第2讲巧解平均数问题.docx

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第2讲巧解平均数问题

第2讲巧解平均数问题

（一）

I基础平均数问题

方法和技巧

（1）直接求法：

利用公式求出平均数，这是由“均分”思想产生的方法。

总数量÷总份数=平均数

（2）基数求法：

利用公式求平均数。

这里要先设各数中最小者为基数，它是由“补差”思想产生的方法。

基数+各数与基数的差÷总份数=平均数

例题精讲

A级基础点睛

一、“直接求”与“补差法”

【例1】李师傅前4天平均每天生产30个零件，改进技术后，第5天生产零件55个。

问：

李师傅5天中平均每天生产多少个零件？

解法1先算出5天的总零件数30×4+55=175（个），再求在5天内平均每天生产零件的个数为（30×4+55）÷5=35（个）

解法2从“补差”的角度考虑。

由于前4天的平均数小于第5天的生产数量，所以可把第5天多生产的零件数（55－30）分成“5份”，用4份补进到前4天的平均数中去，从而得到5天的平均数（如右图），即30+（55－30）÷5=35（个）

答：

李师傅5天中平均每天生产35个零件。

做一做1五

（1）班有学生40人，数学期末考试有三位同学因病缺考，全班平均成绩是80分。

后来这三位同学补考，成绩分别为88分、87分和85分，问：

这时全班同学的平均成绩是多少？

二、“补差法”解题

【例2】王师傅前4天平均每天生产26个零件，第5天生产零件数比5天的平均数还多4.8个。

问：

王师傅第5天生产多少个零件？

解法1（算术解法）关键是求出5天的平均数。

由于前4天的平均数小于5天的平均数，因此，要把前4天的平均数提高到5天的平均数，必须用多余的4.8个去“补足”（如下图），平均每天补4.8÷4=1.2（个），因而，5天的平均数是26+4.8÷4=27.2（个）。

王师傅第5天生产的零件数为（26+4.8÷4）+4.8=32（个）

解法2（列方程解法）设王师傅第5天生产x（个）零件。

由5天平均数这个“量”可列方程

x－4.8=（26×4+x）÷5

x=32（个）

答：

王师傅第5天生产32个零件。

做一做2一个学生前六次测验的平均分为93分，比七次测验的平均分高3分，问：

他第七次测验得了多少分？

【例3】小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分才能把平均成绩提高到86分。

问：

这一次是第几次测验？

分析与解平均每次要提高86－84=2（分）。

这一次的成绩比原来平均成绩多了100－84=16（分），平均分到每一次上，就可以分推为

（100－84）÷（86－84）=8（次）

答：

这一次是第8次测验。

做一做3小松前几次考试的平均成绩是84分，这一次考了94分，就把平均成绩提高到86分。

问：

这一次是第几次考试？

B级更上层楼

三、和差法解题

【例4】有一次考试，某小组10人的平均成绩是87分，前八位同学的平均成绩是90分，第九位比第十位多2分。

求：

第十位同学得了多少分？

分析与解现已知第九位与第十位的得分差，若能知道第九位与第十位的得分和，则求第十位同学的得分问题将迎刃而解。

应用和差法解题，第九位与第十位的得分和为

87×10－90×8=150（分）

所以，第十位同学得分为

（150－2）÷2=74（分）

答：

第十位同学得了74分。

做一做410位同学在一次考试中的平均分是81分，去掉最高分和最低分，其余8位同学的平均分数是80分，已知最高分与最低分相差20分，问：

最高分是多少？

【例5】一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行40千米，为了按时到达，后3小时每小时加快5千米。

求汽车的平均速度。

分析与解1因甲、乙两地相距[40×2+（40+5）×3]千米，所用时间为（2+3）时，故所求的平均速度为[40×2+（40+5）×3]÷（2+3）=43（千米/时）

