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高中物理相遇及追及问题完整版
相遇追及问题
、考点、热点回顾
一、追及问题
1.速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速追匀速
1t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大
2t=t0时,两物体相距最远为Xo+△X
3t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小
4能追及且只能相遇一次
匀速追匀减速
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匀加速追匀减速
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2.速度大者追速度小者
度大者追速度小者
匀减速追匀速
开始追及时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若△x=x0,则恰能追及,两物体只能相遇一次,这
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匀速追匀加速
也是避免相撞的临界条件
2若△x 3 匀减速追匀加速 若△x>x0,则相遇两次,设t1时刻△x仁x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇 1表中的△x是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移; 2xo是开始追及以前两物体之间的距离; 3t2-to=to-t1; 4Vi是前面物体的速度,V2是后面物体的速度• 二、相遇问题 这一类: 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题• 第二类: 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇• 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀 减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了• 求解追及问题的分析思路 (1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系. (2)通过对运动过程的分析,画出简单的图示,找出两物体的运动位移间的关系式•追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同. (3)寻找问题中隐含的临界条件•例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等 时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离,等等.利用 这些临界条件常能简化解题 过程. (4)求解此类问题的方法,除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次 函数求极值,及应用图象法和相对运动知识求解. 相遇问题 相遇问题的分析思路: 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置 坐标相同. (1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系. (2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系. (3)寻找问题中隐含的临界条件. (4) 与追及中的解题方法相同. 【例1】物体AB同时从同一地点,沿同一方向运动,A以10m/s的速度匀速前进,B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动,求A、B再次相遇前两物体间的最大距离. 【解析一】物理分析法 A做UA=10m/s的匀速直线运动,B做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运 动•根据题意,开始一小段时间内,A的速度大于B的速度,它们间的距离逐渐变大,当B 的速度加速到大于A的速度后,它们间的距离又逐渐变小;A、B间距离有最大值的临界条 件是UA=UB.① 设两物体经历时间t相距最远,则ua=at② 把已知数据代入①②两式联立得t=5s 在时间t内,A、B两物体前进的距离分别为 Sa=uAt=10X5m=50m 1212 Sb=at=x2X5m=25m 22 A、B再次相遇前两物体间的最大距离为 △Sm=Sa—sb=50m—25m=25m 【解析二】相对运动法 因为本题求解的是A、B间的最大距离,所以可利用相对运动求解•选B为参考系,则A 相对B的初速度、末速度、加速度分别是uo=10m/s、ut=ua—ub=0、a=—2m/s. 22 根据ut—u0=2as.有0—10=2X(-2)xSab 解得A、B间的最大距离为Sab=25m. 【解析三】极值法 11 物体A、B的位移随时间变化规律分别是Sa=10t,Sb=2at2=2x2Xt2=t5. 路分析. (2)相对运动法: 巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系. (3)极值法: 设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若△>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若厶=0,说明刚好追上或相碰;若△<0,说明追不上或不能相碰. (4)图象法: 将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出,然后利用图象求解. 拓展 如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点,沿同一方向做直线运动的U—t图象,由图象可以看出(〕 A.