第八章87.docx
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第八章87
§8.7 立体几何中的向量方法
(二)——求空间角和距离
最新考纲
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
[0,π]
求法
cosθ=
cosβ=
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ=|cosβ|=
.
3.求二面角的大小
(1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈
,
〉.
(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
概念方法微思考
1.利用空间向量如何求线段长度?
提示 利用|
|2=
·
可以求空间中有向线段的长度.
2.如何求空间点面之间的距离?
提示 点面距离的求法:
已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离为
|
|=|
||cos〈
,n〉|.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )
(4)两异面直线夹角的范围是
,直线与平面所成角的范围是
,二面角的范围是[0,π].
( √ )
(5)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是π-θ.( × )
题组二 教材改编
2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
A.45°B.135°
C.45°或135°D.90°
答案 C
解析 cos〈m,n〉=
=
=
,即〈m,n〉=45°.
∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.
3.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2
,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______.
答案
解析 如图,以A为原点,以
,
(AE⊥AB),
所在直线分别为x轴、y轴、z轴(如图)建立空间直角坐标系,设D为A1B1的中点,
则A(0,0,0),C1(1,
,2
),D(1,0,2
),∴
=(1,
,2
),
=(1,0,2
).
∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角,
cos∠C1AD=
=
=
,
又∵∠C1AD∈
,∴∠C1AD=
.
题组三 易错自纠
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),∴
=(1,-1,2),
=(-1,0,2).
∴cos〈
,
〉=
=
=
=
.
5.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-
,则l与α所成的角为________.
答案 30°
解析 设l与α所成角为θ,∵cos〈m,n〉=-
,
∴sinθ=|cos〈m,n〉|=
,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.
题型一 求异面直线所成的角
例1如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:
平面AEC⊥平面AFC;
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
(1)证明 如图所示,连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.
在菱形ABCD中,不妨设GB=1.
由∠ABC=120°,
可得AG=GC=
.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,可知AE=EC.
又AE⊥EC,所以EG=
,且EG⊥AC.
在Rt△EBG中,可得BE=
,故DF=
.
在Rt△FDG中,可得FG=
.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=
,DF=
,可得EF=
,从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,AC,FG⊂平面AFC,
所以EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)解 如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC所在直线为x轴、y轴,|
|为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz,
由
(1)可得A(0,-
,0),E(1,0,
),F
,
C(0,
,0),
所以
=(1,
,
),
=
.
故cos〈
,
〉=
=-
.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为
.
思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
跟踪训练1三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,N,M分别是A1B1,A1C1的中点,则AM与BN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图所示,取AC的中点D,以D为原点,BD,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设AC=2,则A(0,-1,0),M(0,0,2),
B(-
,0,0),N
,
所以
=(0,1,2),
=
,
所以cos〈
,
〉=
=
=
,故选C.
题型二 求直线与平面所成的角
例2(2018·全国Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:
平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
(1)证明 由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF,
PF∩EF=F,PF,EF⊂平面PEF,
所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解 如图,作PH⊥EF,垂足为H.
由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,
的方向为y轴正方向,|
|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.
又DP=2,DE=1,
所以PE=
.
又PF=1,EF=2,所以PE⊥PF.
所以PH=
,EH=
.
则H(0,0,0),P
,D
,
=
,
=
.
又
为平面ABFD的法向量,
设DP与平面ABFD所成的角为θ,
则sinθ=|cos〈
,
〉|=
=
=
.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
.
思维升华若直线l与平面α的夹角为θ,直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β,则θ=
-β或θ=β-
,故有sinθ=|cosβ|=
.
跟踪训练2(2018·全国Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明 因为PA=PC=AC=4,
O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=2
.
如图,连接OB.
因为AB=BC=
AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,
所以OB⊥AC,OB=
AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
因为OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,OB,AC⊂平面ABC,
所以PO⊥平面ABC.
(2)解 由
(1)知OP,OB,OC两两垂直,则以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),
A(0,-2,0),C(0,2,0),
P(0,0,2
),
=(0,2,2
).
由
(1)知平面PAC的一个法向量为
=(2,0,0).
设M(a,2-a,0)(0≤a≤2),则
=(a,4-a,0).
设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).
由
·n=0,
·n=0,得
可取y=
a,得平面PAM的一个法向量为n=(
(a-4),
a,-a),
所以cos〈
,n〉=
=
.
由已知可得|cos〈
,n〉|=cos30°=
,
所以
=
,
解得a=-4(舍去)或a=
.
所以n=
.
又
=(0,2,-2
),所以cos〈
,n〉=
.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
.
题型三 求二面角
例3(2018·济南模拟)如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQ∥OB.
(1)证明:
OD⊥平面PAQ;
(2)若BE=2AE,求二面角C—BQ—A的余弦值.
(1)证明 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m,
则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).
∵点P为BC中点,∴P
,
∴
=(3,0,6),
=(0,m,0),
=
,
∵
·
=0,
·
=0,
∴
⊥
,
⊥
,且
与
不共线,
∴OD⊥平面PAQ.
(2)解 ∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=
OB=3,
则Q(6,3,0),∴
=(-6,3,0),
=(0,-3,6).
设平面CBQ的法向量为n1=(x,y,z),
∵
∴
令z=1,则y=2,x=1,则n1=(1,2,1),
易知平面ABQ的一个法向量为n2=(0,0,1),
设二面角C—BQ—A的平面角为θ,由图可知,θ为锐角,则cosθ=
=
.
思维升华利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量,求法向量的方法主要有两种:
①求平面的垂线的方向向量;②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零,列方程组求解.
跟踪训练3(2018·全国Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
所在平面垂直,M是
上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时
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