版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语11集合的概念与运算学案文.docx

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版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语11集合的概念与运算学案文

1．1　集合的概念与运算

[知识梳理]

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2．集合间的基本关系

3．集合的基本运算

4．集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

（4）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．

[诊断自测]

1．概念思辨

（1）直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．（　　）

（2）若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．（　　）

（3）设集合A＝{0,1}，若B＝{x|x⊆A}，则A⊆B.（　　）

（4）设集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若A⊆B，则a＝1或－1.（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．教材衍化

（1）（必修A1P12T10）若集合P＝{x|x≥5}，Q＝{x|5≤x≤7}，则P与Q的关系是（　　）

A．P＝QB．PQ

C．PQD．P⊄Q

答案　C

解析　因为集合P＝{x|x≥5}，Q＝{x|5≤x≤7}，所以QP.故选C.

（2）（必修A1P12T2）已知A＝{（x，y）|4x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.

答案　{（1,2）}

解析　A∩B＝{（x，y）|4x＋y＝6}∩{（x，y）|3x＋2y＝7}＝

＝{（1,2）}．

3．小题热身

（1）已知集合A＝{x|－3

A．（0,3）B．（－3,4）

C．（0,4）D．（3,4）

答案　B

解析　集合B＝（0,4），故A∪B＝（－3,4）．故选B.

（2）若集合A＝[2,3]，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则A∩B＝（　　）

A．{2,3}B．∅

C．（2,3）D．[2,3]

答案　A

解析　因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{2,3}，所以A∩B＝{2,3}．故选A.

题型1　集合的基本概念

（2016·四川高考）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

本题用列举法．

答案　C

选C.

　　（2018·豫北名校联考）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P⊗Q中元素的个数是（　　）

A．2B．3

C．4D．5

本题用分类讨论法，根据元素的互异性确定元素个数．

答案　B

解析　当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；

当a＝－1，b＝－2时，z＝

；

当a＝－1，b＝2时，z＝－

；

当a＝1，b＝－2时，z＝－

；

当a＝1，b＝2时，z＝

.

故P⊗Q＝

，该集合中共有3个元素．故选B.

方法技巧

解决集合概念问题的一般思路

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．见典例1,2.

3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．见典例2.

冲关针对训练

1．已知集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则下列关系正确的是（　　）

A．A∩B＝∅B．A∩B＝A

C．A＝BD．A∩B＝B

答案　D

解析　A＝R，B＝[1，＋∞），故A∩B＝B.故选D.

2．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：

x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　D

解析　因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，所以

即

因为a，b为两个不相等的实数，则a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，∴a＋b＝4.故选D.

题型2　集合间的基本关系

　（2017·资阳模拟）含有三个实数的集合可表示为

，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2017＋b2017的值为（　　）

A．0B．±1

C．－1D．1

利用集合相等分类讨论，根据元素的互异性求解．

答案　C

解析　三个实数的集合可表示为

，也可表示为{a2，a＋b,0}，可得b＝0，a2＝1，因为集合含有三个实数，所以a＝－1，∴a2017＋b2017＝－1.故选C.

　已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

本题可结合数轴用数形结合方法．

答案　（－∞，－1]

解析　由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是（－∞，－1]．

[条件探究1]　典例2中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？

解　当B＝∅时，有m＋1>2m－1，则m<2；

当B≠∅时，

或

解得m>6.综上可知m的取值范围是（－∞，2）∪（6，＋∞）．

[条件探究2]　典例2中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？

解　当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>2m－1，

即m<2；当B≠∅，要使B⊆A，则有

解得2≤m≤4.

综上可知m的取值范围是（－∞，4]．

方法技巧

1．集合相等的问题求解思路

首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等，一般要分类讨论，列出方程（组）求解，最后要验证是否满足互异性．例如典例1.

2．已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点

（1）关键点：

将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．

（2）注意点：

①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论；②注意区间端点的取舍．例如典例2.

提醒：

空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

冲关针对训练　

1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

答案　B

解析　易得A＝{x|x>2或x<0}，又B＝{x|－

}，利用数轴表示A与B（略），易知A∩B＝{x|－

}，A项错误；A∪B＝R，B项正确；A与B没有包含关系，C项与D项均错误．故选B.

