七年级数学下册 第五章一元一次不等式和一元一次不等式组复习教案 北京课改版.docx
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七年级数学下册 第五章一元一次不等式和一元一次不等式组复习教案 北京课改版.docx
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七年级数学下册第五章一元一次不等式和一元一次不等式组复习教案北京课改版
第五章《一元一次不等式和一元一次不等式组》综
合指导
(一)有关概念
1、一元一次不等式:
只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1的不等式叫做一元一次不等式.
2、一元一次不等式组:
关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.
3、不等式(组)的解:
能使不等式(组)成立的未知数的值叫做不等式(组)的解.
4、不等式(组)的解集:
一个不等式(组)的所有解组成这个不等式(组)的解集.
注意不等式(组)的解与不等式(组)的解集的关系:
不等式(组)所有的解的集合组成不等式(组)的解集,不等式(组)的每一个解都是解集的一个元素.例如,x=3.5,4,7…都是不等式x+5>8的解,而x>3是这个不等式的解集.
(二)不等式的三个基本性质
①性质1:
如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.即不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
②性质2:
如果a>b,并且c>0,那么ac>
bc.即不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
③性质3:
如果a>b,并且c<0,那么ac<bc.即不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
典型例题分析
1、有关概念
例1下列说法正确的是:
A.x=-3是x+3<-2的解.B.x>3是x+3>6的解.
C.x=
是6x≥3的解集.D.x<-5是-3x>15的解
集.
分析:
把x=-3代
入x+3<-2中不成立,所以答案A错误;答案B和答案C混淆了解和解集两个概念;在不等式-3x>15的两边都除以-3,得x<-5,所以答案D是正确的.
2、不等式的性质
例2用“>”或“<”填空:
①已知x<y,则3x-1_3y-1.②已知a>b,则1-a_1-b.
分析:
需要把不等式的基本性质牢记,才能熟练做出这类题目.
解:
①根据不等式的性质2,由x<y得3x<3y;再根据不等式的性质1,得3x-1<3y-1.
②根据不等式的性质3,由a>b得-a<-b;再根据不等式的性质1,得1-a<1-b.
例3“哥哥的年龄比我大,3年后哥哥的年龄仍然比我大.”这一生活现象暗合了不等
式的哪一条性质?
解:
设哥哥现在a岁,我b岁,则3年后哥哥(a+3)岁,我(b+3)岁.由a>b得出a+3>b+3暗合了不等式的性质1.
反思:
用这种合情推理的方式理解数学性质可以让我们对知识理解的更深刻,记忆的更牢固.
例4请你利用不等式的性质说明怎样由“三角形的任意两边之和大于第三边”推出“三角形的任意两边之差小于第三边”.
分析:
这是一道数形结合的题目.
解:
设三角形的三边分别为a、b、
c,“由三角形的任意两边之和大于第三边”可知:
a+b>c,移项(即根据不等式的性质1),得a>c-b,b>c-a,即c-b<a,c-a<b.同理,由a+c>b、b+c>a可得b-a<c、b-c<a、a-b<c、a-c<b,所以“三角形的任意两边之差小于第三边.”
3、解一元一次不等式
例5解不等式2-
>
解:
去分母,
得
12-(1-x)>3(x+4)
去括号,得
12-1+x>3x+12
移项,得
x-3x>12-12+1
合并同类项,得
-2x>1
系数化为1,得
x<-
4、解一元一次不等式组
例6解不等式组
解:
解不等式①,得x<1.
解不等式②,得x≥-2.
在数轴上表示不等式①、②的解集,如下图所示.
这两个不等式的解集的公共部分是-2≤x<1.
所以,不等式组的解集是-2≤x<1.
例7若不等式组的解集为x>3,求a的取值范围.
解:
解3x+2<4x-1,得x>3.我们不妨把表示数a的点看作是一个动点,将这两个不等式的解集在数轴上表示有三种可能性,如图1、图2与图3.显然,在图1与图3两种情况下,不等式组的解集为x>3,而在图2的情形下,不等式组的解集为x>a.由图1和图3可知:
a≤3
.
反思:
数轴是一个非常重要的工具,上面这道题目就是利用数轴的一个很好的例子.
5、用不等式(组)解决实际问题
例8今年9月份,我市某果农收获苹果30吨,梨13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往南方.已知甲种货车可装苹
果4吨和梨1吨,乙种货车可装苹果、梨各2吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案?
请你设计出来.
分析:
这类方案设计题虽然没有出现表示不等关系的术语,但同学们要明白这是利用不等式组来解决实际问题.题目中的不等关系为:
①甲种货车和乙种货车合运的苹果至少为30吨;②甲种货车和乙种货车合运的梨至少为13吨.另外注意答案一定要取自然数.
