北师大版七年级下册 第5讲 相交线尖子班.docx
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北师大版七年级下册 第5讲 相交线尖子班.docx
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北师大版七年级下册第5讲相交线尖子班
第5讲相交线
知识点1直线交点个数
1.两条直线交于一点,我们称这两条直线相交,相对的,我们称这两条直线为相交线.
2.n条直线两两相交,最多有1+2+3+…+(n﹣1)=
个交点,最少有1个交点.
【典例】
1.观察下列平面图形:
第一个图2条直线相交,最多有1个交点;第二个图3条直线相交最多有3个交点;第三个图4条直线相交;最多有6个交点,…,像这样,则30条直线相交,最多交点的个数是_____________.
【答案】435
【解析】解:
∵第一个图,2条直线相交,最多有1个交点,
第二个图,3条直线相交最多有3个交点,
第三个图,4条直线相交,最多有6个交点,
而3=1+2,6=1+2+3,
∴第四个图5条直线相交,最多有1+2+3+4=10(个)交点
∴30条直线相交,最多交点的个数是1+2+3+…+29=(1+29)×29÷2=435.
故答案为435.
【方法总结】
根据2条,3条,4条直线相交时最多的交点个数发现规律,根据规律,写出n条相交线交点最多的个数的表达式:
1+2+3+4+5+…+(n﹣1),因为1+2+3+4+5+…+(n﹣1)=,所以n条相交线交点最多的个数为,令n=30即可求出答案.
一般地:
n条直线两两相交,最多有
个交点,最少有1个交点.
【随堂练习】
1.在平面内,若两条直线的最多交点数记为a1,三条直线的最多交点数记为a2,四条直线的最多交点数记为a3,…,依此类推,则 .
【解答】如图:
2条直线相交有1个交点;
3条直线相交有1+2个交点;
4条直线相交有1+2+3个交点;
5条直线相交有1+2+3+4个交点;
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点;
…
n条直线相交有
1+2+3+…+n﹣1.
则1
=2[
(1)+()+()+()+…+()
=2×
(1)
.
故答案是:
.
2.平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?
它们最多能把平面分成多少个部分?
【解答】解:
如图,图中共有34个交点.
4条平行线5部分,
加一条线10部分,
再加一条16部分,
再加一条22部分,
可以看出规律5→10→16→22,
所以答案是5+5+6+6+6+9+10=47.
知识点2邻补角与对顶角
邻补角
1.邻补角:
两个角有一条公共边,他们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为邻补角.
2.邻补角的模型:
∠1和∠3是邻补角,∠1和∠4是邻补角,∠2和∠3是邻补角,∠2和∠4是邻补角,
特点:
①成对出现;②两个角有公共的顶点;③两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.
3.邻补角的性质:
两个角的和为180°.
对顶角
1.对顶角的模型:
∠1和∠2是对顶角,∠3和∠4是对顶角.
特点:
①成对出现;②两个角有公共的顶点;③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.
2.对顶角的性质:
对顶角相等.
【典例】
1.如图,直线AB、CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角:
__________,∠EOB的邻补角:
______________;
(2)若∠AOC=70°且∠BOE:
∠EOD=2:
3,求∠AOE的度数.
【解析】解:
(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠EOB的邻补角是∠AOE,
故答案为:
∠BOD,∠AOE;
(2)∵∠AOC=70°,
∴∠BOD=∠AOC=70°.
∵∠BOE:
∠EOD=2:
3,
∴∠BOE=×∠BOD=×70°=28°,
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣28°=152°.
∴∠AOE的度数为152°.
【方法总结】
(1)根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可;
(2)根据对顶角相等求出∠BOD的度数,再根据∠BOE:
∠EOD=2:
3求出∠BOE的度数,然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数.
本题主要考查了对顶角和邻补角的定义,牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键.
【随堂练习】
1.如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE∠EOC
(1)求∠AOE的度数;
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°(0°<α<360°)到OF.
①如图2,当OF平分∠BOE时,求∠DOF的度数;
②若∠AOF=120°时,直接写出α的度数.
【解答】解:
(1)∵∠AOE∠EOC,即∠AOE:
∠EOC=2:
3.
∴设∠AOE=2x,则∠EOC=3x,
∴∠AOC=5x,
∵∠AOC=∠BOD=75°,
∴5x=75°,
解得:
x=15°,
则2x=30°,
∴∠AOE=30°;
(2)①∵∠AOE=30°,
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=150°,
∵OF平分∠BOE,
∴∠BOF=75°,
∵∠BOD=75°,
∴∠DOF=75°+75°=150°;
②分两种情况:
当OF在∠BOC的内部时,如图2,
∵∠AOF=120°,∠AOE=30°,
∴α=∠EOF=120°﹣30°=90°,
当OF在∠BOD的内部时,如图3,
∴α=360°﹣∠AOF﹣∠AOE=360°﹣120°﹣30°=210°,
综上所述,α的度数为90°或210°.
