安徽省皖南八校届高三第一次联考数学文试题Word版含答案.docx
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安徽省皖南八校届高三第一次联考数学文试题Word版含答案
A.
B.
C.
D.
7.将函数
的图象向左平移
个单位(
),
是所得函数的图象的一个对称中心,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
8.设P为曲线
上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为
,则点P的横坐标的取值范围为
A.
B.
C.
D.
9.在
中,
是
边的中点,角
的对边分别是
,若
,则
的形状为
A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形
10.动点
在圆
上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间
时,点
的坐标是
则当
时,动点
的纵坐标
关于
(单位:
秒)的函数的单调递增区间是
A、
B、
C、
D、
和
二、填空题
11.
。
12.已知矩形
的边长为2,
,点P在线段BD上运动,则
。
13.已知函数
,设
,若
,则
的取值范围是。
14.在
中,
分别是
的对边,若
,则
的大小为。
15.在整数集
中,被5除所得余数为
的所有整数组成一个“类”,记为
,即
,则下列结论正确的为(写出所有正确的编号)
①
;②
;③
;④“整数
属于同一类”的充要条件是“
”;⑤命题“整数
满足
,则
”的原命题与逆命题都为真命题。
三、解答题
16.设
。
(1)记
,若
,求集合A;
(2)若
是
的必要不充分条件,求
的取值范围。
17.已知函数
,若
且对任意实数
均有
成立
(1)求
表达式;
(2)当
是单调函数,求实数
的取值范围;
18.已知函数
。
(1)若
,求
的值;
(2)求函数
的单调递增区间。
19.某高速公路旁边B处有一栋楼房,某人在距地面100米的32楼阳台A处,用望远镜路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东
方向上,且俯角为
的C处,10秒后测得该客车位于楼房北偏西
方向上,且俯角为
的D处。
(假设客车匀速行驶)
(1)如果此高速路段限速80公里/小时,试问该客车是否超速;
(2)又经过一段时间后,客车到达楼房B的正西方向E处,问此时客车距离楼房B多远。
20.已知
,其中
,若函数
,且函数
的图象与直线
相邻两公共点间的距离为
(1)求
的值;
(2)在
中.
分别是
的对边,且
,求
的面积。
21.设函数
。
(1)若
时,求
处的切线方程;
(2)当
时,
,求
的取值范围。
皖南八校2014届高三第一次联考
数学文试卷参考答案
1.B (1+i)2=2i虚部为2.
2.D A={x|y=log2(x2-1)}={x|x2-1>0}={x|x>1或x<-1},B={y|y=(
)x-1}={y|y>0},A∩B={x|x>1}.
3.A ∵当函数f(x)=x2-2ax+2在区间[3,+∞)内单调递增时,对称轴x=a≤3,∴“a=3”是“函数f(x)=x2-2ax+2在区间[3,+∞)内单调递增”的充分不必要条件.
4.C f(x)=
在定义域上是奇函数,但不单调;f(x)=
为非奇非偶函数;f(x)=-tanx在定义域上是奇函数,但不单调.所以选C.
5.D ∵点(2,e2)在曲线上,∴切线的斜率k=y′|x=2=ex|x=2=e2,∴切线的方程为y-e2=e2(x-2),即e2x-y-e2=0,与两坐标轴的交点坐标为(0,-e2),(1,0),∴S=
×1×e2=
.
6.A 因为|a-b|=
=
=
,
所以cos〈a,a-b〉=
=
=
=
,
所以向量a与a-b的夹角为
.
7.B f(x)=sin2x-
cos2x=2sin(2x-
),向左平移m个单位得到g(x)=2sin[2(x+m)-
]=2sin(2x+2m-
),所以g(
)=2sin(2×
+2m-
)=2sin(2m+
)=0,∴2m+
=kπ,k∈Z,∵m>0,∴m的最小值为
,故选B.
8.D 设点P的横坐标为x0(x0>0),∵y′=
-
x,∴点P处的切线斜率为k=
-
x0∈[0,1],即0≤
-
x0≤1,得2≤x0≤2
.
9.C 由题意知c
-
a(
+
)+
b(
-
)=0,
∴(c-
)
-
=0,∴(c-
)
=
,
又
、
不共线,∴
∴a=b=c.
10.B 依题意可设y关于t(单位:
秒)的函数为y=-sin(ωt+φ)(ω>0,-π<φ<π),周期为12,
=12,∴ω=
,∴y=-sin(
t+φ),当t=0时,y=
,sinφ=-
,
又-π<φ<π,∴φ=-
或-
,又当φ=-
时,A点坐标为(-
,
),不合题意.
∴y=-sin(
t-
)求函数的单调增区间,只需求y=sin(
t-
)的减区间,2kπ+
≤
t-
≤2kπ+
,∴12k+5≤t≤12k+11,k=0时,5≤t≤11.