解:
设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车(10-x)辆,根据题意,得
解这个不等式组得
所以5≤x≤7,又因为x必须取整数,所以x可以取5,6,7.即安排甲、乙两种货车共有三种方案:
1甲种货
车5辆,乙种货车5辆;
2甲种货车6辆,乙种货车4辆;
3甲种货车7辆,乙种货车3辆.
例9在一次环保知识竞赛中,竞赛试题共有25道题.每道题都给出4个答案,其中只有一个答案是正确的.要求学生把正确答案选出来.每道题选对得4分,不选或错选倒扣2分.如果一个学生在本次知识竞赛中的得分不低于60分,那么他至少选对了多少道题?
分析:
这道题的数量关系很明确,就是由作对题目所得分数减去作错题目所扣分数大于或等于60分,关键是如何列代数式正确表示作对题目所得分数与作错题目所扣分数.
解:
设他选对了x道题,根据题意,得(注意:
不能设成“他至少选对了x道题”)
4x-2(25-x)≥60
解得x≥
因为题目数必须是正整数,而符合条件的正整数最小是19,所以他至少选对了19道题.
例10、用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时,每次钉入木块的钉子长度是前一次的
.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm,则a的取值范围是.
解析:
根据题意易知第二次敲击后铁钉进入木块的长度是1cm,所以前两次铁钉进入木块的长度的和是3cm.下面关键是正确理解“被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)”,由此可确定第二次敲击后铁钉未进入木块的长度是大于0㎝,但是最长不超过0.5cm,所以a的取值范围是3㎝<a≤3.5cm..
例11、乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时,乘车费用都是4元(即起步价4元);当行驶路程大于或等于2千米时,超过2千米部分每千米收费1.5元.
(1)当x≥2时,用含x乘车费用为;
(2)按常规,乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时,应付车费10元),小红一次乘车后付了车费8元,请你确定小红这次乘车路程x的范围.
解析:
(1)关键是理解“超过2千米部分每千米收费1.5元”,计算超过2千米部分的费用应用价格乘以总路程减去2,即1.5(x-2),所以当x≥2时,用含x乘车费用为4+1.5(x-2)=1.5x+1;
(2)解决问题的关键是根据规定理解“小红一次乘车后付了车费8元”中隐含的不等式,根据规定若按路程计算时,实际上车费是大于或等于7.5元而小于8.5元,据此可列出不等式组:
,解这个不等式组,得
≤x<5.
所以小红这次乘车路程x的范围是
≤x<5.
例12、今年5月12日,四川汶川发生了里氏8.0级大地震,给当地人民造成了巨大的损失.“一方有难,八方支援”,我市锦华中学全体师生积极捐款,其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表:
班级
(1)班
(2)班
(3)班
金额(元)
2000
吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上,但他知道下面三条信息:
信息一:
这三个班的捐款总金额是7700元;
信息二:
(2)班的捐款金额比(3)班的捐款金额多300元;
信息三:
(1)班学生平均每人捐款的金额大于48元,小于51元.
请根据以上信息,帮助吴老师解决下列问题:
(1)求出
(2)班与(3)班的捐款金额各是多少元;
(2)求出
(1)班的学生人数.
解析:
(1)设
(2)班捐款金额各是x元,(3)班的捐款金额是y元,根据“信息一:
这三个班的捐款总金额是7700元;信息二:
(2)班的捐款金额比(3)班的捐款金额多300元”,可列出方程组:
,解之,得
,所以
(2)班捐款金额各是3000元,(3)班的捐款金额是2700元;
(2)设
(1)班人数是x人,根据“信息三:
(1)班学生平均每人捐款的金额大于48元,小于51元”,可列出不等式组
,解这个不等式组,得39
<x<41
,因为x为正整数,所以x=40或41,所以
(1)班人数是40人或41人.
一、车辆调配问题
例1(2008年永州)某物流公司,要将300吨物资运往某地,现有A、B两种型号的车可供调用,已知A型车每辆可装20吨,B型车每辆可装15吨,在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完,问:
在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?
分析:
先根据“两种型号车的装载总量不少于300吨”这一不等关系列出不等式,求出不等式的解集,再由x是车的数量应为正整数,即可确定还需调用B型车辆数.
解:
设还需要B型车x辆,由题意得20×5+15x≥300,解得x≥13
.由于x是车的数量,应为正整数,所以x的最小值为14.
答:
至少需要14台B型车.
二、节日礼物问题
例2(2008年襄樊市)“六一”儿童节前夕,某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃,就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物.如果每班分10套,那么余5套;如果前面的班级每个班分13套,那么最后一个班级虽然分有福娃,但不足4套.问:
该小学有多少个班级?