这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末 B.这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末 C.两物体相距最远的时刻是2s末 D.4s末以后甲在乙的前面 【解析】从图象可知两图线相交点1s末和4s末是两物速度相等时刻,从0~2s,乙追赶甲 【答案】B 的加速度大小减小为原来的一半。 求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。 【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程,再根据两车加 速度的关系,求出两车路程之比。 【精讲精析】设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻to)的速度为v,第一段时间间隔内行驶的路程为S1,加速度为a,在第二段时间间隔内行驶的路程为S2,由运动学公式有, v=ato① 12 S1=2ato② 12 S2=vto+22ato③ 设汽车乙在时刻to的速度为v',在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为S1‘、S2‘, 同理有, v'=2ato④ 12 S1'=22ato⑤ 12 S2'=v'to+2ato⑥ 设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s',则有 s=Si+S2⑦ s'=S1'+S2'⑧ 联立以上各式解得,甲、乙两车各自行驶路程之比为 57 -- S/ -S 【实战演练2】(2011安徽省级示范高中名校联考)甲、乙两辆汽车,同时在一条平直的公 路上自西向东运动,开始时刻两车平齐,相对于地面的v—t图象如图所示,关于它们的运 动,下列说法正确的是() A.甲车中的乘客说,乙车先以速度vo向西做匀减速运动,后向东做匀加速运动 B.乙车中的乘客说,甲车先以速度vo向西做匀减速运动,后做匀加速运动 C.根据v—t图象可知,开始乙车在前,甲车在后,两车距离先减小后增大,当乙车速度增大到vo时,两车恰好平齐 D.根据v—t图象可知,开始甲车在前,乙车在后,两车距离先增大后减小,当乙车速度增大到V0时,两车恰好平齐 【答案】A 【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系,相当于甲车静止不动,乙车以初速度vo向西 做减速运动,速度减为零之后,再向东做加速运动,所以A正确;乙车中的乘客以乙车为参 考系,相当于乙车静止不动,甲车以初速度vo向东做减速运动,速度减为零之后,再向西 做加速运动,所以B错误;以地面为参考系,当两车速度相等时,距离最远,所以CD错 误. 考点2相遇问题 相遇问题的分析思路: 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置 坐标相同. (1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系. (2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系. (3)寻找问题中隐含的临界条件. (4)与追及中的解题方法相同. 【例2】甲、乙两物体相距s,同时同向沿同一直线运动,甲在前面做初速度为零、加速度 为ai的匀加速直线运动,乙在后做初速度为uo,加速度为a2的匀加速直线运动,则() A.若ai=a2,则两物体可能相遇一次 B.若ai>82,则两物体可能相遇二次 C若ai<82,则两物体可能相遇二次 D.若ai>比,则两物体也可相遇一次或不相遇 【解析】设乙追上甲的时间为t,追上时它们的位移有u0t+282t2—282t2=s 2 上式化简得: (8i—82)t—2uot+2s=0 解得: t= 2uo±4uo—8s(ai—a2) 2(ai—a2) (1)当ai>a2时,差别式“△”的值由uo、ai、a? 、s共同决定,且△<2uo,而△的值可能小于零、等于零、大于零,则两物体可能不相遇,相遇一次,相遇两次,所以选项B、 D正确. 丄一2uo±十4uo—8s(a2—ai)t=: 显然,△一定大于零.且△>2uo,所以t有两解.但t不能为负值,只有一解有物理意 义,只能相遇一次,故C选项错误. ⑶当ai=a2时,解一兀一次方程得t=s/uo,—定相遇一次,故A选项正确. 【答案】AB、D v—t图像分析 【点拨】注意灵活运用数学方法,如二元一次方程△判别式.本题还可以用求解。 拓展 AB两棒均长im,A棒悬挂于天花板上,B棒与A棒在一条竖直线上,直立在地面,A棒 的下端与B棒的上端之间相距2Om,如图i-5-3所示,某时刻烧断悬挂A棒 的绳子,同时将B棒以Vo=2Om/s的初速度竖直上抛,若空气阻力可忽略不计 ,且g=iOm/s2,试求: (1)A、B两棒出发后何时相遇? (2)A、B两棒相遇后,交错而过需用多少时间? 【解析】本题用选择适当参考系,能起到点石成金的效用。 由于A、B两棒均只受重力作用,则它们之间由于重力引起的速度改变相同,它们之间只有 初速度导致的相对运动,故选A棒为参考系,则B棒相对A棒作速度为vo的匀速运动。 则A、B两棒从启动至相遇需时间行驶时,制动后40s停下来。 现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶,司机立即制动,能否发生撞车事故? 【错解】设汽车A制动后40s的位移为Xi,货车B在这段时间内的位移为X2。 据_vJ。 得车的加速度a=-0.5m/s _t 又xi=vota^得 2 12 x1=2040(_0.5)402=400m 2 X2=V2t=640=240m X2=V2t=6X40=240(m) 两车位移差为400-240=160(n) 因为两车刚开始相距180m>160m 所以两车不相撞。 【错因】这是典型的追击问题。 关键是要弄清不相撞的条件。 汽车A与货车B同速时,两车 位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。 