11.
sin
=sin(2π+
)=sin
=
.
12.2 设AC∩BD=O,由题可知|
|=
|
|=1,则
·
=|
||
|cos∠PAO=|
|(2|
|)cos∠PAO=2|
|2=2.
13.[
,2) 画出函数图象如图所示,由图象可知要使a>b≥0,f(a)=f(b)同时成立,
≤b<1,bf(a)=b·f(b)=b(b+1)=b2+b=(b+
)2-
∴
≤b·f(a)<2.
14.
+1 由sinB+cosB=
,得1+2sinBcosB=2,即sin2B=1,∵0
,
又∵a=
,b=2,∴在△ABC中,由余弦定理得4=2+c2-2
ccos
=2+c2-2c,解得c=
+1.
15.①③④ 依题意2013被5除的余数为3,则①正确;-1=5×(-1)+4,则②错误;
整数集就是由被5除所得余数为0,1,2,3,4的整数构成,③正确;假设④中a=4n1+m1,b=4n2+m2,a-b=4(n1-n2)+m1-m2,a,b要是同类,则m1-m2=0,所以a-b∈[0],反之也成立;因为a∈[1],b∈[3],所以可设a=5n1+1,b=5n2+3,∴a+b=5(n1+n2)+4∈[4],原命题成立,逆命题不成立,如a=5,b=9满足a+b∈[4],但是a∈[0],b∈[4],⑤错误.
16.解:
(1)∵a=1,∴A={x|(x-1)(x-2)≤0}={x|1≤x≤2}.(5分)
(2)依题意易得p:
1≤x≤2,q:
a≤x≤a2+1.(7分)
∵q是p的必要不充分条件,∴
∴a≤-1.(12分)
17.解:
(1)∵F′(x)=ax2+bx+1,
∴f(x)=ax2+bx+1.
∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1,
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.∵f(x)≥0恒成立,
∴
∴
∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1.(6分)
(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,
∴
≤-2或
≥2,解得k≤-2,或k≥6.
∴k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).(12分)
18.解:
(1)由题设知f(x)=
[1+cos(2x+
)].
因为f()=0,所以1+cos(2x0+
)=0,
cos(2x0+
)=-1,即x0=kπ+
π(k∈Z).
所以g(x0)=1+
sin2x0=1+
sin(2kπ+
)=
.(6分)
(2)h(x)=f(x)+g(x)=
[1+cos(2x+
)]+1+
sin2x
=
[cos(2x+
)+sin2x]+
=
(
cos2x+
sin2x)+
=
sin(2x+
)+
.
当2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
,即kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z)时,
函数h(x)=
sin(2x+
)+
是增函数,
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ-
,kπ+
](k∈Z).(12分)
19.解:
(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100米,则BC=100
米,
在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=100米,则BD=100米,
在Rt△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,
则DC=
=200米,所以客车速度v=
=1200米/分钟=72公里/小时,所以此客车没有超速.(6分)
(2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,
又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,
所以∠CEB=45°,
在△BCE中,由正弦定理可知
=
,
所以EB=
=50
米.客车距楼房B50
米.(13分)
20.解:
(1)f(x)=m·n=(sinωx+cosωx,
cosωx)·(cosωx-sinωx,2sinωx)=cos2ωx-sin2ωx+2
sinωxcosωx=cos2ωx+
sin2ωx=2sin(2ωx+
).(3分)
∵ω>0,∴函数f(x)的周期T=
=
,
∵函数f(x)的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π.
∴
=π,∴ω=1.(6分)
(2)由
(1)可知ω=1,f(x)=2sin(2x+
).
∵f(A)=1,∴2sin(2A+
)=1.
∴sin(2A+
)=
,
∵0<A<π,∴
<2A+
<
,
∴2A+
=
⇒A=
.(10分)
由余弦定理知cosA=
,
∴b2+c2-bc=3,又b+c=3,
联立解得
或
∴S△ABC=
bcsinA=
.(13分)
(或用配方法:
∵b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=3,b+c=3,∴bc=2,∴S△ABC=
bcsinA=
)
21.解:
(1)当a=1,f(x)=xex-x2
f′(x)=(x+1)ex-2x,f′
(1)=2e-2,f
(1)=e-1,
故所求切线方程为:
y-(e-1)=2(e-1)(x-1),
化简得:
2(e-1)x-y-e+1=0.(5分)
(2)x>0,f(x)=xex-ax2>0,
化简得:
a<
,
设g(x)=
,
求导得:
g′(x)=
.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(0,1)单调减少,在(1,+∞)单调增加.
故y=g(x)在x=1时取极小值.
则y=g(x)在(0,+∞)时,gmin=g
(1)=e.
综上所述:
a
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