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长沙市数学中考试题及答案
湖南省长沙市2002年初中毕业会考
数学试卷
考生注意:
本学科试卷共六大题,满分100分,考试时量120分钟.
一、填空题(本题共10个小题,每个小题2分,满分20分)
1.计算:
︱-5︱-3=__________.
2.我国陆地面积约为9600000平方米,用科学记数法可表示为__________平方千米.
3.函数y=
中自变量x的取值范围是__________.
4.分解因式:
a2-2ab+b2-1=__________.
5.计算:
=__________.
6.已知:
如图1,∠ACB=∠DBC,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是__________(只需填写一个你认为适合的条件).
7.图2中阴影部分表示的四边形是__________.
8.已知梯形的上底长为3cm,下底长为7cm,则此梯形中位线长为__________cm.
9.在半径为9cm的圆中,60°的圆心角所对的弧长为__________cm.
10.下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+b)n(其中n为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b)4展开式中所缺的系数.
(a+b)=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
则(a+b)4=a4+__________a3b+6a2b2+4ab3+b4
二、单项选择题(本题共10个小题,每个小题3分,满分30分)
11、下列运算正确的是( )
A.2a+a=3a2B.
C.(3a2)3=9a6D.a2·a3=a5
12.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A.
B.
C.
D.
13.下列说法正确的是( )
A.负数和零没有平方根B.
的倒数是2002
C.
是分数D.0和1的相反数都是它本身
14.二元一次方程组
的解是( )
A.
B.
C.
D.
15.二元一次方程组2x2-4x+1=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
16.下列例题正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.相邻的两个角都互补的四边是平行四边形
C.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
D.三点确定一个圆
17.在同一直角坐标系中,函数y=3x与y=
的图象大致是( )
A B C D
18.两圆的半径分别是3cm和4cm,且两圆的圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是( )
A.相交B.外切C.内切D.相离
19.我省为了解决药品价格过高的问题,决定大幅度降低药品价格.其中将原价为a元的某种常用药降价40%,则降价后此药价格为( )
A.
元B.
元C.60%a元D.40%a元
20.某餐厅共有7名员工,所有员工的工资情况如下表所示:
人员
经理
厨师
会计
服务员
人数
1
2
1
3
工资额
1600
600
520
340
则餐厅所有员工工资的众数、中位数是( )
A.340 520B.520 340
C.340 560D.560 340
三、(本题共4个小题,每个小题5分,满分20分)
21.计算:
.
22.解不等式组
并把解集在数轴上表示出来.
23.如图3,在△ABC中,∠C=30°,∠BAC=105°,AD⊥BC,垂足为D,
AC=2cm,求BC的长(答案可带根号).
24.如图4,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同旁.为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两池,问该站建在河边哪一点.可使所修的渠道最短,试在图中画出该点(不写作法,但要保留作图痕迹).
四、(本题满分8分)
25.某花木园,计划在园中栽96棵桂花树,开工后每天比原计划多栽2棵,结果提前4天完成任务.问原计划每天栽多少棵?
五、(本题满分10分)
26.如图5,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE·PO
(1)求证:
PC是⊙O的切线.
(2)若OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O的半径.
(3)求sin∠PCA的值.
六、(本题满分12分)
27.某商场经营一批进价为2元一件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系:
x
3
5
9
11
y
18
14
6
12
(I)所给的直角坐标系①中
(1)根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点;
(2)猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式,并画出图象.
(II)设经营此商品的日销售利润(不考虑其它因素)为P元,根据日销售规律:
(1)试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式,并求出日销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润.试问日销售利润P是否存在最小值?
若有,试求出,若无,请说明理由;
(2)在给定的直角坐标系②中,画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图.观察图象,写出x与P的取值范围.
湖南省长沙市2002年初中毕业会考
数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题
(1)2
(2)9.6×106(3)x>4(4)(a-b+1)(a-b-1)
(5)1(6)∠A=∠D或∠ABC=∠DCB或BD=AC(7)正方形
(8)5cm(9)3π(10)4
二、选择题
11.D12.B13.B14.A15.A
16.B17.D18.B19.C20.A
三、
21.解:
原式=
-1+1-2·
(3分)
=
-
(4分)
=0 (5分)
22.解:
解不等式①得x<
(1分)
解不等式②得x>-2 (2分)
在数轴上表示不等式①、②的解集 (4分)(对一点计1分)
所以不等式组的解集是-2<x<
(5分)
23.
如图,在△ABC中,∠C=30°,∠BAC=105°,AD⊥BC于D,
AC=2cm,求BC的长.
解:
∵ 在△ABC中,AD⊥BC
∴ △ADC为直角三角形
又∵ ∠C=30°,∴AD=
AC.
∵ AC=2,∴ AD=1(cm)
DG=
(cm) (2分)
又∵ ∠BAC=105°,∠DAC=60°,∴ ∠BAD=45°.
即Rt△ABD为等腰三角形
∴ BD=1 (3分)
故BC=BD=DC=(1+
)cm (4分)
答:
BC的长为(1+
)cm (5分)
24.如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同旁.为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两池,问修在河边的什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中画出该点(不写作法,但要保留作图痕迹).