当两车同速时,两车位移差大 于初始时刻的距离时,两车相撞;小于、等于时,贝怀相撞。 而错解中的判据条件错误导致错解。 【正解】如图1-5汽车A以V0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。 据加速度公 * 式可求出a=-0.5m/s2当A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻,这时若能超过B车则相撞,反之则不能相撞。 据v2_v°2=2ax可求出A车减为与B车同速时的位移 22 V-V .0 图1-5-4v/m•丰 此时间t内b车的位移速S2,则t a X2=V2t=628m=168m △x=364-168=196>180(m) 所以两车相撞。 【点悟】分析 追击问题应把两物体的位置关系图画好。 如图1-5-4,通过 通过的最多距离,这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞。 撞。 从图中也可以看出A车速度成为零时,不是A车比B车多走距离最多的时刻,因此不能作为临界条件分析。 【实战演练11(2011•长沙模拟)在平直公路上,自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时 同时经过某一个路标,它们的位移随时间变化的规律为: 汽车x=10t-t2,自行车x=5t,(x 的单位为mt的单位为s),则下列说法正确的是() A.汽车做匀加速直线运动,自行车做匀速直线运动 B.经过路标后的较短时间内自行车在前,汽车在后 C.在t=2.5s时,自行车和汽车相距最远 D.当两者再次同时经过同一位置时,它们距路标12.5m 【答案】选C. 【详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知,汽车做匀减速运动,V0=10m/s,a=-2 m/s2,自行车做匀速直线运动,v=5m/s,故A、B错误•当汽车速度和自行车速度相等时, 相距最远•根据v=v0+at,t=2.5s,C正确•当两车位移相等时再次经过同一位置,故10t' -t'2=5t',解得t'=5s,x=25m,故D错误• 【实战演练2】(2011•东北三校联考)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体I、 n的速度一时间图象如图所示.在o〜12时间内,下列说法中正确的是() a.i物体所受的合外力不断增大,n物体所受的合外力不断减小 B.在第一次相遇之前,t1时刻两物体相距最远 C. t2时刻两物体相遇 【答案】B 【详解】速度—寸间图象中I物体的斜率逐渐减小,即I物体的加速度逐渐减小,所以 I物体所受合外力不断减小,A错误;在0〜时间内,n物体的速度始终大于I物体的速 度,所以两物体间距离不断增大,当两物体速度相等时,两物体相距最远,B正确;在速度 —寸间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移,故到t2时刻,I物体速度图线所围面积大于 n物体速度图线所围面积,两物体平均速度不可能相同,c、D错误. ◊限时基础训练(20分钟) 1.如图1-2-6所示,某同学沿一直线行走,现用频闪照相记录了他行走中9个位置的图 片,观察图片,能大致反映该同学运动情况的速度一时间图象是图1-2-7中的() 1•答案: C.解析: 从图片可知,该同学在连续相等时间间隔内位移先逐渐增多,说明 先向右做加速运动;后向左连续相等时间内位移相等,说明后向左做匀速运动•选项C正确. 2. 两辆游戏赛车在a、b在两条平行的直车道上行驶.t=0时两车都在同一计时线处,此时比赛开始•它们在四次比赛中v-t图像的如图1-2-8图像所示•哪些图对应的比赛中,有一辆赛车追上了另一辆(AC) 图1-2-8 3•—质点从A点沿直线向B点运动,开始时以加速度a1加速运动到AB之间的某一点 C,然后接着又以加速度a2继续作匀加速运动到达B点.该质点若从B点以加速度a2运动 到C点,接着又以加速度a1继续加速运动到达A点,则两次运动的过程中() A.由于相同的路段加速度相同,所以它们所用的时间相同 B.由于相同的路段加速度相同,所以它们的平均速度大小相同 C.虽然相同的路段加速度相同,但先后的加速的加速度顺序不同,所用的时间肯定不同 D.由于相同的路段加速度相同,它们的位移大小相同,所以它们的末速度大小相同 3•答案: CD.解析: 两次运动的在每段相同的路径上加速度相同,说明两次的末速度 相同,位移的大小相同,禾U用这两个特点作出两次运动中的路程与时间图像如答图1-2-1, 就可以判断出正确的选项. C点的速度为Vd,第一次的末速度为 设质点第一次到达 有 Vc1-2a〔SAc 1-2-1 vB-Vcj=2a2ScB 2 vb=2a1SAc'2a? ScB ① 冋理,在第二次运动中有 2 vC22a2sBC 22c va7c2二2a〔ScA vA=2a1sAC'2a2sCB ② 比较①②两末速度的大小, 它们是相等的. 由于两段路段上的加速度不同,所以假设 ai>a2,分别作出质点在这两次运动中的速率 —时间图像,如图所示,由图像与时间轴所围的面积相等,显然,第一次所用的时间少一些.故 C、D正确. 4.甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶.甲、乙两车的速度分 别为v01=40m/s和v02=20m/s,当两车距离接近到s=250m时两车同时刹车,已知两 车刹车时的加速度大小分别为ai=1.0m/s2和a2=1/3m/s2,问甲车是否会撞上乙车 4.答案: (略).解析: 作两车的运动草图和v-t图像如答图1-2-2、1-2-3所示.从图中可看出: 在0〜t秒即两车速度相等之前,后面的甲车速度大,追得快;前面的乙车速度小, “逃”得慢.两车之间的距离越来越小,而在t秒后,后面的车速度小于前面车的速度.可 见,速度相等时,两者距离最近.