2.如图,直线CD与EF相交于点O,∠COE=60°,将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合,OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数;
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转,同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转,设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时,直线EF平分∠AOB;
②若直线EF平分∠BOD,直接写出t的值.
【解答】解:
(1)∵∠COE=60°,OA平分∠COE,
∴∠AOC=30°,
又∵∠AOB=90°,
∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°;
(2)①分两种情况:
当OE平分∠AOB时,∠AOE=45°,
即9t+30°﹣3t=45°,
解得t=2.5;
当OF平分∠AOB时,AOF=45°,
即9t﹣150°﹣3t=45°,
解得t=32.5;
综上所述,当t=2.5s或32.5s时,直线EF平分∠AOB;
②t的值为12s或36s.
分两种情况:
当OE平分∠BOD时,∠BOE∠BOD,
即9t﹣60°﹣3t(60°﹣3t),
解得t=12;
当OF平分∠BOD时,∠DOF∠BOD,
即3t﹣(9t﹣240°)(3t﹣60°),
解得t=36;
知识点3垂线
垂线
1.两直线相交所形成的角中,当有一个角等于90°时,这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,他们的交点叫做垂足.
2.垂直的模型:
说法:
①直线a是直线b的垂线(或直线b是直线a的垂线),垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O(或直线b垂直于直线a于点O).
结论:
两垂直直线形成的四个角都是直角,均为90°.
3.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1.过直线外一点作直线的垂线,以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2.垂线段模型:
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:
垂线段最短.
4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
注意:
距离是长度,不是线段.
【典例】
1.如图,点O在直线AB上,点M,N在直线AB外,若MO⊥AB,NO⊥AB,垂足均为O,则可得点N在直线MO上,其理由是______________.
【答案】在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解析】解:
其理由是:
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
故答案为:
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.如图,直线AB与CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)①图中与∠AOF互余的角是___________;
②与∠COE互补的角是___________.
(把符合条件的角都写出来)
(2)如果∠AOC比∠EOF的小6°,求∠BOD的度数.
【解析】解:
(1)①图中与∠AOF互余的角是∠BOD,∠AOC;
②与∠COE互补的角是∠EOD,∠BOF,
故答案为:
①∠BOD,∠AOC;②∠EOD,∠BOF;
(2)∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴∠EOC+∠AOC=90°,∠AOF+∠AOC=90°,
∴∠EOC=∠AOF.
设∠AOC=x°,则∠EOC=∠AOF=(90﹣x)°,
∠EOF=∠AOF+∠AOE=(90﹣x)°+90°=.
∵,列方程∠AOC比∠EOF的小6°,
∴可列方程为x=,
解得x=25.
∴∠BOD=∠AOC=25°.
【方法总结】
结论:
在同一平面内,已知直线AB,若MO⊥AB,NO⊥AB且垂足为O,则M,O,N在同一条直线上.
方法:
求一个角的度数时,若涉及多个有关联的未知角,用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x,用x表示出题目中有关联的各个角,根据等量关系列出方程,解方程,进而求得答案.
3.如图,AC⊥CB于C,CD⊥AB于D,下列关系中一定成立的是_________(填序号)
(1)AD>CD;
(2)CD>BD;(3)BC>BD;(4)AC>AD.
【答案】(3)(4)
【解析】解:
∵BD⊥CD,
∴BC>BD(垂线段最短),
AC>AD(垂线段最短).
所以(3)(4)正确.
(1)
(2)不一定成立.
故答案为:
(3)(4).
4.如图,BC⊥AC,BC=3,AC=4,AB=5,则点C到线段AB的距离是________.
【答案】2.4
【解析】解:
如图,作CD⊥AB于点D,CD的长即为点C到直线AB的距离.
设点C到线段AB的距离是x,
∵BC⊥AC,
∴S△ABC=AB·x=AC·BC,
即×5·x=×3×4,
解得x=2.4,
即点C到线段AB的距离是2.4.
故答案为:
2.4.
【方法总结】
注意:
垂线段是一条线段,距离是长度,即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.
结论:
已知直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则斜边上的高为,即直角顶点到斜边的距离.
【随堂练习】
1.如图,OA⊥OB,引射线OC(点C在∠AOB外),OD平分∠BOC,OE平分∠AOD.