奥运福娃共有多少套?
分析:
先抓住“如果前面的班级每个班分13套,那么最后一个班级虽然分有福娃,但不足4套”建立不等式组,求出不等式组解集,再根据其特殊解来班级数.
解:
设该小学有x个班,则奥运福娃共有(10x+5)套.由题意得
,解得
.因为x只能取整数,所以x=5,此时10x+5=55.
答:
该小学有5个班级,共有奥运福娃55套.
三、中国结问题
例3)某学校准备添置一些“中国结”挂在教室.若到商店去批量购买,每个“中国结”需要10元;若组织一些同学自己制作,每个“中国结”的成本是4元,无论制作多少,另外还需共付场地租金200元.亲爱的同学,请你帮该学校出个主意,用哪种方式添置“中国结”的费用较节省?
分析:
显然选用哪种方式添置“中国结”的费用较节省,与“中国结”的数量有关系,因此应分类予以考虑.
解:
设需要中国结x个,则直接购买需10x元,自制需(4x+200)元.
分两种情况:
(1)若10x<4x+200,得
,即少于33个时,到商店购买更便宜;
(2)若10x>4x+200,得
,即多于33个时,自已制作更便宜.
答:
当添置“中国结”少于33个时,到商店购买更便宜;当添置“中国结”多于33个时,自已制作更便宜.
四、出租车里路问题
例4(2008年益阳市)乘坐益阳市某种出租汽车,当行驶路程小于2千米时,乘车费用都是4元(即起步价4元);当行驶路程大于或等于2千米时,超过2千米部分每千米收费1.5元.按常规,乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时,应付车费10元),小红一次乘车后付了车费8元,请你确定小红这次乘车路程的范围.
分析:
先列出行驶路程大于或等于2千米时乘车费用关于路程的代数式,再建立不等式组来解决问题.
解:
设小红这次乘车路程为x千米,由题意知费用应为4+1.5(x-2)元,即1.5x+1(x≥2)元.因为8介于7.5——8.5范围内,所以7.5≤1.5x+1<8.5,解得
≤x<5.答:
小红这次乘车路程的范围是
千米≤x<5千米.
1、王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售,两商场采用的促销方式不同,在甲商场一次性购物超过100元,超过的部分8折优惠;在乙商场一次性购物超过50元,超过的部分9折优惠,那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠?
解:
设王女士在甲商场购物超过X元就比在乙商场购物优惠。
(X-100)×80%+100<50+(X-50)×90%
0.8X-80+100<50+0.9X-45
移项﹣0.1X<-15
X>150
2、小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端。
这时,爸爸的一段仍然着地。
后来,小宝借来一副质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈的一端,结果爸爸被高高翘起。
猜猜看,小宝的体重大约多少千克?
解:
设小宝体重为x千克.
x+2x<72--------①
x+2x+6>72--------②
由①得:
x<24
由②得:
x>72
所以:
此不等式组解为:
22<X<24
答:
小宝体重约大于22kg,小于24kg
3、把一堆苹果分给几个孩子,如果每人分三个,那么多八个;如果前面每人分五个,那么最后一人得到的苹果少于三个,问有几个孩子?
有多少只苹果?
解:
设有x个孩子,苹果设为(3x+8)只
1.每个孩子分5个苹果,苹果是不够平分的,所以3x+8<5x
2.最后一个孩子能分到苹果,说明5(x-1)<3x+8
4、课外阅读课上,老师将43本书发给各个小组,每组8本,还有剩余;每组9本,却又不够,问有几个小组
解:
设有x个小组
8x<43-------①
9x>43-------②
由①得:
x<
由②得:
x>
答:
有5个小组
5、某物流公司,要将300吨物资运往某地,现有A、B两种型号的车可供调用,已知A型车每辆可装20吨,B型车每辆可装15吨,在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完,问:
在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?
解:
设还需要B型车a辆,由题意得
20×5+15a≥300
15a≥200
a≥40/3
解得a≥13又1/3.
由于a是车的数量,应为正整数,所以x的最小值为14.
答:
至少需要14台B型车.
6、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿,已知该班女生少于35人,若每个房间住5人,则剩下5人没处可住;若每个房间住8人,则空出一间房,并且还有一间房也不满。
有多少间宿舍,多少名女生?
解:
设有宿舍a间,则女生人数为5a+5人
根据题意
a>0
(1)
0<5a+5<35
(2)
0<5a+5-[8(a-2)]<8(3)
由
(2)得
-5<5a<30
-1 由(3) 0<5a+5-8a+16<8 -21<-3a<-13 13/3 由此我们确定a的取值范围
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