分析与解2把后3小时多行的平均分配给5小时（不是前2小时！

为什么？

），再加上前2小时的平均速度就是从甲地到乙地的平均速度：

40+（5×3）÷5=43（千米/时）

做一做5从甲地到乙地的路程是60千米，小林去时速度为每小时15千米，回来时速度为每小时10千米。

问：

小时往返的平均速度是多少？

3小时

每小时100千米

【例6】一辆汽车从甲地开往乙地，上坡速度为每小时60千米，下坡速度为每小时100千米。

现在汽车从甲地出发，上坡用了4小时，下坡用了3小时，从原路返回时，下坡速度改为每小时80千米，而上坡速度不变。

这辆汽车往返一次的平均速度。

每小时60千米

4小时

每小时80千米每小时60千米

分析与解通过分析可知，从甲地去乙地时：

上坡路程：

60×4=240（千米）；

下坡路程：

100×3=300（千米）；

所用时间：

4+3=7（时）。

从乙地返回甲地时：

上坡路程：

就是原来的下坡路程300千米；

上坡路程：

300÷60=5（时）；

下坡路程：

就是原来的上坡路程240千米；

下坡时间：

240÷80=3（时）

返回的总时间：

5+3=8（时）

综合算式得：

60×4÷80=3（时）100×3÷60=5（时）

（60×4+100×3）×2÷（4+3+3+5）=1080÷15=72（千米/时）

答：

这辆汽车往返一次的平均速度是72千米/时。

小结本例要求往返一次的平均程度，应该用往返一次的总路程除以往返一次的总时间。

做一做6一辆汽车从甲地到乙地，下坡速度为80千米/时，平路速度为51.5千米/时，上坡速度为40千米/时。

现在汽车从甲地到乙地，下坡用6小时到丙地，平路用2小时到乙地，从乙地再原路返回。

这辆汽车往返一次的平均速度是多少？

甲

C级勇夺冠军

【例7】将自然数1，2，3，…如下排列，能否用一个方框框出9个数，使这9个数的和等于：

（1）1962

（2）1994（3）2007

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

…………………

如能办到，请写出框中的最小数和最大数。

分析与解仔细观察，可以发现方框中的9个数有这样的规律：

横向的3个数依次差1，纵向的3个数依次差7。

设最小数为x，则其余的8个数依次为：

x+1,x+2,x+7,x+8,x+9,x+14,x+15,x+16。

这9个数的和为9x+72，而9x+72=9×（x+8），所以这9个数的和一定是9的倍数。

逐一试验发现，1994不是9的倍数，可见框中9个数的和不可能是1994。

1962和2007都是9的倍数，如果框中9个数的和是1962，则9×（x+8）=1962，x+8=218，x=210=7×30，最小数在第7列。

其余8个数依次为211，212，217，218，219，224，225，226。

这9个数不可能在一个框内。

其实，从最小数210在数表的最后一列便可知这一事实了。

如果框中9个数之和为2007，则9×（x+8）=2007，x+8=223，x=215=7×30+5，最小数在第5例。

最大数是215+16=23。

答：

这9个数的和可以是2007，这时框中最小数为215，最大数为231。

做一做7把从1开始的自然数按7个一行排成下表。

在这个数表中，把横向的3个数与纵向的2个数，共2×3=6个数用一个方框框起来。

如果框起来的6个数的和是429，试求框内的6个数。

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

…………………

巧练习——温故知新

（二）（I）

A级冲刺名校·基础点睛

1、育英中学初一（8）班第一小组3人的平均身高1.66米，其余7人的平均身高是1.59米，求这10个人的平均身高。

2、有35千克奶糖，每千克10.3元；还有65千克水果糖，每千克8.5元。

售货员把这两种糖混合起来，成为什锦糖，问：

什锦糖每千克至少卖多少元才不会亏本？

3、在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走40米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走60米，求小刚上、下山的平均速度。

