产品I的利润在元/件以上,新产品n的利润在到之间,新产品川的利润在以下,上述的最佳方案不变。
(5)常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在到工时之间。
各自每增加一个工时对总利润的贡献元,0元,元不变。
6、若产品川最少销售18件,修改后的的数学模型是:
maxz=++
S.T.8x计4X2+6xs<500
4xi+3X2<350
3xi+Xs<150
X3>18
xi>0、X2>0、X3>0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下:
最优解(44,10,18),
最优值:
元。
灵敏度报告:
目标函数最优值为
变量
最优解
相差值
X1
44
0
X2
10
0
X3
18
0
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
10.05
21440
30.033
40
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
X1
.4
.5
无上限
X2
.1
.2
.25
X3
无下限.
25.333
常数项数范围:
约束
下限
当前值
上限
1
460
500
692
2
206
350
无上限
3
18
150
165
4
0
18
30
(1)最优生产方案:
新产品I生产
44件、
新产品n生产10件
、新产品川生产
18件。
最大利润值为元。
(2)因为最优解的三个变量都不为0,所以三个相关值都为0。
(3)四个约束的松弛/剩余变量0,144,0,0,表明铣床和磨床的可用工时已经用完,新产品川的产量也刚好达到最低限制18件,而车床的可用工时还剩余144个工时;
四个对偶价格,0,,表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额,第四个对偶价格表明新产品川的产量最低限再多规定一件,总的利润将减少元。
(4)目标函数系数范围
表明新产品I的利润在元/件以上,新产品n的利润在到之间,新产品川的利润在以下,
上述的最佳方案不变。
(5)常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铳床的可用条件在18到165工时之间、新产品川产量限制在30件以内。
各自每增加一个工时对总利润的贡献元,0元,元,元不变。
某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm,现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务:
32cm的75卷,28cm的50卷,22cm的110卷,其长度都是一样的。
问应如何切割可使所用的原铜板为最少
解:
本问题是一个套材下料问题,用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型:
minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
.3X1+2X2+2X3+X4+X5+X6》75
X2+2X4+X6+3X7+2X8+X9>50
X3+3x5+x6+2x8+3x9+4xe>110
Xi>0(i=1,2…..10)
用EXcel线性规划求解模型板求解:
最优解:
(,0,0,0,20,0,,0,0,0),最优值:
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
即其结果为:
即最优解:
(19,0,0,0,20,0,,0,0,0),最优值:
64
灵敏度分析报告:
目标函数最优值为:
相差值
变量最优解
X10
X20.056
X3
0.111
x4
0
.111
x5
20
0
x6
0
.167
x7
0
.167
x8
25
0
x9
0
.056
x10
0
.111
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
10
20
30
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
x1
.75
1
x2
.944
1
无上限
x3
.889
1
无上限
x4
.889
1
无上限
x5
.833
1
x6
.833
1
无上限
x7
.833
1
无上限
x8
.444
1
x9
.944
1
无上限
x10
.889
1
无上限
常数项数范围
约束
下限
当前值
上限
1
20
75
无上限
2
0
50
110
3
50
110
275
这是一个统计型的线性规划问题,所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0,表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格、、分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个,将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。
这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内,每增一个限额所原原铜
板.333cm、.278cm、.222cm不变。
这里需要特别指出的是,第一种规格的薄铜板32cm宽,
已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板,所以这种规格的薄铜板无论增加多少,都不改变
用原铜板的比例。
某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次,每人要连续工作二个班次。
各班次
需要医生人数如下表:
班次
时间
人数
1
0:
00-4:
00
4
2
4:
00-8:
00
7
3
8:
00-12:
00
9
4
12:
00-16:
00
12
5
16:
00-20:
00
8
6
20:
00-24:
00
6
其中,第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。
问在各班开始时应该分别有几位医
生报到。
若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴,为了使支付总的夜班津贴为最少,应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解:
第一步:
不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为:
.X6+X1>4
X1+X2>7
X2+X3>9
X3+X4>12
X4+X5>8
X5+X6>6
Xi>0(i=1,2,3,4,5,6)
用Excel线性规划求解模板求解得:
第一班安排7人,第三班安排10人,第四班安排2人,第五班安排6人,第二、第六班不安排人。
总人数为25人。
灵敏度分析报告:
目标函数最优值为:
25
变量
最优解
相差值
X1
7
0
x2
0
0
x3
10
0
x4
2
0
x5
6
0
x6
0
0
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
3
.0
2
0
-1
3
1
.0
4
0
--1
5
0
.0
6
0
--1
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
X1
0
.1
1
x2
1
1
无上限.
x3
0
.1
1
x4
1
.1
2
x5
0
1
1
x6
1
1
无上限
常数项数范围
1
约束
下限无下限
当前值
47
上限
2
4
7
无上限
3
无下限
910
4
11
12
无上限
5
6
8
9
6
5
6
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