课例数轴.docx
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课例数轴.docx
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课例数轴
课例:
数轴
第一步出示课例
教师:
前面我们通过温度计、海平面等(屏幕显示温度计,见图2-7)引进了负数的概念,从而将小学学过的数扩充到有理数,请问,什么叫做有理数?
图2-7
学生1:
整数和分数统称有理数.
教师:
整数和分数统称有理数.由于整数有正整数、0、负整数,分数也有正分数、负分数,因而有理数又可以根据符号分成三类:
正有理数、0、负有理数.现在问,温度计显示零上20℃、零下5℃时,你如何用有理数来表示?
学生1:
零度以上我用正数表示,记为+20℃;零度以下我用负数表示,记为-5℃.
教师:
很好,零上20℃我们用正整数来表示,“+”号可以省略,零下5℃我们用负整数来表示.下面,我们来看一道应用题.(屏幕显示题目)
例1王明同学的家向东走40米是学校,向西走60米是书店.现在规定,王明向东走为正,向西走为负,那么,王明同学从家出发,走到学校应记作什么?
走到书店应记作什么?
学生2:
走到学校记作+40米,走到书店记作-60米.(屏幕显示行程路线图2-8)
图2-8
教师:
(对照着图线)对,从家向东走到学校记作40米,从家向西走到书店记作-60米.我这里增加了“从家向东”、“从家向西”是想作两点强调,第一是强调计算的起点;第二是强调相反意义的量.从而使意思表达更为规范.(稍事停顿)
不知大家注意到没有,在我们的大屏幕上出现过2个图形(大屏幕左边显示出图2-7,右边显示出图2-8),它们虽然形状、位置、物质的构成等都很不相同,但却有共同的性质,就是通过图线从数量上表示事物,如表示温度、路程等.(屏幕同时显示:
)
·用图线表示事物的数量特征.①
为了表示事物的数量特征,这些图线应该有便于表示数量的构造,大家仔细观察一下温度计,其刻度线在结构上都有些什么特点?
(屏幕回到图2-7,图2-8)
学生3:
为了计算,它们都有一个起点,温度计的计算起点在0℃的地方;王明走路的计算起点在出发的地方.
学生4:
为了表示相反意义的量,它们都有方向,温度计是上正下负,有上下方向;王明走路是东正西负,有东西方向.
(讨论稍事停顿,教师及时出来调控)
教师:
通过观察,总结出来的两个结构特征非常好.(屏幕显示,在①下继续出现②、③)
·有计算的起点.(0℃;家)②
·有表示相反意义的方向.(上、下;东、西)③
有了这两条“表示事物的数量特征”是不是就够了呢?
换句话来说,还能不能继续找出更多的特点来.
学生5:
都标有数字.
学生6:
温度计上有刻度.
学生7:
刻度线是等距离分布的.
教师:
怎样才能把这些刻度的位置确定下来呢?
学生8:
确定好一格的位置就行了,余下的位置只须截取.
教师:
对,一格就是一个测量温度的单位,叫做度,有了起点,有了单位,就可以去测量了,用测量出来的数值就可以表示温度了.所以,用图线表示事物的数量特征还要有一个单位长度.(屏幕在①、②、③下方加上④)
·有计算的单位.(度;米)④
同学们,屏幕上显示的这4条性质,与温度计是否用玻璃做成无关,也与温度计竖放、平放等具体位置无关,抓住这些特点,我们可以在一条直线上画出刻度,标上读数,来表示有理数.(屏幕显示:
温度计越变越窄,成为一条有刻度的线段,旋转为水平位置,然后加以伸长,标上刻度0,1,2,3,4,5及一1,-2,-3,-4,-5,再删除其余部分,画个箭头,如图2-9)
图2-9
教师:
这是一条水平放置的特殊直线,可以用来表示数,其上有温度计或行程路线图的那3个特征:
(1)确定了原点.有相当于0℃或出发点的点,即图2-9中的0点,叫做原点.
(2)规定了方向.图2-9中从原点向右为正方向,向左为负方向,相当于温度计中0℃以上为正,0℃以下为负.
(3)选取了适当长度作为单位长度.相当于温度计上每1℃占1小格的长度.