4、在一次登山活动中，周华上山每分钟走50米，到达山顶后沿原路下山，每分钟走75米。

求周华下、下山中平均每分钟走多少米。

5、某次数学考试，平平、元元、方方、婷婷、卉卉5人的成绩统计是：

平平、方方、婷婷的平均分是75分，平平、方方、婷婷、卉卉的平均分是70分，平平、婷婷、卉卉的平均分是60分，元元、婷婷的平均锉刀是65分，求平平的得分。

B级培优竞赛·更上层楼

6、奶糖35千克与水果糖65千克配成售价为每千克9元的什锦糖，奶糖每千克比水果糖每千克贵2元。

那么，80千奶糖与120千克水果糖酿成什锦糖后，每千克售价应为多少元？

7、小李读一本书，第一天读了83页，第二天读了74页，第三天71页，第四天读了64页，第五天比这五天所读页数的平均数还多了3.2页，那么小李在第五天读了多少页？

8、南洋小学举行数学竞赛，把成绩排名次后，前5名平均分比前3名平均分少1分，前7名平均分比前5名平均分少2分，问：

第四、第五名得分之和比第六、七得分之和多几分？

9、甲、乙丙三个学生各拿出同样的钱合买同样规格的练习本。

买来之后，甲和乙都比丙多要6本，因此甲、乙分别给丙人民币0.96元，求每本练习本的价钱。

10、小麦斯在计算

，

，

，

这四个分数的平均数时，不小心把其中一个分数的分子分母颠倒了这样他所计算出的平均值与正确的平均值的差最大是多少？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军，

11、设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三个数的平均值之和为17，而最大的数与其余三个数的平均值之和为29。

在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大偷越值是多少？

12、六次数学测验平均分是a，后四次的平均分比a提高了3分，如果第二次比第一次多得了分，那么后五次平均分比a（提高、降低）

分（请打“√”指出“提高”还是“降低”）

13、六次数学测验的平均分是a，后四次的平均分比a提高了3分，第一第二和第六这三次平均分比a降低了3.6分，那么前五次平均分比a（提高、降低）分（请打“√”指出“提高”还是“降低”）

14、少年跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过10分。

第一名选手跳水后得分情况是：

全体裁判所给分数的平均分是9.68分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判所给的分数的平均分是9.62分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是9.71分，那么所有裁判所给分数中最少可以是分，此时共有裁判名。

巧总结

本节我的收获是：

不足之外有：

Ⅱ部分平均与全体平均

巧点睛——方法和技巧

常用的方法是“移多补少”，常用技巧有：

（1）等差数列中所有数的平均数，就是头尾两数的平均数。

（2）当等差数列有奇数个数时，安的平均数恰好是中间的这个数。

（3）当等差数列有偶数个数时，它的平均数是中间两个数的平均数。

（4）各个数的总和除以这些数的个数等于这些数的平均数。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点睛

一、“直接求”法和“取中数”法

【例1】求11，7，19，23，15，27，31的平均数。

分析与解直接用“总数量÷总分数=平均数”会显得繁琐,将它们按从小到大的顺序排列，便构成等差数列：

7，11，15，19，23，27，31

于是，有如下两种解法：

解法1先求7个数的和，再求平均数。

总和：

（7+31）×7÷2=133平均数：

133÷7=19

还可以直接求（7+31）×7÷2÷7=（7+31）×7÷7÷2=19

解法2取7，11，15，19，23，27，31，这7个数的中数（中间数）。

+12+8+4-4-8-12

7111519231731

发现这7个数的平均数为19。

做一做1求1976，1986，1996，2006，2016的平均数。

二、运用“包含与排除”法

【例2】五个数的平均数是30.如果把这五个数按从小到大的排列,那么前三个数的平均数是25,后三个数的平均数是35.问:

第三个数是多少?