2．（2017·河北校级期中）已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝（　　）

A．3B．2

C．2或3D．0或2或3

答案　D

解析　因为B⊆A，所以根据B是否为空集分以下两种情况：

①当B＝∅时，mx－6＝0无解，即m＝0，

②当B≠∅时，mx－6＝0的解为2或3，则m的值分别为3,2.故选D.

题型3　集合的基本运算

角度1　求交集

　　（2016·全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（　　）

A.

B.

C.

D.

本题用转化法，数形结合法．

答案　D

解析　易知A＝（1,3），B＝

，∴A∩B＝

.故选D.

角度2　求并集

（2018·浙江模拟）已知集合P＝{x|－1

A．（－1,2）B．（0,1）

C．（－1,0）D．（1,2）

本题用数形结合法．

答案　A

解析　∵P＝{x|－1

∴P∪Q＝{x|－1

角度3　交、并、补的综合运算

（2018·广东七校联考）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg（x－1）}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{x|x>2或x<0}B．{x|1

C．{x|1

本题用转化法、数形结合法．

答案　C

解析　解不等式x2－2x>0，即x（x－2）>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}．集合B是函数y＝lg（x－1）的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．易知∁UA＝{x|0≤x≤2}，所以（∁UA）∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1

角度4　知集合的运算结果求参数

　　（2017·全国卷Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}

C．{1,3}D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

方法技巧

1．集合的基本运算的求解策略

（1）求解思路一般是先化简集合，再根据交、并、补的定义求解．例如角度1典例．

（2）求解原则一般是先算括号里面的，再按运算顺序求解．

（3）求解思想一般是注重数形结合思想的运用，利用数轴、Venn图等．例如角度2,3典例，冲关针对训练3.

2．参数求解策略

一般来讲，若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的范围，此时要注意端点的情况．见角度4典例，冲关针对训练2.

冲关针对训练

1．（2017·天津高考）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{2}B．{1,2,4}

答案　B

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1,2,4}．

故选B.

2．（2017·合肥质检二）已知集合A＝[1，＋∞），B＝{x∈R

，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B.

C.

D．（1，＋∞）

答案　A

解析　因为A∩B≠∅，所以

解得a≥1，故选A.

影部分所表示的集合为（　　）

A．{1,2}B．{4,5}

C．{1,2,3}D．{3,4,5}

答案　A

解析　图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，

R|x≥3}，

∵∁UB＝{x|x<3}，∴（∁UB）∩A＝{1,2}，

则图中阴影部分表示的集合是{1,2}．故选A.

题型4　集合中的创新问题

　　已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1

对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与

两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　）

C．“权集”中元素可以有0D．“权集”中一定有元素1

本题用排除法．

答案　B

解析　由于3×4与

均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误．故选B.

方法技巧

解决集合新定义问题的常用方法

1．紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．

2．用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

3．对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．

冲关针对训练

1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为（　　）

A．16B．17

C．18D．20

答案　D

解析　∵当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为{0,1}，{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为{0,1,2}，{1,2,3}，的5个集有20个．故选D.

1．（2017·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（　　）

A．A∩B＝

B．A∩B＝∅

C．A∪B＝

D．A∪B＝R

答案　A

解析　由3－2x>0得x<

，则B＝

，所以A∩B＝

.故选A.

2．（2017·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）│x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）│y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3B．2

C．1D．0

答案　B

解析　集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．

由图形可知，直线与圆有两个交点，

所以A∩B中元素的个数为2.故选B.

3．（2018·武昌调研）设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝（　　）

A．{0,1}B．{1,2}

答案　D

4．（2018·湖北四校联考）已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩（∁RB）的真子集的个数为（　　）

A．1B．3

C．4D．7

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1

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一、选择题

1．（2017·山西八校联考）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0

A．[－1,4]B．（0,3]

C．（－1,0]∪（1,4]D．[－1,0]∪（1,4]

答案　A

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．故选A.