这样的直线比原先多了原点、正方向、单位长度,我们给它起个新名字,叫做数轴.(屏幕显示数轴的定义)
·规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
教师:
这就是我们今天要进行的新课:
数轴.事实上,我们已经研究了这个课题的两个向题.(教师在黑板上板书:
2.2数轴
1.数轴的体验与提炼
2.数轴的定义)
有了数轴的名称和定义之后,我们来介绍数轴怎么画,然后说数轴有什么用.(教师板书:
3.数轴的画法)
在数轴的定义中出现了4个词:
原点、正方向、单位长度、直线,画数轴主要就是落实这4个词,大家先对照图2-9画一条数轴,然后总结步骤.
(教师巡视,学生画完数轴)
教师:
第1步先画什么好呢?
学生(众):
直线.
教师:
因为我们是在直线上添原点、方向和单位的,所以先画直线顺理成章.
学生9:
老师,画直线不也得从点开始吧?
我看先取原点,然后过原点画一条直线也可以.
教师:
大胆的发言很有道理,我们就把“画直线、定原点,”作为画数轴的第1步好了.
第1步,画直线,定原点.直线通常画在水平位置;原点可以任取,通常居中画一竖短线,并在该位置的下方记上数字0(如图2-10).
图2-10
教师:
第2步该画什么呢?
学生10:
选方向,有了方向就可以确定是在原点右方或左方取单位长度了.
学生11:
我认为先取单位长度并无不可.画完原点之后,跟着画单位并等距截取,可能还更顺手一些.
教师:
取多长一段线为单位长度确实与方向无关,但给单位长度的线段端点标上数字时,就与方向有关了.按照习惯,我们先选方向.
第2步,选方向.通常取原点向左的方向为正方向,画一个小箭头(如图2-11).
图2-11
第3步,取单位.选取适当的长度为单位长度,置于原点的右方,记为1.通常要考虑到所表示数的大小或范围,当数字较大时,单位长度就短一些(如图2-12).
图2-12
第4步,完成数轴,在原点右方(正方向)用单位长度等距离截取若干点,记为2,3,…;在原点左方(负方向)用单位长度等距离截取若干点,记为一1,-2,-3,…(这些数字通常写在数轴的下方),得到图2-9,这就是一条数轴.
教师:
大家总结得不错,下面做一个练习,判别所画的各图,哪个是数轴?
哪个不是数轴?
(屏幕显示题目)
例2判断下列各图,哪个是数轴,哪个不是数轴.
图2-13
学生12:
第
(1)个图不是数轴,因为还缺少方向.
学生13:
第
(2)个图不是数轴,因为原点两边的单位不一致.
学生14:
第(3)个图不是数轴,因为刻度下方没有标数字;
学生15:
第(4)个图不是数轴,因为数字不是从左到右递增排列,-1与-3交换位置就成为数轴了.
学生16:
第(5)个图不是数轴,因为还缺少原点.
教师:
掌握了数轴之后,我们用数轴来表示数.分两步进行:
(板书:
4.用数轴表示数)
第1步,表示整数.如图2-9,将整数放在数轴的刻度点上,0与原点对应,正整数与原点右方的刻度点对应,负整数与原点左方的刻度点对应(即将整数分为主类放到数轴上).于是,每一个整数都可以在数轴上找到一个刻度点;反之,每一个刻度点都可以找到一个整数,不同的整数对应不同的刻度点,不同的刻度点对应不同的整数.
第2步,表示分数.由午每一个分数都一定在某两个相邻的整数之间,于是,我们就在这两个相邻的整数所对应的相邻刻度点之间表示分数.这样,所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.数与点的互相转换,使得我们能够把数的特性显示在数轴上,反过来又可以在数轴上研究数的性质.
比如,在数轴上看负数就非常直观、非常具体、非常实在了.数轴上,不仅原点的右边有点,左边也有点,左边的点也(对应负数)是具体的、实在的.从下一节课开始,我们将借助于数轴来比较有理数的大小,并进行有理数的运算.现在,我们先来巩固一下,如何使用数轴把数表示为点,又如何把点表示为数.(屏幕显示题目)(板书:
5练习)
例3在所给数轴上画出表示下列各数的点:
解数1在原点右方第1个刻度处,我们在该刻度上画一实心黑点,并在黑点的上方记上1.