分析与解①已知五个数的平均数,可求出五个数的总和是30×5=150;②由前三个数的平均数,可求出前三个数的和是25×3=75;③由后三个数的平均数,可求出后三个数的和是35×3=105;④前三个数与后三个数的总和比五个数的总和多了第三个数,所以第三个数是105+75-105=30。

列算式得25×3+35×3-30×5=180-150=30

答：

第三个数是30。

做一做2有六个数排成一列，它们的平均数是27，前四个数的平均数是23，后三个数的平均数是34。

求第四个数。

三、“设数法”巧解题

【例3】某班级女同学的人数是男同学的2倍。

女同学的平均身高是160厘米，男同学的平均身高是154厘米。

求全班同学的平均身高。

分析与解题目中没有告诉男、女同学的具体人数，不妨设男同学人数为χ，女同学为2χ。

根据题意要求全班同学的平均身高可以列式计算得

（154χ+160×2χ）÷（χ+2χ）=474χ÷3=158（厘米）

通过计算，可以发现其中的χ没有起到作用，在计算过程中正好约掉了。

因此，男女同学具体有多少人并不影响本题答题，于是可以假设男同学人数是1，则女同学人数是2，这样解答起来就更方便了。

（160×2+154）÷（2+1）=474÷3=158（厘米）

答：

全班同学的平均身高是158厘米。

做一做3某班女同学的人数是男同学的一半。

男同学的平均体重是35千克。

求全体同学的平均体重。

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】延秀小学1100名同学在为希望工程捐款进，男同学中有

的人捐3元，有

的人捐7元。

女同学中有

的人捐9元，

的人捐5元。

问：

该校学生一共捐款多少元？

分析与解此题为求全体平均数问题，只要求出全校平均每人的捐款数，就可得到全校同学的捐款数。

男同学中有1人捐3元，就有3人捐7元，因而4个人平均每人捐款（3×1+7×3）÷4=6（元）。

又因题目中暗含男同学人数是4的倍数，所以，这6元就是全体男同学平均每人的捐款数。

同理，女同学每人平均捐款（9×1+5×3）÷4=6（元），全校每人平均捐款也是6元，故全校同学一共捐款6×1100=6600（元）。

答：

该校学生一共捐款6600元。

做一做4树人小学1200名同学在为希望工程捐款时，男同学中有

的人每人捐4元，有

的人每人捐5元，有

的人每人捐6元。

女同学中有一半的人每人捐4元，有一半的人每人捐6元。

问：

全校学生一共捐款多少元？

四、“移多补少”巧解题

【例5】五年级甲班有52人，乙班有48人。

在某次考试中，两班全体学生的平均分为78分，乙班的平均分比甲班的平均分高5分。

问：

两个班的平均分各是多少分？

分析与解两个班的总人数是52+48=100（人）

他们的总分数是78×100=7800（分）

以甲班同学的平均成绩为基数，则乙班每人平均多了5分。

如果乙班的总分数减少

5×48=240（分）

则乙班的平均成绩就与甲的一样，因此甲班的平均成绩是

（7800－240）÷100=75.6（分）

乙班的平均成绩是

75.6+5=80.6（分）

答：

甲班平均分是75.6分，乙班平均分是80.6分。

做一做5甲组有8个工人，乙组有12个工人。

统计产量时，如果两组一起统计，则平均每人生产12个零件；如果分开统计，则甲组每人的平均产量比乙组每人的平均产量多5个。

求甲、乙两组平均每人各生产多少个零件？

五、找“最小公倍数”法

【例6】某班买来单价为0.5元的练习本若干本。

如果将这些练习本分给女生，则平均每人可得15本；如果将这些练习本分给男生，则平均每人可得10本。

若将这些练习本平均分给全班同学，则每人应付多少钱？

分析与解如果知道了每人应分得多少本练习本，那么，应付的钱就知道了。

总的练习本数=每人分得本数×人数。

本题不知道练习本的总数及男、女生的人数，只知道每人分得的练习本数，因此可以从假定人数或假定本数着手解决。

练习本总数应是15的倍数，也应是10的倍数，[15，10]=30，故练习本数应为30的倍数。

假设练习本有30ｋ本（k为自然数）,于是

女生人数：

30k÷15=2k（人）；男生人数：

30k÷10=3（人）；

全班人数：

2k+3k=5k（人）；每人分得本数：

30k÷5k=6（本）

所以，每人应付：

0.5×6=3（元）。

答：

每人应付3元。

小结本题可以简化为：

假定练习本总数就是30本，于是女生只有2人，男生只有3人，同样可算得结果（虽然一般情况下一个班的学生数不止5人）。

当然也可这样理解：

把练习本按30本一份分开，于是每份练习本都可分给2个女生或3个男生，故每份练习本都应分给5个学生，同样可得签案。

六年级学过比例后，本题还可用比例分配的方法来解答。

做一做6动物园的饲养员给三群猴子分花生。

如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒；如果把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可得多少粒？

