高三数学专题08+以几何图形巧妙结合的圆锥曲线为背景的专题训练第02期届高三数学备考十大特色.docx
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高三数学专题08+以几何图形巧妙结合的圆锥曲线为背景的专题训练第02期届高三数学备考十大特色
专题8以几何图形巧妙结合的圆锥曲线为背景的专题训练
题型一椭圆与几何图形相结合
1.【山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试】已知椭圆的左焦点为
,有一小球
从
处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到
时,它所用的最长时间是最短时间的5倍,则椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近,到右顶点的距离最大,所以由题设可得
,即
,应选答案D.
2.【湖南省湘潭市2017第三次高考模拟】如图,
为椭圆
长轴的左、右端点,
为坐标原点,
为椭圆上不同于
的三点,直线
围成一个平行四边形
,则
()
A.14B.12C.9D.7
【答案】A
【解析】设
,
斜率分别为
,则
的斜率为
,且
,所以
,同理
,因此
.故选A.
3.【福建省2017届高三4月单科质量检测数学文】椭圆
的左、右焦点分别为
,上、下顶点分别为
,右顶点为
,直线
与
交于点
.若
,则
的离心率等于__________.
【答案】
4.【江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2017届高三4月联考】如图所示,在
中,
的中点为
且
,点
在
的延长线上,且
.固定边
,在平面内移动顶点
,使得圆
与边
,边
的延长线相切,并始终与
的延长线相切于点
,记顶点
的轨迹为曲线
.以
所在直线为轴,
为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线
的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线
于
两点,且以
为直径的圆经过点
,求
面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
【解析】【试题分析】
(1)依据题设条件运用椭圆的定义进行分析探求;
(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析求解:
(Ⅰ)依题意得
,设动圆
与边
的延长线相切于
,与边
相切于
,则
所以
所以点
轨迹
是以
为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线
的方程为
.
由于曲线
要挖去长轴两个顶点,所以直线
斜率存在且不为,所以可设直线
由
得
,同理可得:
;
所以
,
又
,所以
令
,
则
且
,所以
又
,所以
,
所以
,
所以
,所以
,
所以
面积的取值范围为
.
【法二】
依题意得直线斜率不为0,且直线
不过椭圆的顶点,则可设直线:
,且
.
设
,又以
为直径的圆经过点
,则
,所以
由
得
,则
且
,所以
又
代入①得:
,所以
,
代入②得:
恒成立所以
且
.
又
;
点
到直线的距离为
,
所以
5.【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考】已知椭圆
的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知
、
是椭圆上的两点,
,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.①若直线
的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
②当
,
运动时,满足
试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由
【答案】
(1)
(2)
试题解析:
(1)
∴
∴
又
∴
∴椭圆方程为
(2)①设
,
设
方程
代入化简
,
又
、
当
时,
最大为
②当
时,
、
斜率之和为.
设
斜率为,则
斜率为
设
方程
代入化简
同理
,
∴
直线
的斜率为定值
6.【三湘名校教育联盟.2017届高三第三次大联考】一张半径为4的圆形纸片的圆心为
,
是圆内一个定点,且
,
是圆上一个动点,把纸片折叠使得
与
重合,然后抹平纸片,折痕为
,设
与半径
的交点为
,当
在圆上运动时,则
点的轨迹为曲线
,以
所在直线为轴,
的中垂线为
轴建立平面直角坐标系,如图.
(1)求曲线
的方程;
(2)曲线
与轴的交点为
,
(
在
左侧),与轴不重合的动直线过点
且与
交于
、
两点(其中
在轴上方),设直线
、
交于点
,求证:
动点
恒在定直线
上,并求
的方程.
【答案】
(1)
;
(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意
垂直平分
,所以
,结合椭圆的定义可写方程.
试题解析:
(1)由题意
垂直平分
,所以
所以
的轨迹为以
,
为焦点、长轴长为
的椭圆,焦距
,所以
,所以动点
的轨迹为曲线
的方程是:
.
(2)
,
,设的方程是
,设
,
,
,
由
得
,
所以,
,
.
因为
在轴上方,∴
,
.
直线
、
的方程分别是:
,
,
联立得:
.
∴动点
恒在定直线
:
上.
题型二双曲线与几何图形相结合
7.【河南省豫南九校(中原名校)2017届高三下学期质量考评八】过双曲线
的左焦点
作圆
的切线,切点为
延长
交双曲线右支于点
,若
则双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设右焦点为
,
,知
为
中点,又
为
中点,所以
由双曲线定义:
,得
又
,由勾股定理:
解得
,故选B.