数-5在原点左方第5个刻度处,我们在该刻度上画一实心黑点,并在黑点上方记上-5.
数-2.5在原点左方第2与第3个刻度之间,我们取-3与-2的中点画一实心黑点,并在黑点上方记上-2.5.
下面请个同学来完成后面两个数.
学生17:
数
在原点右边第4格与第5格之间,取4与5的中点画一实心黑点,并在黑点上方记上
.数在原点处,将原点画成实心黑点,并在黑点上方记上0(图2-15).
图2-15
教师:
说得很规范,操作得也很准确,这里再对规范性作4点强调:
刻度线画在直线上方,刻度点的编号写在直线下方,表示数时用实心黑点,该数字写在黑点的上方.
现在我们回到例1,建立数轴,以王明家为原点,由西向东为正方向,单位长度为10米,则学校的位置用什么数来表示?
学生(众):
4.
教师:
请把4画在数轴上.(停顿)再回答书店的位置用什么数表示?
学生(众):
-6.
教师:
请把-6画在同一数轴上.下面,我们来做一个游戏,请第3排同学站起来(有8个学生站起来,教师给他们一条细绳子、拉直),把你们的位置调整为等距离,规定第4个同学为原点,由西向东为正方向,每个同学都有一个整数编号,请大家记住.现在请第一排的同学依次发出口令,口令为数字时,该同学要回答“到”;口令为该同学的名字时,该同学要报出他所在的“数字”.(游戏在兴趣盎然的气氛中进行,下课前2分钟,教师做总结、布置作业)
教师:
今天学习的内容可以概括为两句话:
(1)一个概念三个要素;
(2)三个操作一个思想.
这一个概念是:
数轴.构成数轴有三个要素,即原点、正方向、单位长度.
这三个操作是:
怎样画数轴,怎样把数画在数轴上,怎样把数轴上的点用数表示出来.这三者的共同思想是构成数与点的对应,也叫数形结合.
其中,掌握概念、学会操作是重点,理解思想是难点,所有这些都还要通过后续内容来巩固.
翻开第56页,习题2.2第1题做在书上,第2、3题写在作业本上.
重点思考题
(1)这节课的主要内容是什么(包括对重点、难点的认识)?
对于接受这节课而言,学生原有哪些知识?
教师怎样根据学生的认识规律来组织学习?
(2)分析这堂课的教学性质,分析这堂课的教学过程如何体现教学性质?
(3)从常规教学的角度分析这堂课的优点、缺点.
附:
课本原文
2.2数轴
1.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数.
2.知道数轴有原点、正方向和单位长度,能画出数轴.
3.会比较数轴上的数的大小.
利用温度计可以测量温度,在温度计上有刻度(图2-5),刻度上标有读数,根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数,从而得到所测的温度.在0上20个刻度,表示20℃;在0下5个刻度,表示-5℃;等等
图2-5
与温度计类似,可以在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和0,具体方法如下.
画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点(图2-6),用这点表示0(相当于温度计上的0℃).
规定直线上从原点向右为正方向(图2-7中箭头所指的方向),那么相反的方向,即从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正,0℃以下为负).
图2-6
图2-7
选取适当的长度作为单位长度(相当于温度计上每1℃占一小格的长度),在直线上,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示-1,-2,-3,…(图2-8)
图2-8
我们也可以在直线上找出表示分数或小数的点.如图2-9,从原点向右1.4个单位长度的A点表示1.4,从原点向左
个单位长度的B点表示
,等等.
图2-9
像上面这样规定了原点·正方向和单位长度的直线叫做数轴.所有的有理数都可以用数轴上的.点表示.
例1在所给数轴上画出表示下列各数的点:
解:
练习
1.在所给数轴上画出表示下列各数的.点:
2.指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数.
3.先阅读课文,然后依照下列步骤画数轴:
第一,画直线,定原点.第二,取原点向右的方向为正方向.第三,选取适当长度(例知lcm)为单位长度.第四,在数轴上标出1,2,3,-1,-2,-3各点.
(参见:
中学数学教学参考,2001年第1-2期).