(1)若∠BOC=40°,请依题意补全图,并求∠BOE的度数;
(2)若∠BOC=α(0°<α<90°),请直接写出∠BOE的度数(用含α的代数式表示).
【解答】解:
(1)如图,∵OD是∠BOC的平分线,
∴∠COD=∠BOD=20°,
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=20°+90°=110°,
又∵OE是∠AOD的平分线,
∴∠DOE∠AOD=55°,
∴∠BOE=∠DOE﹣∠BOD=55°﹣20°=35°;
(2)同
(1)可得∠COD=∠BODα,
∠AODα+90°,
∠DOE∠AOD(α+90°)α+45°,
则∠BOEα+45°α=45°α.
2.根据要求画图,并回答问题.
已知:
直线AB,CD相交于点O,且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD;
(2)若点F是
(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外),若∠AOC=35°,求∠EOF的度数.
【解答】解:
(1)如图所示:
(2)如上图:
①当F在OM上时,
∵EO⊥AB,MN⊥CD,
∴∠EOB=∠MOD=90°,
∴∠MOE+∠EOD=90°,∠EOD+∠BOD=90°,
∴∠EOF=∠BOD=∠AOC=35°;
②当F在ON上时,如图在F′点时,
∵MN⊥CD,
∴∠MOC=90°=∠AOC+∠AOM,
∴∠AOM=90°﹣∠AOC=55°,
∴∠BON=∠AOM=55°,
∴∠EOF′=∠EOB+∠BON=90°+55°=145°,
答:
∠EOF的度数是35°或145°.
知识点4同位角、内错角、同旁内角
模型:
1.同位角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角分别在两直线的同一方,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角.如∠1与∠8,∠2与∠5.
2.内错角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的两侧,则这样一对角叫做内错角.如∠1与∠6,∠4与∠5.
3.同旁内角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的同一旁,则这样一对角叫做同旁内角.如∠1与∠5,∠4与∠6.
4.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.
【典例】
1.如图,与∠α构成同旁内角的角有________个.
【答案】3
【解析】解:
如图,由同旁内角构成“U”形,可在图中找出与∠α构成同旁内角的角有:
∠1、∠2、∠3,
共3个,
故答案为3.
2.如图,用数字标出的八个角中,同位角、内错角、同旁内角分别有哪些?
请把它们全部写出来.
【解析】解:
由同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形,可在图中找出
同位角:
∠3与∠7,∠2与∠8,∠4与∠6.
内错角:
∠1与∠4,∠3与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8;
同旁内角:
∠3与∠6,∠2与∠5,∠2与∠4,∠4与∠5;
【方法总结】
判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法:
①按定义判断,找到截线(两个角的公共边所在的直线)与被截线,判断两个角的位置关系;②按两个角构成的形状判断,若构成“F”形,则为同位角;若构成“Z”形,则为内错角;若构成“U”形,则为同旁内角.数角的对数的时候,要认真仔细,做到不重不漏.
【随堂练习】
1.已知:
如图是一个跳棋棋盘,其游戏规则是:
一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:
从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径,路径1:
∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3.
路径2:
∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3.
试一试:
(1)从起始∠1跳到终点角∠8;
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能否跳到终点∠8?
【解答】解:
(1)路径∠1∠12∠8;
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能跳到终点∠8.其路径为:
路径:
∠1∠10∠5∠8.
2.如图所示,把一根筷子一端放在水里,一端露出水面,筷子变弯了,它真的弯了吗?
其实没有,这是光的折射现象,光从空气中射入水中,光的传播方向发生了改变.
(1)请指出与∠1是同旁内角的有哪些角?
请指出与∠2是内错角的有哪些角?
(2)若∠1=115°,测得∠BOM=145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度?
请说明理由.
【解答】解:
(1)与∠1是同旁内角的有∠AOE,∠MOE,∠ADE;
与∠2是内错角的有∠MOE,∠AOE;
(2)∵AB∥CD,
∴∠BOE=∠1=115°,
∵∠BOM=45°,
∴∠MOE=∠BOM﹣∠BOE=145°﹣115°=30°,
∴向上折弯了30°.
综合运用
1.如图,2条直线两两相交最多能有1个交点,3条直线两两相交最多能有3个交点,4条直线两两相交最多能有6个交点,5条直线两两相交最多能有_________个交点,…,n条直线两两相交最多能有___________个交点(用含有n的代数式表示)
【答案】10
【解析】解:
2条直线相交有1个交点;
3条直线相交有1+2=3(个)交点;
4条直线相交有1+2+3=6(个)交点;
5条直线相交有1+2+3+4=10(个)交点;
6条直线相交有1+2+3+4+5=15(个)交点;
…
n条直线相交有1+2+3+5+…+(n﹣1)=个交点.
