函数单调性习题含参问题.docx
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函数单调性习题含参问题
函数单调性习题(含参问题)
一、选择题
1、
在
上是减函数,则a的取值范围是( )。
A.
B.
C.
D.
2、当
时,函数
的值有正也有负,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3、若函数
在区间
上为减函数,则实数
的取值范围是()
A.
;B.
;C.
;D.
4、若函数
在
上是增函数,则实数
的取值范围是()
A.
;B.
;C.
;D.
5、已知函数
,若存在实数
,当
时,
恒成立,则实数
的
最大值是()
A.1;B.2;C.3;D.4
6、已知关于y轴对称的函数
在区间
单调递增,则满足
<
的x取值范围是()
A.(
,
)B.(
,
)C.(
,
)D.
7、已知定义域为(-1,1)的关于原点对称的函数y=f(x)又是减函数,且
则a的
取值范围是()
A.(2
,3)B.(3,
)C.(2
,4)D.(-2,3)
二、填空题
8、函数
当
时,是增函数,当x∈
时是减函数,则f
(1)=_____________
9、函数
在[2,+∞]上递减,则a的取值范围是
10、已知t为常数,函数
在区间[0,3]上的最大值为2,则
11、已知函数
若
,则
与
的大小
关系为
12、定义在
上的函数
是减函数,若
,则实数
的范围为_____________
13、已知
是
上的减函数,那么
的取值范围是
14、已知
为实数,函数
,若
,求函数
在
上的最大值和
最小值分别为、。
三、解答题
15、讨论函数
在(-2,2)内的单调性。
16、定义在R上的函数
,
,当x>0时,
,且对任意的a、b∈R,有
f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)求证:
f(0)=1;
(2)求证:
对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:
f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
17、已知函数
,
.
(1)讨论函数
的单调区间;
(2)设函数
在区间
内是减函数,求
的取值范围.
18、已知函数
(1)当
时,求函数
的最小值;
(2)若对任意
恒成立,试求实数
的取值范围。
19、已知定义域为
的函数
是奇函数。
(1)求
的值;
(2)若对任意的
,不等式
恒成立,求
的取值范围;
20、已知向量
=(sinA,cosA),
=(
-1),
·
=1,且
为锐角
(1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
21、△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,
=(2b-c,a),
=(cosA,-cosC),且
⊥
.
(1)求角A的大小;
(2)当y=2sin2B+sin(2B+
)取最大值时,求角
的大小.
22、已知
=(cosx+sinx,sinx),
=(cosx-sinx,2cosx),
(1)求证:
向量
与向量
不可能平行;
(2)若f(x)=
·
,且x∈[-
]时,求函数f(x)的最大值及最小值.
1.A;由题知
解得
2.D;由题知
,当y=0时,ax+2a+1=0得x=
,则
,解得
。
3.C;因为
,由其图象知,若函数
在区间
上为减函数,则应有
4.A;若函数
在
上是增函数,则
对于
恒成立,即
对于
恒成立,而函数
的最大值为
,实数
的取值范围是
5.D;依题意,应将函数
向右平行移动得到
的图象,为了使得在
上,
的图象都在直线
的下方,并且让
取得最大,则应取
,这时
取得最大值4
6.A;f(x)在
上是减少的,在
上是减少的,所以有
或
解得
。
7.A;因为f(x)关于原点对称,所以有f(-x)=-f(x),于是
可变形为
,所以有
,解得
。
8.-3; f(x)=2(x-
)2+3-
,由题意
=2,∴m=8.
9.
,由题知,
解得
.
10.1;显然函数
的最大值只能在
或
时取到,
若在
时取到,则
,得
或
,
时,
;
,
时,
(舍去);
若在
时取到,则
,得
或
,
时,
;
,
时,
(舍去)
所以
11.
;函数
的图象开口向上,对称轴为
,因
,故
,从而
,又
,所以
的对应点到对称轴的距离大于
的对应点到对称轴的距离,故
12.
;由题知
解得
。
13.
;要
在
上是减函数,则
,要
在
上为减函数,则需
并且
,所以
14.6,
;∵
,
得:
当
当
因此,
在区间
内单调递减,而在
内单调递减,
且
又
,
15.略(动轴定区间问题)
16.
(1)证明:
令a=b=0,则f(0)=f2(0).
又f(0)≠0,∴f(0)=1.
(2)证明:
当x<0时,-x>0,
∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.
∴f(-x)=
>0.又x≥0时f(x)≥1>0,
∴x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)证明:
设x1<x2,则x2-x1>0.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.
(4)解:
由f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).又f(x)是R上的增函数,
∴3x-x2>0.∴0<x<3.
17.
(1)
求导:
当
时,
,
,
在
上递增
当
,
求得两根为
即
在
递增,
递减,
递增
(2)
,且
解得:
18.
(1)当
时,
∵
,
。
在区间
上为增函数。
在区间
上的最小值为
。
(2)∵
在区间
上恒成立;
在区间
上恒成立;
在区间
上恒成立;
∵函数
在区间
上的最小值为3,
即
19.[解析](Ⅰ)因为
是奇函数,所以
,即
又由
知
(Ⅱ)[解法一]由(Ⅰ)知
,易知
在
上
为减函数。
又因
是奇函数,从而不等式:
等价于
,因
为减函数,由上式推得:
.即对一切
有:
,
从而判别式
[解法二]由(Ⅰ)知
.又由题设条件得:
,
即
,
整理得
上式对一切
均成立,从而判别式
20.(Ⅰ)由题意得
·
=
sinA-cosA=1,2sin(A-
)=1,sin(A-
)=
,
由A为锐角得A-
=
,A=
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA=
,所以f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-
)2+
,
因为x∈R,所以sinx∈[-1,1],因此,当sinx=
时,f(x)有最大值
.
当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是[-3,
].
21.(Ⅰ)由
⊥
,得
·
=0,从而(2b-c)cosA-acosC=0,
由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0,
∵A、B∈(0,π),∴sinB≠0,cosA=
,故A=
.
(Ⅱ)y=2sin2B+2sin(2B+
)=(1-cos2B)+sin2Bcos
+cos2Bsin
=1+
sin2B-
cos2B=1+sin(2B-
).
由(Ⅰ)得,0<B<
,-
<2B-
<
,
∴当2B-
=
,即B=
时,y取最大值2.
22.(Ⅰ)假设
∥
,则2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0,
∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,2·
+
sin2x+
=0,
即sin2x+cos2x=-3,
∴
(sin2x+
)=-3,与|
(sin2x+
)|≤
矛盾,
故向量
与向量
不可能平行.
(Ⅱ)∵f(x)=
·
=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x
=
(
cos2x+
sin2x)=
(sin2x+
),
∵-
≤x≤
,∴-
≤2x+
≤
,∴当2x+
=
,即x=
时,f(x)有最大值
;
当2x+
=-
,即x=-
时,f(x)有最小值-1.
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- 函数 调性 习题 问题