第二步学员讨论
学员1:
我从三个方面来发言.
(一)教学内容上的分析
1.本节课的内容主要有:
(1)数轴的概念—概念;
(2)数轴的画法—技能;
(3)数轴上点与数的对应—数形结合的思想.这种思想第一次进人学生的头脑,应该说这是数学思想方法上的一次飞跃、一次革命.所以本节课非常重要,今后的很多知识都将建立在数轴上.
2.本节课融概念、技能、思想方法的教学于一体,我认为其教学组织是:
概念的体验—概念的提炼—概念的形成—概念的巩固—概念的应用.
3.本节课的认知基础有:
(1)有理数的概念;
(2)用有理数表示具有相反意义的量;
(3)画行程图,并用有理数表示行程等;
(4)实际生活体会上有温度计及其读法.
这些都是构建新知识的基础.
4.本节课的重点是理解数轴的概念,会画数轴,会由数描点、由点读数,以体会数形结合思想.
难点有2个:
(1)将实际问题提炼为数学问题;
(2)数形结合思想的体验.
(二)教学设计上的分析
1.优点
(1)整个设计条理清楚,层次分明,以“概念的体验——概念的提炼——概念的形成——概念的巩固——概念的应用”为线索来设计.
(2)设计体现了建构主义的现代教学思想,重视学生能力的培养,较好地暴露了知识的发生过程,而不是重结果的传输.
(3)本设计突出地体现了教学服务于学生的宗旨,设计符合学生的认知规律,重视新旧知识之间的作用,新认知结构是学生从已有的旧知识基础上产生的,不是老师硬灌的.
(4)重点突出,突破难点有力度,用了相当的篇幅来让学生体验如何形成概念,并以各种形式(包括游戏)突破数形结合思想.
(5)学生的参与程度高,仅个人回答就有10多个,还有游戏就更多了.
2.缺点
(1)有的问题较大,学生会不知所问,茫然不知所答.如问温度计的刻度线“在结构上有什么特点?
”
(2)学生回答问题多,动手较少.
(3)有的语言过于专业化,初中生接受起来会有困难.如“用图线来表示事物的数量特征”.
(三)建议
1.关于对数轴的提炼过程,可以先请同学们将温度计用一个最简易的图形表示出来,然后观察简易温度计与行程路线图的共同性质,对于“有表示相反意义的方向”,立即说用箭头“→”表示正方向,并请同学们将箭头标在直线上,去掉实际意义将使两个图变为一个图一条特殊直线,得出数轴.
2.对于例2,可以请同学们画一个像数轴而又不是数轴的图形,并说明为什么不是数轴.这可能比直接给出例2好.
教师:
发言有理论、有分析、有建议,比较系统,接下来的发言可就某一侧面作深层次的分析.
学员2:
有的老师做一个大的温度计模型,然后去掉一些构件,得出一条带刻度的直线,这有利于提炼出数轴.
学员3:
1.本课例的优点有:
(1)通过揭示“数轴”概念的形成过程,使学生经历了“温度计(实物)——图线表示事物的数量特征(数学属性)——数轴(数学概念)”的过程,符合建构主义的基本原则,即知识的建构是在原有认知结构的基础上,经过顺应或同化,建立起新的认知结构.
(2)在数轴的画法中,进行了秩序化的教学,同时也体现了属加种差定义概念的逻辑知识,学生先画正例,后判断反例,能使学生更加准确地理解数轴的概念及其画法.
(3)游戏是有趣,学生参与度很高,还可以训练学生的反应能力.
(4)总结非常精彩,并提出了要求:
掌握概念,学会操作是重点.
2.缺点
(1)在例1中“原点”的提炼不够,加问一句“家在图线上该怎么说呢?
”就可把原点凸现出来.
(2)学生会觉得很奇怪,明明是数轴上的点,怎么会又是数呢?
课例缺少解决此问题的设计.
(3)练习中应该加上
、
,
的描点或由点找数.
(4)提问是否太多了?
教师:
由温度计到数轴的过程也是一个数学建模的过程,中间经历了一个“感知、表象、抽象”的思维过程,这也是第1位学员说的思想方法教学中的一个内容,现在的问题是,有助于初一学生参与的游戏设计,体现着什么样的课型?
