线性代数各章知识点概述.docx
- 文档编号:437405
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:43
- 大小:652.78KB
线性代数各章知识点概述.docx
《线性代数各章知识点概述.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数各章知识点概述.docx(43页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
线性代数各章知识点概述
线性代数辅导
东南大学数学系
20XX年11月
第一部分行列式
第二部分矩阵的运算
第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩
第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩
第五部分线性方程组
第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
第七部分实对称矩阵和二次型
第八部分空间解析几何
第一部分行列式
一.定义
1.定义设
,则
是
项代数和;不同行,不同列;正、负号。
【例1】
是不是4阶行列式中展开式中的项,正、负号是什么?
不是
【例2】
中
的系数。
2.注:
(1).对角线法则一般地不再成立。
举例。
(2).记住上、下三角阵的行列式。
二.性质
1.性质
(1)行列式的基本性质;
(2)按行(列)展开;
(3)乘法定理。
2.需记住的结果:
(1)Vandermonde行列式;
(2)分块上、下三角阵的行列式。
3.例:
【例3】已知
,
,
,求
。
【例4】已知
。
求
。
4.注:
(1)矩阵的加法、数乘之后的行列式;
(2)容易出现的错误:
;
;
(3)分块矩阵的行列式.
三.计算
1.典型方法:
(1)化成低阶行列式;
(2)化成三角形行列式。
2.注:
很少直接用定义计算;应先化简,后计算。
3.例
【例5】
;
【例6】
;
【例7】
,
均不为零;
【例8】
;
【例9】
;
【例10】
;
第二部分矩阵的运算
一.矩阵的乘法
1.运算规律
【例1】
,
,
,
。
【例2】假设
是
维非零列向量,
。
证明:
是对称矩阵,且
。
2.应当注意的问题
(1)矩阵记号与行列式记号的差别;
(2)单位矩阵(用
或
表示)的每个元素都等于1吗?
不是
(3)矩阵乘法含有非零零因子,因而乘法消去律不成立;
【例3】
。
【例4】
满足满足什么条件时,由
就能推出
?
(4)矩阵乘法不可交换,因而一些代数恒等式不再成立。
【例5】平方差公式。
【例6】二项式定理。
【例7】设
,求
。
【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵?
不一定,任意方阵与单位阵都是可交换的。
二.可逆矩阵
1.可逆的条件
(1)行列式不为零;
(2)秩等于阶数;
(3)存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵;
(4)特征值全不为零。
2.逆矩阵的计算
(1)利用伴随矩阵:
一般只对低阶矩阵,如二阶矩阵用这种方法。
但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。
(2)利用初等变换:
要注意避免过繁的运算。
【例9】求矩阵的逆矩阵
3.重要性质,如
(1)可逆矩阵肯定不是零因子;
(2)
;
(3)对于方阵
,若存在矩阵
使得
,则
是可逆的,且
;
(4)
。
【例10】已知
,证明
是可逆的,并求其逆。
【例11】已知
。
(1)证明:
可逆,并求
;
(2)
可逆,并求其逆;
【问题】:
假设
阶矩阵
满足
。
证明矩阵
及
均可逆,并分别求
及
;证明:
若
,矩阵
肯定不可逆。
4.伴随矩阵
(1)定义; 如求矩阵
的伴随矩阵
(2)
;
(3)若
可逆,则
。
【例12】已知
,求
。
【例13】假设
,证明
。
5.矩阵方程
各种类型的矩阵方程,正确化简成标准形式,正确求解。
标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵,再求乘积得解,或直接有初等变换求解。
可以进行验算!
【例14】设矩阵
,矩阵
满足
,求
。
三.矩阵的分块运算
(1)分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的:
小矩阵间的运算要有意义,或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致
●
;
●
;
【例15】求
。
【例16】已知矩阵
,其中
是可逆矩阵,求
。
(2)注意:
不能滥用分块。
如:
行列式;伴随矩阵等。
第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩
一.概念
(1)讨论什么问题可以用初等行、列变换。
有时只能用行变换,不能用列变换;
求相抵标准型要同时用初等行、列变换。
解方程组,求逆矩阵,求极大无关组都只能用初等行变换,不能用列变换。
(2)行向量组等价的矩阵一定是等价的。
等价的矩阵的行向量组等价吗?
等价的矩阵的行向量组不一定等价,因为等价的矩阵可能做了初等列变换。
【例1】讨论矩阵的秩
二.初等变换与矩阵乘法
(1)初等变换与初等矩阵的乘积;
【例2】已知
可逆,交换其第一、三两行的得矩阵
,求
。
(2)矩阵的等价标准形
;
(3)若
,则一定存在可逆矩阵
,使得
。
【例4】证明矩阵的满秩分解定理,分解成秩为1的矩阵的和。
(4)用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,解矩阵方程。
三.矩阵的运算与秩
(1)
(2)
(3)
(4)
(3)若
,则
【例4】假设
满足
,证明:
。
【例5】假设
是
矩阵,且
。
若
,则必有
。
【例6】假设
,
是
矩阵。
证明
。
第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩
一.什么叫线性相关、线性无关?
什么叫向量组的极大无关组,秩?
重要结论。
(1)定义;
(2)简单性质:
含零向量的向量组一定线性相关等;
两个向量线性相关当且仅当其分量成比例;
问题:
如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例,是否线性无关?