作法:
1.作点A关于直线a的对称点A′ (3分)
2.连结A′B交于点C (4分)
点C就是所求的点 (5分)
四.应用题(8分)
25.某花木园计划在园中裁96棵桂花树,开工后,每天比原计划多裁2棵,结果提前4天完成任务,问原计划每天栽多少棵?
解:
设原计划每天栽x棵,那么开工后每天栽(x+2)棵,根据题意得 (1分)
(4分)
方程的两边都乘以x(x+2)约去分母
整理得x2-2x-48=0 (5分)
解这个方程得:
x1=6,x2=-8 (6分)
经检验x1=6,x2=-8都是原方程的根
但负数不合题意,所以只取x=6 (7分)
答:
原计划每天栽6棵. (8分)
五.如图AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E且PC2=PE·PO
(1)求证:
PC是⊙O的切线
(2)若OE︰EA=1︰2,PA=6,求⊙O的半径
(3)求sin∠PCA的值
证明:
(1)连结OC (1分)
∵ PC2=PE·PO
∴
∠P=∠P
∴ △PCE∽△POC
∴ ∠PEC=∠PCO
又∵ CD⊥AB
∴ ∠PEC=90°
∴ ∠PCO=90°
∴ PC是⊙O的切线
(2)解:
设OE=x
∵ OE︰EA=1︰2
EA=2x OA=OC=3x
∴ OP=3x+6 (5分)
又∵ CE是高
∴ Rt△OCE∽Rt△OPC
∴ OC2=OE·OP(或由射影定理得) (6分)
即(3x)2=x(3x+6)
∴ x1=1,x2=0(不合题意,舍去)
故OA=3 (7分)
(3)连结AD
∵AB⊥CD
∴
=
,∠PCA=∠ADC=∠ACE (8分)
∴sin∠PCA=sin∠ACE=
而AE=2,OE=1,OC=3
∴AC=
=
=2
(9分)
∴sin∠PCA=
=
(10分)
证法二:
(1)同上
(2)过点A作AF⊥PG于F,连结AD
∵ ∠APC=∠CDA
又∵ CD⊥AB,∴ ∠CDA=∠DCA
∴ ∠DCA=∠ACP
∴ 点A为∠DCP平分线上的点
∴ AE=AF (5分)
又∵OE︰EA=1︰2,AP=6
设OE=x,∴ EA=2x,AF=2x,OA=3x
又∵ Rt△PCO∽△PFA
∴
∴
解各x1=1,x2=0(舍去)
∴ OA=3x=3 (7分)
(3)∵ AE=2x=2,
CE2=x(2x+6)=8
∴ CE=2
(8分)
AE=2,∴ PE=8,∴ AC=2
(9分)
∴ sin∠PCA=
=
(10分)
证法三:
(1)同上
(一)
(2)连结BC
∵ OE︰EA=1︰2
设OE=x,EA=2x
在Rt△OCP中,∵CE⊥AB于E (5分)
∴CE2=OE·EP=x(6+2x)
在Rt△BCA中,CE2=OE·EP=4x·2x
∴ x(6+2x)=4x·2x (6分)
解得x1=1,x2=0(舍去)
∴ OA=3x=3 (7分)
(3)在Rt△BCE中,易证:
CE=2
(8分)
BC2=42+(2
)2
BC=2
(9分)
∴∠PCA=∠CBAsin∠PCA=sin∠CBA=
(10分)
证法四:
(1)同上
(2)∵OE︰EA=1︰2
设OE=x,∴EA=2x
∵ 在Rt△POC中,CD⊥PB
∴ CE2=x(2x+6)
又∴ 由
(1)得证PC是⊙O的切线
∴ PC2=PA·PB=6(6+6x) (5分)
又∵ 在Rt△CEP中,EP2=(2x+6)2而CE2+EP2=PC2
∴ x(2x+6)+(2x+6)2=6(6+2x) (6分)
解得x1=1,x2=0(舍去)
∴ OA=3x=3 (7分)
(3)易证:
∠PCA=∠DCA (8分)
∵ CE2=x(2x+6)=8 (9分)
CE=
EA=2 AC=2
∴ sin∠DCA=sin∠PCA=
=
(10分)
六、27.(12分)
(Ⅰ)
(1)描出四点位置准确
(2)猜测它是一次函数y=kx+b
由两点(3,18),(5,14)代入上式求得k=-2,b=24
则有y=-2x+24时(9,6)(11,2)代入知同样满足
∴ 所求是y=-2x+24
由实际意义知所求y=-2x+24 (2分)
(*)(0≤x<12)和y=0(x≥12) (3分)
画出图像(右图)(图象不完整扣1分)
(Ⅱ)
(1)因为销售利润=售出价一进货价,则P=xy-2x
将(Ⅰ)中(*)式代入则
P=y(x-2)=(24-2x)(x-2)
=-2x2+28x-48=-2(x-7)2+50
当x=7时,日销售利润获得最大值为50元 (6分)
又当x>12时,即销售单价大于是2元时,此时无人购买,所以此时利润P=0(x≥12)
由实际意义知,当销售价x=0,即亏完本买出,此时利润P=-48,即为最小值
(8分)
(2)根据实际意义,有:
0≤x<2时亏本买出
当x=2或x=12时利润P=0
当x>12时,即高价卖出无人购买P=0 (9分)
故作出如下图象(图略)
由图象知:
x≥0
-48≤P≤50
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