学员4:
这是活动课.对于活动之后的总结,我认为教学中一般
不向学生提“重点”、“难点”,这是教师掌握的问题,弄不好会误导学生只要掌握“重点就行了”,我建议改为让学生提出不明白的问题,既体现教学的反馈环节,又体现教学民主.
教师:
让学生提问题是个好主意,带着问号进来,带着更多的问号出去,是认识的提高.
学员5:
这个课例有活动性、完整性、趣味性和简捷美.
(1)活动性.让学生从实际问题的体验中提炼出概念,思维活动的空间很大;小游戏,画图操作都有活动.
(2)完整性,教学过程的设计完整(图2-16).
(3)趣味性.用游戏让学生把所学知识应用于实际,同时可激发学生的学习兴趣,具有趣味性.
(4)简捷美.小结简练、简单、明确.
缺点提3条:
(1)有几个地方语言太专业化;
(2)有的地方语言啰嗦;
(3)数轴的定义应板书,做得更规范些.
教师:
关于完整性的阐述,已经提炼出了数学学习的一般过程.
学员6:
课例设计的引人与收尾都很有特点,引人来源于生活,例1选取的角度比较好,家、学校、书店都是学生最熟悉的地方.收尾在游戏中结束,总结方式非常精练.
学员7:
数轴的三要素缺一不可,例2起了很好的强调作用,这是教材中没有的.但题目问了“哪个是数轴?
哪个不是数轴?
”是不是要加上“是数轴”的图呢?
请考虑.
教师:
这是一个有益的建议.
学员8:
创设情景,让学生经历发现的过程,我赞成,但是,一节很简单的数轴课被上难了,对于初一的学生,是否需要这么专业化的思考?
学员9:
这样的设计看起来似乎有些繁琐,但这些正是有意展示知识的发生过程、发展过程,展示教师的思维过程,它有助于学生“学会学习”,从而提高学习数学的能力,这些恰好是我们在实际教学中欠缺的.
建议加上一个与例1类似的应用题为好.
学员10:
例1的设置对于形成数轴概念很有必要,但又增加了学生在抽象出数轴第4个特征“有计算单位”的难度.可否在图2-8中添上刻度.
教师:
大家的发言已经体现了教学风格的多样性和教学设计的完善,也体现了大家丰富的教学积累.
学员11:
总体上说,这是一个比较成功的课例,改变了传统中灌输式的教学方式,这对实施素质教育是非常有益的.提两点意见:
一是在数轴概念的形成过程中,更多地体现了教师的意见,而学生的主动成分较少;二是教学中抽象语言出现的略多,如“数量特征”,这会增加学生学习的困难.
第三步:
总结评议
本总结发言包括三个部分,首先是对课例的教学过程进行分析和提炼;然后是对学习过程进行分析与总结;最后是综合大家对课例优缺点的看法,其中也有教师个人的看法.
(一)课例的教学过程分析
1.数轴概念的教学过程
本节课的教学内容可以从知识、技能、素质三个维度上去认识,但都围绕着一个中心内容:
数轴.因此,这节课的教学性质属于“概念教学”,具体采用了“概念形成”的方式.从学习论的角度我们将其概括为4个阶段(图2-17的左边).
(1)第1阶段,从开头到例1的处理结束,主要是通过复习提问的方式,呈现建立数轴的相关知识,数轴要沟通有理数(数)与直线(形)之间的联系,这涉及两个知识.“直线”作为原始概念没有提问,但暗中出现在例1的路线图中或温度计中.对“有理数”进行了提问,一方面是上节课的自然复习,另方面是本节课的有意铺垫.教师还特别作补充,整数分为正整数,0,负整数,以备后面将“有理数对应到直线上”使用.
为了建立数轴的概念,本课例提供了两个知识基础,其一是日常生活中的“数轴”实物—温度计;其二是数学中非形式化的“数轴”知识—行程路线图,它们都是通过复习有理数而自然地提出来的,其中例1是参照上节课例2的结构而设置的、新添的.这些生活实物与数学实例的共同特点是:
①具有数轴的必要因素与必要形式.
