学年人教A版必修二 231直线与平面垂直的判定 课时作业.docx
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学年人教A版必修二231直线与平面垂直的判定课时作业
课时作业(十三)
(第一次作业)
1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直D.不确定
答案 B
2.a、b表示直线,α表示平面,下列推断中正确的是( )
A.
⇒a∥bB.
⇒a∥b
C.
⇒a⊥αD.
⇒a∥α
答案 B
3.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有( )
A.0条B.1条
C.无数条D.不确定
答案 C
解析 如图,a不与α垂直,A是a上一点,C是a与α的交点,AB⊥α,故AB⊥c,若c⊥b,则c⊥平面ABC,则有c⊥a,故这样的直线有无数条.
4.在矩形ABCD中,AB=1,BC=
,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 A
解析 ∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角,tan∠PCA=
=
=
.
∴∠PCA=30°.
5.P是△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,则PA、PB、PC与α所成的角( )
A.都相等B.都不相等
C.有且只有两个相等D.大小不确定
答案 A
解析 设P在平面ABC内的射影为O,
∵PA=PB=PC,
∴△PAO≌△PBO≌△PCO.
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO.
6.在三棱锥P—ABC中,若PA=PB=PC,则顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的( )
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
答案 B
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、M、N分别是AB、AA1、DD1的中点,则( )
A.B1P⊥平面BCNMB.B1P⊂平面BCNM
C.B1P∥平面BCNMD.相交不垂直
答案 A
解析 由MN⊥平面AA1B1B,知MN⊥B1P,而B1P⊥BM,∴B1P⊥平面MNCB.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.ACB.BD
C.A1DD.A1A
答案 B
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD,∴AA1⊥BD.又BD⊥AC,∴BD⊥面A1ACC1.又CE⊂面A1ACC1,∴BD⊥CE.
9.如图所示,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥△ABC所在平面,PD⊥BC于D,连接AD,那么图中共有直角三角形的个数为( )
A.5个B.6个
C.7个D.8个
答案 D
解析 △PAB、△PAC、△ABC、△PBD、△PDC、△ABD、△ACD、△PAD.
10.在四棱锥P—ABCD的侧面△PAB,△PBC,△PCD,△PDA中,直角三角形最多有________个.
答案 4
解析 如图所示,四棱锥P—ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD为矩形,在四个侧面中,有Rt△PAB,Rt△PAD,Rt△PBC,Rt△PDC,故有4个.
11.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:
VB⊥AC.
证明 取AC中点D,连接VD,BD.
∵VA=VC,∴VD⊥AC.
又∵BA=BC,∴BD⊥AC.
∵VD∩BD=D,
∴AC⊥平面VBD,又VB⊂平面VBD,∴VB⊥AC.
12.如图所示,已知在空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,垂足为E,作AH⊥BE交BE于H,求证:
AH⊥平面BCD.
解析 取AB的中点F,连接CF,DF.因为AC=BC.所以CF⊥AB,又因为AD=BD,所以DF⊥AB,所以AB⊥平面CDF,又因为CD⊂平面CDF,所以CD⊥AB,又因为CD⊥BE,所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥AH,又因为AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.
13.如图所示,在斜边为AB的直角△ABC中,过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N.
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)求证:
PB⊥平面AMN.
证明
(1)∵AP⊥平面ABC,∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC,AP∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
(2)由
(1)BC⊥平面PAC,则AN⊥BC,
又∵AN⊥PC,BC∩PC=C,
∴AN⊥平面PBC.∴AN⊥PB.
∵PB⊥AM,AM∩AN=A,∴PB⊥平面AMN.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
B1D⊥平面A1BC1.
证明 如图,连接B1D1,B1C,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中
⇒
⇒B1D⊥面A1BC1.
课时作业(十三)
(第二次作业)
1.空间四边形的四条边相等,那么它的对角线( )
A.相交且垂直 B.不相交也不垂直
C.相交不垂直D.不相交但垂直
答案 D
解析 如图空间四边形ABCD,E为对角线BD的中点,因为四条边相等,则有CE、AE均垂直于BD,则BD与面AEC垂直,则BD⊥AC.
2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个B.至多一个
C.有一个或无数个D.不存在
答案 B
3.已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下列四个命题:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确的命题是( )
A.①③ B.②④
C.①④ D.②③
答案 C
4.如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角,记作θ,那么sinθ的值为( )
A.
B.
C.
D.1
答案 B
解析 截面A1BD即符合题意.
5.如图甲所示,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图乙所示),使G1,G2,G3三点重合于点G,这样,下面结论成立的是( )
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF
答案 A
6.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.
其中真命题是( )
A.②③④B.①③④
C.①②④D.①②③
答案 C
解析 考查立体几何图形中相交平行垂直性质
7.下列五个正方体图形中,如图,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是__________(写出所有符合要求的图形序号).
答案 ①④⑤
8.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:
AD⊥平面SBC.
解析 ∵SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴SA⊥BC.
又∵∠ACB=90°,即AC⊥BC.
又∵SA∩AC=A,∴BC⊥平面SAC.
又AD⊂平面SAC,∴AD⊥BC.
又AD⊥SC,SC∩BC=C,
∴AD⊥平面SBC.
9.如图,四面体A-BCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=
AC,∠BDC=90°.
求证:
BD⊥平面ACD.
证明 取CD中点为G,连接EG,FG.
设AC=BD=2,则EG=FG=1.
∵EF=
,∴EG⊥FG.
∵F,G分别为CD,CB的中点,∴FG∥BD,∴BD⊥EG.
∵BD⊥CD,EG∩CD=G,
∴BD⊥面ACD.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=
a,求证:
PD⊥平面ABCD.
证明 ∵PD2+DC2=PC2,
∴∠PDC=90°,即PD⊥DC.
同理,PD⊥DA.
又∵DC∩DA=D,∴PD⊥面ABCD.
11.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2
,BC=6.
求证:
BD⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥面ABCD,BD⊂面ABCD,
∴PA⊥BD.
在Rt△ABD中,∵AD=2,AB=2
,
∴tan∠ABD=
=
,∴∠ABD=30°.
在Rt△ABC中,∵AB=2
,BC=6,∴tan∠BAC=
=
,∴∠BAC=60°.
在△ABE中,∵∠BAE=60°,∠ABE=30°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.
∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为
,底面三角形的边长为1,求BC1与侧面ACC1A1所成的角.
解析 取AC中点D,连接BD,C1D.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,∴AA1⊥面ABC.
∴AA1⊥BD,∵BA=BC,∴BD⊥AC.
∵AC∩AA1=A,∴BD⊥面ACC1A1.
∴C1D为BC1在平面ACC1A1内的射影.
∴∠BC1D为BC1与侧面ACC1A1所成的角.
∵CC1=
,CD=
,∴C1D=
,BD=
.
在Rt△BC1D中,tan∠BC1D=
=
,
∴∠BC1D=30°.
►重点班·选做题
13.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求证:
CD⊥AE;
(2)求证:
PD⊥平面ABE.
证明
(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.
∵CD⊥AC,AC∩PA=A,
∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,
∴CD⊥AE.
(2)∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴AC=AB=PA.
∵E是PC中点,∴AE⊥PC.
由
(1)知CD⊥平面PAC,∴CD⊥AE.
∴AE⊥平面PCD,∴AE⊥PD.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD.
又AE⊥PD,AB∩AE=A,故PD⊥平面ABE.
14.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=
,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
解析
(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=
.
又A1C=
,则A1C2=OC2+OA12,故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=
,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=
S△ABC×OA1=3.
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