C级勇夺冠军

六、发散思考，综合运用

【例7】甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，合伙购买同样规格的若干件货物，货物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了3，7，14件货物，最后结算，乙付给丁14元，那么丙应付给丁多少元？

解甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，就该买同样件数的货物。

用设数法，假设丁实际拿10件，根据题意，更出下表：

项目

甲

乙

丙

丁

实拿

13

17

24

10

应拿

16

16

16

16

实拿与应拿之差

差3

多1

多8

+5

+3

差6

分析与解借助平均数“移多补少”的原则，乙付给丁的恰好是一件货物的钱：

14÷1=14（元），由上表可知，丙应付给丁5件货物的钱：

14×5=70（元）。

答：

丙应付给丁70元。

做一做7甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买乒乓球。

买回来后，甲比乙多拿了8个乒乓球，乙比丙多拿了5个乒乓球。

最后结算时，甲付给丙7.20元。

那么，在这三人之间，谁还应付给谁多少元？

巧练习——温故知新

（二）（II）

A级基础点睛

1．8位同学在某次考试中，最高得分是95分，最低得分是65分，他们8人的平均成绩是87.5分。

去掉最高分与最低得分后，其余6位同学平均成绩是多少？

2．小明家共有5个人，如果不算小明，则其余4人的平均体重是56千克，当小明加入后，全家的平均体重就要减少2.6千克，那么小明的体重是多少千克？

3．张小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是93分，后三次的平均分数是88分。

问：

张小红这五次测试的平均分数是多少？

4．某班女同学的人数是男同学的一半，男同学的平均身高是1.65米，女同学的平均身高是1.5米。

问：

全班男、女同学的平均身高是多少米？

5．本学期自然课进行5次测验，小明的成绩是第2次比第1次多10分，第3次比第2次少5分，第4次比第3次多4分。

已知前4次的平均成绩是85分，第5次比第4次少13分，那么本学期5次测验小明的平均成绩是多少？

B级更上层楼

6．把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填在五个圆圈内，再在每个方框中填上和它相连的三个圆圈中的数的平均数，再把三个方框中的数的平均值填在三角中。

找出一种填法，使三角内的数尽可能小，那么三角中填的数是多少？

7．甲、乙两地相距60千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行20千米。

到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行30千米。

问：

这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？

8．长春同学上学期期末考试成绩很好。

语文、数学两科平均成绩为93；数学、自然两科平均成绩达97分；语文、自然两科平均成绩也有90分。

问：

长春同学语文、数学、自然三科成绩各为多少分？

9．五年级两个班的同学参加速算比赛，平均分是89.1分。

甲班有52人，乙班有48人，甲班的平均成绩比乙班的平均成绩高4分。

问：

两个班的平均成绩各是多少分？

10．甲、乙、丙三人一共买了9个面包平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙拿出4个面包的钱，丙没有带钱。

吃完一算，丙应拿出1.2元，问：

甲应收回多少元？

C级勇夺冠军

11．下面的两条横幅：

中华少年杯赛联谊切磋勾股

炎黄子孙惠州弘志振兴中华

每个字代表一个小于25的非零自然数，不同的字代表不同的数，相同的字代表相同的数。

已知这些字代表的24个数的平均值是12

，问“中华”两个字代表的自然数之和的最大值是多少？

12．A，B，C三人参加一次考试，A，B两人平均分比三人平均分多2.5分，B，C两人平均分比三人平均分少1.5分，已知B得了93分，那么C得了分。

13．小明参加了次测试，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分。

如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得分。

14．设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。

在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是。

巧总结

本节我的收获是：

不足之处有：