这主要是指具有第二阶段要提炼的几何结构.由于温度计是等距量表而不是比率量表,没有绝对的零点,不能乘除(2℃×3℃没有意义),因而只是“必要”的因素而已.
②建立在学法需要的基础上,能激发学生从中产生问题解决的必要性与启发性.
从温度计、行程路线图中提炼出数轴,具有接受性、障碍性、探究性,这正是问题解决中所要求的问题的基本特征.
③有利于教学活动的展开与学习目标的完成.
(2)第2阶段,从教师说“不知大家注意到没有”开始,以“引入新课”的形式,提炼出温度计与行程路线图的4个共同属性:
①用图线来表示事物的数量特征;
②有计算的起点;
③有表示相反意义的方向;
④有计算的单位.
把这些特征逐一落实就形成数轴的画法.事实上,完全可以将共同特征与几何图示并列陈述(见图2-17).
(3)第3阶段,从共同属性中提炼出数轴的定义,包括课例中的两块内容,其一是从“同学们,屏幕上显示的这4条性质”,到写出本课题的板书之间;其二是教师对“我们用数轴来表示数”的两步陈述.前者是从几何结构的外形上描述数轴,后者是从两个无穷集合之间建立对应的实质来描述数轴.
学习概念通常要掌握4个要素:
名称、定义、示例、属性.此处概念的名称是“数轴”;概念的定义是“规定了原点、正方向和单位长度的直线”,概念的示例首先有图2-9的正例,后面还有图2-13的反例;概念的属性就是第2阶段提炼出来的4条共同属性,简单说就是直线、原点、方向、单位.
(4)第4阶段.通过例2、例3、小游戏,以及对例1的前后照应等来巩固概念,并体现数轴的初步使用—把数表示为点,把点表示为数.至于数轴的应用,将是非常广泛的.如:
①巩固相反意义的量:
原点的两个对称点.
②加深对负数的理解:
原点左边的点.
③可借助于数轴学习相反数,学习绝对值,比较有理数的大小,建立有理数的运算,表示方程或不等式的解集等.
④进一步建立坐标系,研究函数,创立解析几何.
由这个过程可以提炼出数轴学习的结构图示(图2-18).
图2-18
2.由数轴的教学过程到概念教学的一般过程
对应着数轴概念教学过程的四个阶段,可以得出概念学习的一般过程(如图2-17的右边)
(1)第一阶段,感性认识阶段:
提供感性材料或具体实例等思维材料,以形成对概念的感性认识,通过辨认,对其各种属性加以分化.
(2)第二阶段,分化本质属性阶段:
从各个不同的角度和侧面去分析比较,舍弃非本质属性,分化出概念的本质属性,形成对概念的理性认识.
(3)第三阶段,概括形成定义阶段:
给概念下定义,明确概念的内涵和外延.
(4)第四阶段,应用和强化阶段:
运用概念,使概念具体化,并把概念纳人概念系统,形成新的认知结构,达到概念的掌握.
至于数学学习的一般过程,已如图2-16所示,分成四个段段:
输入——相互作用——操作阶段——输出.
(二)课例的学习观分析
由课例的阅读和上面对教学过程的4个阶段的分析可以感受到,教师没有满足于“从书本上力图准确无误地搬运知识”,而是千方百计地将教学组织为学生的学习过程.教师创设情景、启发思维、组织讨论、指导游戏等等,都是为了学生的学,为了学生能在已有知识经验的基础上,主动建构出新的知识来.下面的观点是鲜明的.
1.学习是认知结构的变化
在小学的时候,已有这样的知识基础:
温度计、行程路线图,直线和非负有理数.进人中学之后非负有理数扩充为有理数(如图2-19左边).这时候4个知识(温度计、行程路线图、直线、有理数)是彼此无关的,特别是在有理数与直线之间,差异非常显著.数轴学习的过程,就是沟通有理数与直线的联系的过程.首先由温度计、行程路线图提炼出数轴的几何结构,然后建立有理数与直线上点的对应,这就得出数轴.而这个数轴作为桥梁就把看上去无关的两个无穷集合建立起联系,一方面数的性质可以直观地表示在图形上,另一方面在图形上又可以形象而具体地研究数的性质(如图2-19右边).
图2-19
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