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指数函数和对数函数
一>I.根式
⑴根式的概念
1若x"=°,则x叫做a的n次方根,其中n>\且nWN*.式子需叫做根式,这里n叫做根指数,Q叫做被开方数.
Ix=tyfa(当n为奇数fljUN*时),②Q的几次方根的表示:
x=a^\
、x=土换(当"为偶数Awn"时).⑵根式的性质
fa,n为奇数,
1
巾为偶数.
(需)"=a(nWN*).②,yfaF1=\"心0,
I—a,a<0,
2.有理数指数幕
(1)幕的有关概念:
1正分数指数幕:
2=匹@>(),"WN:
且Q1);
2负分数指数幕:
q—晋=屯=」^(0>0,加,nd且心);
30的正分数指数幕等于Q,0的负分数指数幕无意义.
(2)有理数指数幕的运算性质:
@aas=a1s(a>0»厂,$WQ);②(ar)s=厂,s€Q);③(abY=arbr(a>Ofb>0,reQ).
3.指数函数的图象与性质
Cl>\
0 图象 y (0,1) /.V-1 nr 丄…尸] 丿 0 1丄 d\i~x 定义域 R 值域 (0,+°°) 性质 过定点(0,1J 当x>0时,y>l;当x<0时,0 当x>0时,Ovyvl当xvO时,v>1; 在R上是增函数 在R上是减函数 二、对数 概念 如果ax=N(a>OfgHI),那么数x叫做以g为底W的对数,记作x=\qoaN,其中。 叫做对数的底数,N叫做真数 性质 底数的限制: 。 >0,且dHl 对数式与指数式的互化: a"=N=>lo為N=x负数和零没有对数,1的对数是log.1=0底数的对数是丄: log“a=_L,对数恒等式: a\ogaN=N 运算性质 dA且0,MW a MW 换底公式 •9 知 C ■ H * >0 C •9知 >0,疗 (« zc6sgoOnn - 0 cri s : 式公 1og -1 0og« 0 g 2•对数函数的图象与性质 a>\ Ovavl y X=1 1: 图 厂一 弋(1,0) 象 oV7(^)~~x 0 定义域: +°°) 值域: R 性 过定点丄 0) 质 当x>l时,)? >0 当Q1时,y<0 当0 当gvl时,);>0 在(0,+«)上是增函数 在(0,+8)上是减函数 一、选择题 ([x2x2-5x+/>z[xx2+x+6 1.设函数/(X)=-,g(Q=_,若f(x) I2丿I2丿 立,则实数方的取值范围是() A.b>12B.b<12C.b<15D.b>15 2.函数y=/(x)是R上的奇函数,满足/(3+x)=/(3-x),当xw(0,3)吋f(x)=2x,则 当xw(-6,-3)时,f(x)=() A.2X+6 B. Qx+6 c. 2-6 D. -2 x-6 3•设lvavbva? 则在四个数2,logab,logba,logaba2H',最大的和最小的分别是() 二.填空 4•已矢Ua>0,f(x) ax+\[a '则兀金)5為)+“W( 鸣二 2004 5. 则实数a的取值范围是 已知函数/(%)=lg[(a2一l)x2+(a+l)x+1]的定义域为(-oo,+oo), 6.先将函数f(x)=ln丄的图像作关于原点的对称变换,然后向右平移1个单位,再作关于y二x 1-X 的对称变换,则此时的图像所对应的函数的解析式是O 7.已知隊[数y=log! [ax2+2x+(a-l)]fKj值域是[0,),则参数a的值是。 三、解答题 8口知定义域为斤的函数/(%)= -T+b 是奇两数. ⑴求于(x); (2)判断函数/(尢)的单调性(不必证明) (3)若对任意的re/? 不等式/(r2-2r)+/(2r2-)t)<0恒成立,求斤的収值范围. 9•已知函数/(x)=(丄)「门一1,1],函数g(x)=/2(x)_2妙(力+3的最小值为h@). (1)求力(d)的解析式; (2)是否存在实数加/同吋满足下列两个条件: ②当/2@)的定义域为",加]时,值域为? 若存在,求\Wm.n的值;若不存在,请说明理由 10.函数f(x)=log2[ax2+(a+2)x+2(a+2)]在区间[a+2,2(a+2)]上恒有定义,求实数。 的取值范围. 11.(本题满分12分)已知函数/(x)=lg(x+--2),其中。 是大于0的常数 X (1)设£(兀)=兀+牛,判断并证明£(兀)在[丽,+oo)内的单调性; (2)当*(1,4)时,求函数/(兀)在[2+8)内的最小值; (3)若对任意XG[2,+oo)恒有/(x)>0,试确定a的取值范围。 —2—ax 12.(12分)己知函数/(x)=x3+10g,——为奇函数,d为常数. 3x-2 (1)求d的值; (2)当xw(3,4]时,于(兀)是否存在最人值? 若存在,求出最人值,若不存在,请说明理由; -1 (3)设函数tg(x)=x3+(-)r+m,当加为何值时,不等式/(x)>g(x)在xw(3,4]有实数解? 13.(12分)函数y二f(x)满足lg(lgy)=lg3x+]g(3-x), (1)求f(x): (2)求f(x)的值域; (3)求f(x)的递减区间. /y 14.已知二次函数g(兀)二处一2血+b+l(d>0)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1・ (I)求函数&仕)的解析式; 心)二迴v、 (II)设兀若/ (2)-「2在"[-1,1]吋恒成立,求心勺取值范围. 试卷答案 1.D 2.B 3.A 42003 2 5.a>—或。 <-1 3 6.y=ex 7.1-V2 8.解 (1)因为/⑴是只上的奇函数,所以 一1 f(0)=0,即=0,解得b=1 2+d (2)由 (1)知/(%)= 2丫+1 2X+1+2 11 =1 22”+1 由y=2V的单调性nJ•推知/(X)在R上为减函数 _2丫+]11 (3)解法一: 由 (1)知/(%)=——=一一+, 2如+222”+1 由上式易知/(%)在R上为减函数,乂因于(兀)是奇函数,从而不等式 f(t2一2r)+f(2t2-k)<0等价于f(t2一2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).…….2分因/(%)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k. 即对一切fg/? 有3/2-2r-jt>0,从而 9.解析: (1)由/(x)=(|)v,xg △二4+12kv0,解得k<--2分 [—1,1],f(x)e一,3,令t=f(x)E-,3 .1分 记g(x)=y=t2-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有: 1CQC 1当a5—时,g(x)的最小值h(ci)=- 393 2当a>3时,g(兀)的最小值/i(q)=12-6a 3当- 综述, a<— 3 1c
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