8.【甘肃省兰州市2017年高考实战模拟考试】已知
为双曲线
的左、右焦点,以
为直径的圆与双曲线右支的一个交点为
,
与双曲线相交于点
,且
,则该双曲线的离心率为()
A.
B.2C.
D.
【答案】A
9.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模考试】已知双曲线
的左、右焦点分别为
,焦距为
,抛物线
的准线交双曲线左支于
两点,且
,其中
为原点,则双曲线的离心率为()
A.2B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如下图:
,
代入双曲线方程,可得
,解得
,选C.
10.【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】已知
为直角坐标系的坐标原点,双曲线
上有一点
(
),点
在轴上的射影恰好是双曲线
的右焦点,过点
作双曲线
两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为
,
,若平行四边形
的面积为1,则双曲线的标准方程是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
11.【四川省宜宾市2017届高三第二次诊断检测数学】已知点
分别是双曲线
的左右两焦点,过点
的直线与双曲线的左右两支分别交于
两点,若
是以
为顶角的等腰三角形,其中
,则双曲线离心率的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
因为
为等腰三角形,设
,
由
为双曲线上一点,
,
由
为双曲线上一点,
,
再
中,由余弦定理得
所以
,所以
又因为
,所以
,所以
,故选A.
12.【辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测数学】过双曲线
(
,
)的右焦点
作圆
的切线,切点为
.直线
交抛物线
于点
,若
(
为坐标原点),则双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
如图,由
得
是
的中点,设抛物线的焦点为
,则
为
,也是双曲线的焦点,连接
分别是
和
的中点,
为
的中位线,
于是可得
,设
,则由抛物线定义得
,于是有
代入抛物线方程
,过点
作轴的垂线,由抛物线定义知点
到该垂线的距离为
,由勾股定理得
,即
,变形可得
,两边同除以
,有
,所以
(负值已经舍去),故选B.
13.【广西陆川县中学2017届高三下学期模考】已知
、
分别为双曲线
(
,
)的左、右焦点,圆
与该双曲线相交于点
,若
,则该双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由
,得
,即以
为直径的圆,于是
,如图,
,则
,于是|
,|
,由|
,得
,所以
故选D.
14.【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考数学(文)】已知
是双曲线
的左焦点,定点
,
是双曲线右支上的动点,则
的最小值是_____________;
【答案】
题型三抛物线与几何图形相结合
15.【河南省郑州一中2016-2017学年下期17届高三百校联盟】已知点
,
关于原点对称,
恰为抛物线
:
的焦点,点
在抛物线
上,且线段
的中点恰在
轴上,
的面积为8.若抛物线
上存在点
使得
,则实数
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),则
由OA=OB得:
,
∴(x1−x2)(x1+x2+2p)=0,
∵x1>0,x2>0,2p>0,
∴x1=x2,即A,B关于x轴对称.
∴直线OA的方程为:
y=xtan45=x,
与抛物线联立
故AB=4p,
∴S△OAB=
×2p×4p=4p2.
∵△AOB的面积为16,∴p=2;
焦点F(
0),设P(m,n),则n2=2m,m>0,设P 到准线x=−
的距离等于d,
则m的最大值为
故选C.
16.【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟(二模)数学(文)】已知点
是抛物线
上的一个动点,
是圆
:
上的一个动点,则
的最小值为()
A.
B.
C.3D.4
【答案】C
【解析】
由题意可知圆
的圆心坐标
,半径为1;抛物线的焦点
,虚线为抛物线的准线;
为点到虚线的距离且
,由抛物线的性质可知,
.故可知
.
故本题正确答案为C.
17.【安徽省淮北市第一中学2017届高三下学期第二次周考】
是抛物线
上不同三点,其中
是坐标原点,
,直线
交轴于
点,
是线段
的中点,以抛物线
上一点
为圆心、以
为半径的圆被
轴截得的弦长为
,下列结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设直线
的方程为
,则直线
的方程为
,联立
,
解得
,同理可得
,
∴直线
的方程为
,
化为
,令
,解得
,∴
.
设
,则
,
综上可得
.故选C.
18.【天津市十二重点中学2017届高三毕业班联考
(一)】设抛物线
(
)的焦点为
,准线为.过焦点的直线分别交抛物线于
两点,分别过
作的垂线,垂足
.若
,且三角形
的面积为
,则
的值为___________.
【答案】
19.【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学(文)】已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点,点
为抛物线的焦点,
在抛物线上且满足
,当
取最大值时,点
恰好在以
为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为__________.
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