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学无止境
初中数学总复习资料
㈠数与代数
⒈数与式
⑴有理数:
有限或不限循环性数(无理数:
无限不循环小数)
⑵数轴:
“三要素”
⑶相反数
⑷绝对值:
│a│=a(a≥0)│a│=-a(a<0)
⑸倒数
⑹指数
①零指数:
0
a=1(a≠0)②负整指数:
(a≠0,n是正整数)
⑺完全平方公式:
2222
(ab)=aab+b
2b
2
⑻平方差公式:
(a+b)(a-b)=a-
⑼幂的运算性质:
①
m
a·
n
a=
m+②am÷
n
a
n
a=
mmn
-n③(am)n=
aa④
n
(ab)=
n
a
n
b⑤
n
aa
n
()=⑽
n
bb
科学记数法:
n
a10(1≤a<10,n是整数)
⑾算术平方根、平方根、立方根、
⑿
a
b
cma
===(b+d++n0)等比性质:
dnb
+
+
c
d
+
+
+
+
m
n
=
a
b
⒉方程与不等式
⑴一元二次方程
①定义及一般形式:
0(0)
ax
2+bx+c=a
②解法:
1.直接开平方法.
2.配方法
2
-bb-4ac2
3.公式法:
x1=(b-4ac0)
2
2a
4.因式分解法.
③根的判别式:
=b4ac>0,有两个解。
2-
=b4ac<0,无解。
2-
=b4ac=0,有1个解。
2-
学无止境
④维达定理:
b
x1+x2=-,x1x2=
a
c
a
⑤常用等式:
22222
x1+x=(x+x)-2xx(x1-x)=(x+x)-4x1x2
21212212
⑥应用题
1.行程问题:
相遇问题、追及问题、水中航行:
v顺=船速+水速;v逆=船速-水速
2.增长率问题:
起始数(1+X)=终止数
3.工程问题:
工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。
4.几何问题
⑵分式方程(注意检验)
由增根求参数的值:
①将原方程化为整式方程
②将增根带入化间后的整式方程,求出参数的值。
⑶不等式的性质
①a>b→a+c>b+c
②a>b→ac>bc(c>0)
③a>b→ac ④a>b,b>c→a>c ⑤a>b,c>d→a+c>b+d. ⒊函数 ⑴一次函数 ①定义: y=kx+b(k≠0) ②图象: 直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。 ③性质: k>0,直线经过一、三象限,y随x的增大而增大。 k<0,直线经过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b>0时,直线必通过一、二象限。 当b=0时,直线通过原点。 当b<0时,直线必通过三、四象限。 ④图象的四种情况: yyyy oooo xxxx (k>0,b>0)(k<0,b>0)(k>0,b<0)(k<0,b<0) 学无止境 ⑵正比例函: ①定义: y=kx(k≠0) ②图象: 直线(过原点) ⑶反比例函数 ①定义: k -1 y==kx(k≠0). x ②图象: 双曲线(两支) ③性质: k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限,y的值随x值的增大而减小。 k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限,y的值随x值的增大而增大。 ; ④两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 ⑷二次函数. ①定义: y=ax-hkay=axbxc(a0)() ()(0)() ②图象: 抛物线 y=axbxc(a0)顶点: 2++ y=a(x-h)k(a0)顶点: (h,k) 2+ ③性质: ⑴当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 ⑵当a与b同号时(ab>0),对称轴在y轴左边;当a与b异号时(ab<0),对称轴在y轴右边;当 b=0时,对称轴在y轴。 (左同右异) ⑶当c>0时,与y轴交于正半轴;当c<0时,与y轴交于负半轴;当c=0时,与y轴交于原点。 ④平行移动的规律: 当h>0时,y=ax向右平行移动h个单位得到y=a(x-h) 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时,y=ax向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,得到y=a(x-h)+k 当h>0,k<0时,y=ax向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,得到y=a(x-h)+k 当h<0,k>0时,y=ax向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,得到y=a(x-h)+k 当h<0,k<0时,y=ax向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,得到y=a(x-h)^2+k ㈡空间与图形 ⒈三角形 ⑴面积公式: 底乘以高除以2 ⑵“四心”: ①垂心: 三角形三条高的交点。 ②内心: 三角形三条内角平分线的交点,即内接圆的圆心。 学无止境 ③重心: 三角形三条中线的交点。 ④外心: 三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。 ⑶三角形边与边的关系: 两边之和大于第三边。 (较短的两条边) 两边之差小于第三边。 (最长的边和最小的边) ⑷三角形内角和、外角与内角的关系: 三角形内角和为180度。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 ⑸证明 判定及性质 ①在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜 边的一半。 直 ②如果三角形一边上的中线等于这条斜边的一半,那么这条边所对的角是直 角 角。 三 ①直角三角形两个锐角互余。 角 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 形 ③在直角三角形中,两条直角边abca2、的平方和等于斜边的平方,即+ b2=c2。 等腰 三角形 ①等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 (三线合 一) 等边三角形①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 ①相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 相 ②相似三角形周长的比等于相似比。 似 ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 三角形 ④相似三角形的对应角相等,对应边成比例。 全 等 三 角 形 ①三边对应相等的两个三角形全等。 (SSS) ②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 (SAS) ③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 (ASA) ④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (AAS) ⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。 (HL) ⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等。 三角形①连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线②三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半。 学无止境 ⒉特殊的角: ⑴对顶角 ⑵余角 ⑶补角 ⒊线段 定理 垂直平分线 ①线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相 等。 梯形中位线①梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。 平行线①内错角相等。 ②同旁内角互补。 ③同位角相等。 垂线段①点到直线的距离,垂线段最短。 角平分线①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ⒋三角函数 ⑴锐角三角函数: 正弦: sinA= ∠A的对边 斜边 余弦: cosA= ∠A的邻边 斜边 正切: tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 ⑵互余两角的三角函数: ①sinA=cos(90°-A)cosA=sin(90°-A) ②tanA=cot(90°-A)cotA=tan(90°-A) ⑶同一锐角的三角函数关系: sin 2A+cos2A=1tanA·cotA=1tanA= sinA cosA ⑷特殊角的三角函数值: 三角函数sinαcosαtanα 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 23 ⑸对实际问题的处理: ①坡度: SinA的值越大,梯子越陡;CosA的值越小,梯子越陡。 ②方位角(上北下南左西右东) 学无止境 ③俯、仰角: ⒌四边形 ⑴面积公式: ①梯形,上底加下底的和乘以高除以2 ②菱形,对角线乘以对角线除以2 ③平行四边行,底乘以高 ⑵ 判定性质 平 行 四 边 形 ①两组对边分别平行。 ②两组对边分别相等。 ③两组对角分别相等。 ④两条对角线互相平分。 ⑤一组对边平行且相等。 ⑥一组对角相等且一组对边平行。 ①对角相等。 ②两组对边平行且相等。 ③两组对角线互相平分。 ①有一组邻边相等的平行四边形。 ①具有平行四边形的一切性质。 菱②两条对角线互相垂直的平行四边②四条边都相等。 形形。 ③对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角。 ③四条边都相等的四边形。 ④既是轴对称图形,也是中心对称图形。 矩 ①有一个角是直角的平行四边形。 ②对角线相等的平行四边形。 ①具有平行四边形的一切性质。 ②四个角都是直角。 ③有三个角是直角的四边形。 ③对角线相等。 形 ④既是轴对称图形,也是轴对称图形。 ①有一组邻边相等的矩形。 ②有一个角是直角的菱形。 ①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方③有一组邻边相等且有一个角是直②对角线互相垂直、平分且相等。 形角的平行四边形。 ④对角线互相垂直平分且相等的四③既是轴对称图形,也是中心对称图形。 边形。 等 腰①一组对边平行且另一组对边相等。 ①两条腰相等。 梯②同一底上的两个底角相等的梯形。 ②对角线相等。 形 学无止境 ⑶顺次连结各边中点得到的图形: ①顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 ②顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ③顺次连结对角线垂直相等的四边形各边中点得正方形。 ④顺次连结对四边形各边中点得平行四边形。 ⒍圆 ⑴垂径定理: 过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的优劣弧。 (知二推三) ⑵与圆有关的角: 圆心角圆周角 定义顶点在圆心的角顶点在圆周上的角 圆心角的度数等于它的弧度。 直径所对的圆周角为90度。 性 在同圆或等圆中,相等的圆心(周)角所对的弧相等,所对的弦相等, 质 所对的弦的弦心距也相等。 关系一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ⑶圆和圆的位置关系: (圆心距d,半径分别为Rr且R>r) 外离: d>R+r外切: d=R+r相交: R-r d=R-r内含: d ⑷直线和圆的位置关系: (半径为r,圆心O到直线l的距离为d) 相离: d>R相切: d=R相交: d ⑸点和圆的位置关系: (半径为r,某一点到圆心O的距离为d) 点在圆外: d>r点在圆内: d d=R ⑹计算公式: ①圆周长公式: ②圆面积公式: ③扇形面积公式: ④弧长公式: ⑺概念: 弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 ⒎尺规作图要求 ⑴作一条线段等于已知线段 ⑵作一个角等于已知角 ⑶作角的平分线 ⑷作线段的垂直平分线 学无止境 ⑸作三角形 ①已知三边作三角形 ②已知两边及其夹角作三角形 ③已知两角及其夹边作三角形 ④已知底边及底边上的高作等腰三角形 ⑹过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆 ⒏视图与投影 ⑴直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图 ⑵轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆 ⑶中心对称图形: 矩形、圆、 ⑷图形的平移和旋转 ⑸图形的相似: ㈢概率与统计 ⒈统计 ⑴重要概念 ①总体: 考察对象的全体。 ②个体: 总体中每一个考察对象。 ③样本: 从总体中抽出的一部分个体。 ④样本容量: 样本中个体的数目。 ⑤众数: 一组数据中,出现次数最多的数据。 ⑥中位数: 将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的 平均数)。 ⑵扇形统计图、条形统计图、折线统计图 ⑶计算方法 1 ①平均数: x=(x1+x++xn) 2 n xf+xf++xf 1122fffn kk+++=②加权平均数: () x=k 12 n 2xxxxxx 122 2 ③样本方差: ⑴s=[(-)+(-)++(n-)] 12 n ④样本标准差: s= 2 s ⑤极差: 最大的数减去最小的数 ⒉概率 ①列表法、画树状图法
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