故答案为:
10;.
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOF=∠DOE.
(1)图中的对顶角有___对,它们是_____________________;
(2)∠COB的邻补角是___________,∠COE的补角是___________;
(3)若∠AOC=70°,∠DOE=32°,那么∠BOE=_____,∠DOF=______.
【答案】
(1)2∠AOC和∠BOD,∠BOC和∠AOD;
(2)∠AOC和∠BOD,∠DOE和∠AOF;
(3)38°78°
【解析】解:
(1)对应角有2对,它们是∠AOC和∠BOD,∠BOC和∠AOD;
(2)∠COB的邻补角是∠AOC和∠BOD,∠COE的补角是∠DOE和∠AOF;
(3)∵∠AOC=70°,
∴∠BOD=70°.
∴∠BOE=∠BOD-∠EOD=70°﹣32°=38°.
∵∠AOD=∠180°﹣∠AOC=∠180°﹣70°=110°,∠AOF=∠DOE=32°.
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=110°-32°=78°.
故答案为:
(1)2;∠AOC和∠BOD,∠BOC和∠AOD;
(2)∠AOC和∠BOD;∠DOE和∠AOF;
(3)38°;78°.
3.如图所示,某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中,问从河岸AB的何处开渠,才能使所开的渠道最短?
画图表示,并说明设计的理由.
【解析】解:
利用垂线段最短,过点C作AB的垂线,垂足即开渠处,
如图所示.
从河岸AB的D点处开渠,可使所开的渠道最短.理由是垂线段最短.
4.作图并写出结论:
如图,点P是∠AOB的边OA上一点,请过点P画出OA,OB的垂线,分别交BO的延长线于M、N,线段_______的长表示点P到直线BO的距离;线段_____的长表示点M到直线AO的距离;线段ON的长表示点O到直线______的距离;点P到直线OA的距离为______.
【解析】解:
如图所示:
线段PN的长表示点P到直线BO的距离;
线段PM的长表示点M到直线AO的距离;
线段ON的长表示点O到直线PN的距离;
点P到直线OA的距离为0,
故答案为:
PN,PM,PN,0.
5.如图,点A表示小雨家,点B表示小樱家,点C表示小丽家,她们三家恰好组成一个直角三角形,其中AC⊥BC,AC=900米,BC=1200米,AB=1500米.
(1)试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离.
(2)画出表示小丽家到街道AB距离的线段.
【解析】解:
(1)∵AC=900米,BC=1200米,AB=1500米,
∴AC⊥BC,
∴小雨家到街道BC的距离为:
900m,小樱家到街道AC的距离为:
1200m;
(2)如图所示:
CD即为小丽家到街道AB距离.
6.如图,已知直线a,b被直线c,d所截,直线a,c,d相交于点O,按要求完成下列各小题.
(1)在图中的∠1~∠9这9个角中,同位角共有多少对?
请你全部写出来;
(2)∠4和∠5是什么位置关系的角?
∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗?
【解析】解:
(1)如图所示:
同位角共有5对:
分别是∠1和∠5,∠2和∠3,∠3和∠7,∠4和∠6,∠4和∠9;
(2)∠4和∠5是同旁内角,∠6和∠8也是同旁内角,故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同.
7.如图,∠1和∠4,∠2和∠5,∠3和∠5,∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的?
它们各是什么角?
【解析】解:
∠1和∠4是BE截取AB、DC,它们是同位角,
∠2和∠5,是AC截取AB、DC,它们是内错角,
∠3和∠5,是AC截取AB、BC,它们是同旁内角,
∠3和∠4,是BC截取AB、AC,它们是同旁内角.
8.如图所示,a、b两条直线交于一点,生成∠9,探索∠9与原有角的位置关系.
(1)直线b、c被直线a所截,∠9与∠4是_______.
(2)∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______.
(3)图中共有几对同旁内角?
【解析】解:
(1)∠9与∠4是同位角,
故答案为:
同位角;
(2))∠9与∠5是直线a、c被直线b所截形成的内错角,
故答案为:
a、c;b;内错角;
(3)图中∠9和∠1,∠9和∠6,∠1和∠6,∠12和∠2,∠10和∠5,∠4和∠7是同旁内角,共6对.
9.已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.
【解析】解:
∵CO⊥OE,
∴∠COE=90°.
∵∠COF=34°,
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°﹣34°=56°.
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=56°.
∵∠COF=34°,
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=56°﹣34°=22°.
则∠BOD=∠AOC=22°.
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