此时若不会相撞,那么以后一定不会相撞,由此可知速度 相等是解决本题的关键. a1=1m/s 2 ►v01=40m/ a2=1m/s2* 3 v02=20m/_ 乙 s一 答图1-2-2 答图1-2-3 两车速度相等时有v01-a,=v02-a2t,得t=30s 故在30s内,甲、乙两车运动的位移分别为 1212 卸二v01ta1t750m,s乙二v02ta2t450m 22 因为s乙•s二700m: : : s甲,故甲车会撞上乙车. 5.一物体做直线运动,速度图象如图2所示,设向右为正方向,则前4s内( A.物体始终向右运动 B.物体先向左运动,后2s开始向右运动 C.前2s物体位于出发点左方,后2s位于出发点的右方 2中能够正确反映该同 D.在t=2s时,物体距出发点最远 5•答案: BC•解析这是粤教版上的一道习题,解此题时学生选择A或C较多.学生 依据图线随时间斜向上倾斜,认为物体向正方向运动,错误地选择选项A;学生依据2s前 速度是负,2s后速度为正,且前2s是加速运动,后2s也是加速运动,即速度是由-5m/s 一直加速到5m/s,因为速度越来越大,所以认为前2s物体位于出发点左方,后2s位于出 发点的右方而错选选项C.正确解答此题的对策是抓住: 物体的运动方向是由速度的正负决定的,物体的位置是由位移决定的,纵轴正、负号只表示速度的方向,前2s物体是向左做减 速运动,后2s是向右做加速运动,物体在某段时间内的位移等于这段时间内所对应的v-t 图线所围的图形的面积的代数和,因此2s末物体位于出发点最左端5m处,从2s末开始向 右加速运动,在4s之前,物体一直位于出发点左侧,在4s末回到出发点,所以正确的选项 是BC. 6.某物体运动的v-t图象如图1所示,则物体运动情况是(C) A.往复来回运动 B.匀变速直线运动 C.朝同一方向做直线运动 D.无法判断 7•某同学从学校匀速向东去邮局,邮寄信后返回学校•在下图 学运动情况的S-t图应是(C) Sa>Sb=Sc,则b与C的平均速 象,贝y0~to时间内() A.三质点的平均速度相等 B.a的平均速度最大 C.三质点的平均速率相等 D.b的平均速率最小 &A(提示: 首先要清楚: 平均速度=位移十时间, 三质点位移相同,则平均速度均相同,而三个质点的路程有率相等,a的平均速率最大) 9.A、B两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动,如图6所示为 两车运动的速度一时间图象,对于阴影部分的说法正确的是() A.若两车从同一点出发,它表示B车追上A车前两车的最大距离 B.若两车从同一点出发,它表示B车追上A车前的最小距离 C. 图6 若两车从同一点出发,它表示B车追上A车时离出发点的距离 D.表示两车出发前相隔的距离 9.A(速度相等时,两车间的距离最远,阴影部分表示A比B多走的位移) 如图,足够长的水平传送带始终以大小为v=3m/s的速度向左运动,传送带上有一质量 为M=2kg的小木盒A,A与传送带之间的动摩擦因数为尸0.3,开始时,A与传送带之 间保持相对静止。 先后相隔△t=3s有两个光滑的质量为m=1kg的小球B自传送带的左端出发,以v0=15m/s的速度在传送带上向右运动。 第1个球与木盒相遇后,球立即进入盒中 与盒保持相对静止,第2个球出发后历时△ti=1s/3而与木盒相遇。 求(取g=10m/s2) (1)第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度时多大? (2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇? (3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中,由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少? (1)设第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度为V1,根据动量守恒定律: mv0-Mv=(mM)w(1分) 代入数据,解得: V1=3m/s(1分) (2)设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s,第1个球经过to与木盒相 s 遇,则: t°(1分) v 设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度为a,根据牛顿第二定律: "(mM)g=(mM)a得: a="g=3m/s2(1分) 设木盒减速运动的时间为t1,加速到与传送带相同的速度的时间为t2,则: Av 右二t2=1s(1分) a 故木盒在2s内的位移为零(1分) 依题意: s=V0Lt|•v(=t*=t|-鮎-t2—t0)(2分) 代入数据,解得: s=7.5mt°=0.5s(1分) (3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中,传送带的位移为S,木盒的位移为S1,则: S=v(^t: *-t0)=8.5m(1分) (1分) s=v(: t也一^-t2-t0)=2.5m 故木盒相对与传送带的位移: =s=S—3=6m (2分) 则木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是: Q=f=s=54J 二、课后练习 1.如图1-4-19所示(t轴单位为s),有一质点,当t=0时从原点由静止开始出发,沿直线运动,则: A. 图线斜率的绝对值为 t=0.5s时离原点最远 B.t=1s时离原点最远 C.t=1s时回到原点 D.t=2s时回到原点 1.BD解析: v-t图线与时间轴(t轴)围成的几何图形的面积等于位移的大小,t轴上方图形面积为正值,下方图象面积为负值,分别表示位移的方向•一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和. 2.某物体沿直线运动的v-t图象如图1-4-20所示,由图可看出物体 A.沿直线向一个方向运动 B.沿直线做往复运动 C.加速度大小不变 D.做匀变速直线运动 2.BC解析: 一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和. 加速度大小. 3.汽车甲沿
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