三角函数倍角公式.docx
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三角函数倍角公式
三角函数倍角公式
复习重点:
二倍角公式
二倍角的正弦公式:
sin2A=2sinAcosA
二倍角的余弦公式:
cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A
二倍角的正切公式:
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
对公式的再认识:
(1)适用范围:
二倍角的正切公式有限制条件:
A≠kπ+
且A≠
+
(k∈Z);
(2)公式特征:
二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例;二倍角关系是相对的。
(3)公式的灵活运用:
正用、逆用、变形用。
复习难点:
倍角公式的应用
复习内容:
小结:
倍角公式:
sin2A=2sinAcosA
cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A
tan2A=
化“1”公式(升幂公式)
1+sin2A=(sinA+cosA)2,
1-sin2A=(sinA-cosA)2
1+cos2A=2cos2A
1-cos2A=2sin2A
降幂公式
cos2A=
sin2A=
二倍角公式是两角和公式的特殊情况,即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式,采用哪种形式应根据题目具体而定.
倍角和半角相对而言,两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式,即
,
进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛,“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取,而是正是负取决于
所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示,即:
.这个公式可由二倍角公式得出,这个公式不存在符号问题,因此经常采用.反之用tan
也可表示sinα,cosα,tanα,即:
,
,
这组公式叫做“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式,其它公式并没有给出,需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例1.推导三倍角的正弦、余弦公式
解:
sin3α=sin(2α+α)
cos3α=cos(2α+α)
例2.利用三倍角公式推导sin18°的值.
解:
∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
∵cos18°≠0 ∴2sin18°=4cos218°-3 ∴2sin18°=4-4sin218°-3
∴4sin218°+2sin18°-1=0
∴
.本题还可根据二倍角公式推出cos36°.
即
.
例3.化简求值:
(1)csc10°-
sec10°
(2)tan20°+cot20°-2sec50°
解:
(1)csc10°-
sec10°
(2)tan20°+cot20°-2sec50°
例4.求:
sin220°+cos250°+sin30°sin70°
解:
sin220°+cos250°+sin30°sin70°
例5.已知:
.求:
cos4θ+sin4θ的值.
解:
∵
∴
即
,
即
,∴cos4θ+sin4θ
例6.求cos36°·cos72°的值.
解:
cos36°·cos72°
例7.求:
的值.
解:
上述两题求解方法一致,都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的,要满足
(1)余弦相乘,
(2)后一个角是前一个角的两倍,(3)最大角的两倍与最小值的和(或差)是π.满足这三个条件即可采用这种方法.
例8.已知:
2cosθ=1+sinθ,求
.
方法一:
∵2cosθ=1+sinθ,∴
∴
或
,∴
∴
∴
或
=2.
方法二:
∵2cosθ=1+sinθ,∴
∴
∴
或
∴
或
=2.
例9.已知:
,求:
tanα的值.
解:
∵
,∴
,
∵0≤α≤π, ∴
∴
(1)当
时,
,
则有
∴
,∴
,∴
,
∴
.
(2)当
,则有
,
∴
, ∴
,∴
.
注意:
1与sinα在一起时,1往往被看作
,而1与cosα在一起时,往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
例10.已知:
sinθ,sinα,cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,cosθ为等比数列.求证:
2cos2α=cos2β.
证明:
∵
,∴
∴4sin2α=1+2sin2β ∴2-4sin2α=2-1-2sin2β ∴2cos2α=cos2β.
课后练习:
1.若
,则().
A、P
Q B、P
Q C、P=Q D、P∩Q=
2.若A为ΔABC的内角,
,则cos2A=().
A、
B、
C、
D、
3.若
,则sin2θ=().
A、
B、
C、
D、
4.若
,则sinθ=().
A、
B、
C、
D、-
5.若
,则
=().
A、
B、
C、1 D、-1
6.若
,则cosα=________.
7.若θ为第二象限角,且
,则
=_____.8.已知sinA+cosA=2sinB.求证:
cos2B=cos2
.
参考答案
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.
7.6
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