河北省石家庄市行唐县三中正定县三中正定县七中届高三数学联考试题 理.docx
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河北省石家庄市行唐县三中正定县三中正定县七中届高三数学联考试题 理.docx
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河北省石家庄市行唐县三中正定县三中正定县七中届高三数学联考试题理
行唐县第三中学、正定县第三中学、正定县第七中学2016—2017学年第一学期12月联考试卷高三数学(理科)
时间:
120分钟满分:
150分
第Ⅰ卷
一、选择题:
共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1] B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)
2.设z=
+i,则|z|=( )
A.
B.
C.
D.2
3.设向量a,b满足|a+b|=
,|a-b|=
,则a·b=( )
A.1B.2C.3D.5
4.抛物线y2=8x的焦点到直线x-
y=0的距离是( )
A.2
B.2C.
D.1
5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
6.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.若变量x,y满足约束条件
且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( )
A.48B.30C.24D.16
8.将函数y=3sin
的图象向右平移
个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间
上单调递减
B.在区间
上单调递增
C.在区间
上单调递减
D.在区间
上单调递增
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.由曲线y=
,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
A.
B.4C.
D.6
11.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若
,则|QF|=( )
A.
B.
C.3D.2
12.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为( )
A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.直线x+2y-5+
=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为________.
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=
a,
2sinB=3sinC,则cosA的值为________.
15.若数列{an}的前n项和Sn=
an+
,则{an}的通项公式是
an=.
16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为______________.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)
的内角
,
,
所对的边分别为
,
,
.向量
与
平行.
(I)求
;
(II)若
,
求
的面积.
18.(12分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:
PB∥平面AEC;
(2)设二面角DAEC为60°,AP=1,AD=
,求三棱锥EACD的体积.
19.(12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个。
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望
20.(12分)已知点A(0,-2),椭圆E:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
21.(12分)设函数f(x)=
(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号
22.(10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
23.(10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x) (2)设a>-1,且当x∈ 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 高三数学理科答案 1.解析: 选A A={x|x≤-1或x≥3},故A∩B=[-2,-1] 2.解析: 选B z= +i= +i= +i= + i,则|z|= = 3.解析: 选A 由条件可得,(a+b)2=10,(a-b)2=6,两式相减得4a·b=4,所以a·b=1. 4.解析: 选D 抛物线y2=8x的焦点F(2,0)到直线x- y=0的距离是d= =1 5.解析: 选C 选项A、B、D中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内 6.解析: 选D 由题知所求概率P= = 7.解析: 选C 约束条件 表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)为顶点的四边形区域,检验四个顶点的坐标可知,当x=4,y=4时,a=zmax=5×4-4=16;当x=8,y=0时,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24 8.解析: 选B 将y=3sin 的图象向右平移 个单位长度后得到y=3sin ,即y=3sin 的图象,令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,化简可得x∈ (k∈Z),即函数y=3sin 的单调递增区间为[ +kπ, +kπ](k∈Z),令k=0,可得y=3sin 在区间 上单调递增. 9.解析: 选C 由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1, 由 得 解得 10. 解析: 选C 作出曲线y= 和直线y=x-2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积. 由 得交点A(4,2). 因此y= 与y=x-2及y轴所围成的图形的面积为 dx= ( -x+2)dx=( x - x2+2x)| = ×8- ×16+2×4= . 11.解析: 选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为 ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3. 12.解析: 选B 当a=0时,f(x)=-3x2+1有两个零点,不符合题意,故a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f′(x)=0,得x=0或x= ,由题意得a<0且f >0,解得a<-2 二、填空题 13.答案: 4 解析: 依题意,圆的圆心为(1,2),半径r= ,圆心到直线的距离d= =1,所以结合图形可知弦长的一半为 =2,故弦长为4. 14.答案: - 解析: 由已知及正弦定理得2b=3c,因为b-c= a,不妨设b=3,c=2,所以a=4,所以cosA= =- . 15.答案: (-2)n-1 解析: 由Sn= an+ ,得当n≥2时,Sn-1= an-1+ ,两式相减, 得an= an- an-1,∴当n≥2时,an=-2an-1. 又n=1时,S1=a1= a1+ ,a1=1, ∴an=(-2)n-1. 16.答案: 解析: 在直角三角形ASC中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,所以SA= = ;同理SB= .过A点作SC的垂线交SC于D点,连接DB,因△SAC≌△SBC,故BD⊥SC,故SC⊥平面ABD,且平面ABD为等腰三角形,因∠ASC=30°,故AD= SA= ,则△ABD的面积为 ×1× = ,则三棱锥的体积为 × ×2= . 17. 试题解析: (I)因为 ,所以 , 由正弦定理,得 又 ,从而 , 由于 ,所以 (II)解法一: 由余弦定理,得 而 得 ,即 因为 ,所以 . 故 ABC的面积为 . 18.解: (1)证明: 连接BD交AC于点O,连接EO. 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB. 因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC, 所以PB∥平面AEC. (2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直. 可取n1= . 又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量, 由题设|cos〈n1,n2〉|= ,即 = , 解得m= . 因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为 ,三棱锥EACD的体积V= × × × × = . 19.解: (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)= = . (2)X的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = . 综上知,X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)=0× +1× +2× = (个). 20.解析: (1)设F(c,0),由条件知, = ,得c= . 又 = ,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为 +y2=1. (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l: y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入 +y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2> 时,x1,2= . 从而|PQ|= |x1-x2|= . 又点O到直线PQ的距离d= . 所以△OPQ的面积S△OPQ= d·|PQ|= . 设 =t,则t>0,S△OPQ= = . 因为t+ ≥4,当且仅当t=2,即k=± 时等号成立,且满足Δ>0. 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y= x-2或y=- x-2. 21.解: (1)对f(x)求导得 f′(x)= = . 因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0. 当a=0时,f(x)= ,f′(x)= , 故f (1)= ,f′ (1)= , 从而f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 y- = (x-1),化简得3x-ey=0. (2)由 (1)知f′(x)= , 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 由g(x)=0, 解得x1= ,x2= . 当x 当x1 当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(
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