2．（2018·石家庄质检）设集合A＝{x|（x＋1）（x－3）<0}，B＝{x|2

A．{x|－1

C．{x|1

答案　D

解析　因为A＝{x|（x＋1）（x－3）<0}＝{x|－1

3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y

，则集合M∩N的真子集的个数是（　　）

A．4B．3

C．2D．1

答案　B

解析　因为N＝{0,1,2}，所以M∩N＝{0,1}，其真子集的个数是3.故选B.

4．（2018·济南质检）已知集合A＝{x|x（x－1）<0}，B＝{x|ex>1}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．[1，＋∞）B．（0，＋∞）

C．（0,1）D．[0,1]

答案　A

解析　依题意得，A＝{x|00}，故（∁RA）∩B＝{x|x≥1}＝[1，＋∞）．故选A.

5．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A．M＝NB．M⊆N

C．N⊆MD．M∩N＝∅

答案　C

解析　M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.

6．（2017·山西模拟）设全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2<6x}，B＝{x∈N|3

C．{3,4}

答案　B

7．（2018·中山模拟）已知集合A＝x

y＝

，B＝{y

，则A∩B＝（　　）

A．（0,1]B．（0,1）

C．（－∞，0]D．[0,1]

答案　B

解析　由y＝

得

解得0

x2－x＋

＝

（x－1）2≥0，得B＝[0，＋∞），故A∩B＝（0,1）．故选B.

8．（2017·湖南长沙模拟）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（　　）

A．1B．2

C．3D．1或2

答案　B

解析　当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；

当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；

当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，

所以a的值为2.故选B.

9．（2018·江西九江七校联考）设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且

∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg（36－x2）}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有（　　）

A．3个B．4个

C．5个D．6个

答案　C

由题意可知：

集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}．故选C.

10．（2018·豫北名校联考）设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B．

C.

D．（1，＋∞）

答案　B

解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，

设函数f（x）＝x2－2ax－1，因为函数f（x）＝x2－2ax－1图象的对称轴为x＝a（a>0），f（0）＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，

所以有

即

所以

即

≤a<

.故选B.

二、填空题

11．（2017·南昌模拟）已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m

答案　7

解析　由x2－4x<0得0

12．（2017·洛阳模拟）已知集合A＝

，B＝{x|x<2m－1}，且A⊆（∁RB），则m的最大值是________．

答案　

解析　依题意，A＝

＝

，∁RB＝{x|x≥2m－1}，又A⊆（∁RB），所以2m－1≤

，解得m≤

.故m的最大值为

.

质P的集合A的个数是________．

答案　7

解析　由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满足题意14．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________.

答案　0或

解析　由于A＝{2，a，b}，B＝{2a,2，b2}，

因A∩B＝A∪B，故A＝B，因此A，B中的元素对应相等，得

或

解得

或

或

由集合中元素的互异性，得

或

所以a的值为0或

.

三、解答题

15．（2018·运城模拟）设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．

解　A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{－4,0}．

∵B⊆A，∴B＝A或BA.

①当A＝B，即B＝{－4,0}时，则－4和0是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两根，

代入解得a＝1.

②当BA时，分两种情况：

若B＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1；

若B≠∅，则方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两个相等的实数根．

∴Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，满足条件．

综上所述，所求实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤－1}．

16．（2018·合肥模拟）设集合A＝

，B＝{x|x2－3mx＋2m2－m－1<0}．

（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

（2）若A⊇B，求实数m的取值范围．

解　化简得集合A＝{x|－2≤x≤5}，

集合B＝{x|（x－m＋1）（x－2m－1）<0}．

数为28－2＝254.

（2）①m＝－2时，B＝∅⊆A；

②当m<－2时，（2m＋1）－（m－1）＝2＋m<0，

所以B＝（2m＋1，m－1），因此，要B⊆A，

则只要

⇒－

≤m≤6，所以m的值不存在；

③当m>－2时，B＝（m－1,2m＋1），因此，要B⊆A，

则只要

⇒－1≤m≤2.

综上所述，m的取值范围是{m|m＝－2或－1≤m≤2}．