不一定,可能有某一行可以由其他两行线性表示。
(3)向量组的秩与矩阵的秩的关系;
(4)定理:
时,
线性相关
存在某个
使得
可以由其余
个向量线性表示。
(5)定理:
若
线性无关,
线性相关,则
可以由
线性表示。
(6)定理:
若
可以由
线性表示,且
,则
线性相关。
(7)定理:
线性无关
。
(8)定理:
假设向量组
线性无关,并且
,
记
。
则
线性无关
可逆;
二.如何判别?
(1)线性表示,线性相关性
【例1】设向量
,
,
,
.问:
当参数
满足什么条件时
1.
能用
线性表示?
2.
不能用
线性表示?
【例2】已知向量组
,
之间有关系:
,
证明:
肯定线性相关.
【例3】求
,使得向量组
线性相关。
【例5】设
是齐次线性方程组
的线性无关的解向量,
不是其解向量。
证明:
也线性无关.
【例5】设
线性无关,
,
。
问:
满足什么条件时
线性无关?
(2)极大无关组和秩
定理:
如果
可以由
线性表示,则
定理:
如果
,则
中任意
个线性无关的向量都是其一极大无关组。
【例6】若向量组
,则当参数
取什么值时,
线性相关;这时求这个向量组的一个极大无关组。
【例7】
求给定向量组的极大无关组
(3)注意辨别对错
【例7】若
线性相关,则
可由
线性表示?
错,不一定
【例8】若有全为零的数
使得
,则
线性无关。
错,不一定
三.向量空间
第五部分线性方程组
一.解的存在性、唯一性
(1)
有解
;
(2)若
,则
有唯一解
;
(3)若
,则
的通解中含有
个自由未知量。
二.解的结构
(1)齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是
。
A.解的结构
B.若
,则
的基础解系中含
个解向量;
C.若
,则
的任意
个线性无关的解向量都是基础解系
(2)非齐次线性方程组
的解的结构
三.Cramer法则,Gauss消元法与通解的表达
注:
Cramer法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形;
用Gauss消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换,不能作列变换;
通解有两种形式:
用自由未知量表示;用向量形式表示。
四.例
【例1】求齐次线性方程组的基础解系
将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵,求通解,写出基础解系。
【例2】讨论解的情况并求基础解系
【例3】问:
当参数去什么值时,齐次线性方程组有非零解,有非零解时求通解
【例4】讨论解的情况并求解
【例5】设
是齐次线性方程组
的基础解系,
线性方程组
的特解。
表示任意常数。
则
的通解是
(1)
(2)
(3)
(4)
【例6】已知
是齐次线性方程组
的基础解系,
问:
当
取何值时,
也是
的基础解系。
【例7】假设
,
是
的解,且
,
。
求
的通解。
第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
中心问题是矩阵的相似对角化问题。
一.矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质
1.计算:
先求特征多项式,再求根,再解齐次线性方程组的非零解
【例1】求矩阵
的特征值和特征向量。
2.特征多项式和迹
假设
。
则
是
次多项式,首一的,且
称
为
的迹,记为
。
3.特征值的性质
(1)如
的特征值是
,则
,
(2)
可逆
特征值均不为零。
如果
可逆,
是
的特征值,则
是
的特征值;
(3)假设
多项式,
是
的特征值,则
是
的特征值;
(4)设
是
的化零多项式,则
的特征值均是
的根。
【例2】假设
是3阶方阵,
均不可逆,求
。
【例3】假设
,证明:
的特征值只能是0和1。
注:
错误做法:
因为
,则
或
。
若
,则0是
的特征值,若
,则1是
的特征值。
二.相似矩阵及矩阵相似的必要条件
定义:
矩阵的相似。
定理:
若矩阵
与
相似,则
,且
与
有相同的特征值、迹、秩、行列式。
【例4】已知矩阵
与
相似,求
。
解:
A,B相似,则|A|=|B|=0。
化简可得|A|=(a-b)2=0,所以a=b。
另外,A,B相似,A的特征值也为0,1,2。
当λ=1时,|λI-A|=-2ab=0。
所以a=b=0。
注:
1.逆命题不成立
2.课程中没有介绍“充分条件”,除非对矩阵加了特定的条件(如实对称等)。
【例5】若
与
之一可逆,证明:
与
一定相似。
【例6】若
与
相似,
与
相似,证明:
与
相似。
三.矩阵可相似对角化问题
注:
并非每个矩阵都相似于对角阵。
如
定理:
矩阵
相似于对角阵
有
个线性无关的特征向量。
定理:
矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
【例7】如:
肯定相似与对角阵。
如:
有重特征值,但相似于对角阵。
定理:
如果
是矩阵
的互不相同的特征值,
是
的属于
的特征向量,则
线性无关。
【例8】假设
是上三角矩阵。
证明
(1)如果
互异,则
一定相似于对角阵;(此时,A有
个不同的特征值
,所以有
个线性无关的特征向量。
)
(2)如果
全相等,而
不是对角阵,则
肯定不相似于对角阵。
(此时,A的
个特征值相同,且
)
定理:
矩阵
相似于对角阵
对于
的
重特征值,
有
个线性无关的特征向量。
【例9】假设
相似于对角阵,2是一个二重特征值。
求
及可逆矩阵
,使得
是对角阵。
【例10】已知矩阵
的特征方程有一个二重根。
求参数
的值
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 各章 知识点 概述