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辅助圆模型
辅助
模型
如图,在平面内,点J为定点,点E为动点,且,毎长度固定,则点B的轨迹是以点2为圆心,,毎长为半径的圆.
练习
1•如图,点0为线段BC的中点,点A,C,D到点0的距离相等.若ZABC=40°,则
ZADC的度数是
A
2・如图,在RtAABC中,ZABC=90°,BC=2,点D在AC边上运动,将Z\BCD沿BD翻折,点C的对应点为C,任点D从点C到点A的运动过程中,点C运动的路径长为
模型2定弦定角
若线段的长度及其所对的Z/CB的大小不变,则点C的运动轨迹是以,拐为弦的圆.
(1)当ZC<90°时,点C在如图1所示的优弧上运动(不与点/重合)•
(2)当ZC=90°时>点C在如图2所示的上运动(不与点2重合).
(3)当Z0900时,点C在如图3所示的劣弧上运动(不与点4,B重合).
练习:
如图,在AABC中,AB=AC,ZBAC=100°,BD为ZABC的平分线.若BD=1,
BC=V3,则AD的长为.
模型3
1•如图1、图2,乙QC=ZJBC=90°,则点A、B、C、D在同一个圆上(C为四边形•松CD的外接圆的直径.
2•如图3为ZUBC和肋的公共边,且点CQ在,毎的同侧、乙C=ZD、则点d>B,C、D在同一圆上.
3•如图4,在四边形ABCD中>Z.WC+Z^C=180°,则点2、BCD在同一个圆上;四边形的外接圆的圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点.
4•如图,在四边形ABCD中,连接AC,BD,ZBAD=ZBCD=90°>ZBDC=25°,则ZBAC的度数为
5・如图,AABC是边长为2的等边三角形,点P为线段BC所在直线下方一动点,且满足
ZBPC=120°,则PB+PC的最大值为.
A
模型4点圆最值
平面内一定点D与。
O上动点£的连线中,当连线过圆心0时,线段DE有最大值和最小值,具体分点刀在0O外.上.内三种情况分析.
练习:
1如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平而内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM则OM的最大值为
2如图,在AABC中,ZC=90°,AC=8>AB=10,D是AC上一点,且CD=2,丘是BC边上一点将ADCE沿DE折叠梗点C落在点F处,连接BF,则BF的最小值为
模型5构造直径所对的圆周角
1.如图,AB是半圆的直径€O是半圆上的两点>ZADC=106°,则ZCAB等于
模型6圆内接三角形与外角平分线
1.如图,CQ平分/\ABC的外角交外接圆于点D结论:
AD=RD.
2•如图,AABC的外角ZBAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,过点E作EF/7BC,交CM于点D.求证:
(1)BE=CE.
(2)EF为00的切线.
3•如图,AB是00的直径,0在眈的延长线上>且ZPCQ=ZPCA"为圆上一点,连接PA,PB.(l)求证:
PA=PB.
(2)求ACpcBC的值.
模型7等边三角形与圆
1.如图,等边口BC内接于00,戸为00上一点,连接刃、PB、PC.结论:
PB+PC=PA.
2•如图,00为等边AABC的外接圆,半径为2,点D在上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.
(1)求证:
DC是ZADB的平分线・
(2)四边形ADBC的而积S是线段DC的长x的函数吗?
如果是,求出函数解析式:
如果不是,请说明理由.
A
3如图,四边形ABCD内接于G>0,ZABC=60c,对角线BD平分ZADC.
(1)求证:
AABC是等边三角形・
⑵过点B作BE/7CD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求ABDE的面积.
模型8弦切角定理
(1)顶点在圆上,一边和圆相交>另一边和圆相切的角叫做弦切角.
(2)
弦切角定理:
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数.如图,ZMBD=ZMAB=^ZMOB.
练习:
如图,CD是。
0的切线,T为切点:
A是上的一点.若ZTAB=100°,则ZBTD的度数为
模型9相交弦定理
相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等.如图,已知OO,弦ABCD相交于点M,则.AMBM=CMDM.
练习:
如图,已知BC是00的直径,AH丄BC,垂足为D,点A为的中点,BF交AD于点E,且BEEF=32,AD=6.⑴求证:
AE=BE.
(2)DE的长为
模型10切割线定理
切割线定理:
圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项•
切割线定理的推论:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
如图>已知PB、PD是OO的两条割线,分别与00交于A,BD四点,PT是圆的切线,则有PT2=PCPD=R1PB.
练习:
如图,在Rt/\ABC中,ZABC=90°,以CB为半径作0C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接BD>BE.
AB4
⑴求证:
△ABDs/XAEB.
(2)当竟=了时,求tanE的值.
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