sinA=
所以tanA=
=
×
=
tan2A=
又tanB=2,
所以tan2B=
于是tan(2A+2B)=
例3、求cos36°cos72°.的值.
解:
原式=
=
.
例4.已知cosα=
cos(α-β)=
且0<β<α<
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
解:
(1)由cosα=
0<α<
得sinα=
=
∴tanα=
=
=4
.于是tan2α=
(2)由0<α<β<
得0<α-β<
.
又∵cos(α-β)=
∴sin(α-β)=
由β=α-(α-β),得
cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=
×
+
=
.
∴β=
.
例5化简
解:
原式=
或解:
原式=
例6已知
,求函数
的值域
解:
∵
∴
∴
∴函数y的值域是
例7已知
,
求
的值
解:
∵
即:
∵
∴
从而
而
∴
例8已知
求证tan=3tan(+)
证:
由题设:
即
∴
∴tan=3tan(+)
例9已知
,
,
,求sin2的值
解:
∵
∴
∴
∴
又
∴
∴sin2=
=
例10求证:
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1
选题意图:
考查两角和与差的正切变形公式的应用
证明:
左端=
说明:
可在△ABC中证明
课时对点练
一、选择题
1.函数y=2cos
-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为
的奇函数
D.最小正周期为
的偶函数
2.tan70°+tan50°-
tan70°·tan50°=( )
A.
B.
C.-
D.-
3.若3sinx-
cosx=2
sin(x-φ),φ∈(-π,π),则φ=( )
A.-
B.
C.
D.-
4.(2010·烟台调研)已知sin
=
,则sin2x的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知cos
=
,则sin
-cos
的值是( )
A.
B.-
C.
D.
二、填空题
6.函数y=2cos
x+sin2x的最小值是________.
7.(2010·汕头二模)若0<α<
<β<π,且cosβ=-
,
sin(α+β)=
,则cosα=________.
8.已知α、β为锐角,且cosα=
,cos(α+β)=-
,则β的值为________.
三、解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分)
9.已知tan
=
.
(1)求tanα的值;
(2)求
的值.
10.(2010·湖南卷)已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.
11.如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐
角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已
知A、B两点的横坐标分别为
、
.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的大小.
12.(2010·珠海质量检测)已知函数
.
(1)求f
的值;
(2)当x∈
时,求g(x)=f(x)+sin2x的最大值和最小值.
答案
1解析:
y=2cos
-1=cos
=sin2x∴周期为π的奇函数.答案:
A
2解析:
tan70°+tan50°-
tan70°·tan50°=tan120°(1-tan70°·tan50°)-
tan70°·tan50°=-
.答案:
D
3解析:
2
sin(x-φ)=2
(sinxcosφ-cosxsinφ)=3sinx-
cosx,∴cosφ=
,sinφ=
.又φ∈(-π,π),
∴φ=
.答案:
B
4解析:
sin2x=cos
=cos2
=1-2sin
=1-2×
=
.答案:
A
5解析:
sin
-cos
=1-cos2
+cos
=
.答案:
A
6解析:
y=(2cos
x-1)+sin2x+1=cos2x+sin2x+1=
sin
+1∴y的最小值为1-
.答案:
1-
7解析:
∵0<α<
<β<π,∴
<α+β<
,∴sinβ=
,
cos(α+β)=-
,∴cosα=cos[(α+β)-β]
=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ
=
×
+
×
=
.答案:
8解析:
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=
×
+
×
=
.∴β=
.答案:
9解:
(1)由tan
=
=
.解得tanα=-
.
(2)
=
=tanα-
=-
.
10解:
(1)因为f(x)=sin2x-(1-cos2x)=
sin
-1.
所以函数f(x)的最小正周期为T=
=π.
(2)由
(1)知,当2x+
=2kπ+
,即x=kπ+
(k∈Z)时,f(x)取最大值
-1.因此函数f(x)取最大值时x的集合为
.
11、解:
(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cosα=
,cosβ=
.
因为α为锐角,故sinα>0,
从而sinα=
=
,同理可得sinβ=
,
因此tanα=7,tanβ=
.
所以tan(α+β)=
=
=-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=
=-1.
又0<α<
,0<β<
,故0<α+2β<
,从而由tan(α+2β)=-1得α+2β=
.
12解:
f(x)=
=
=2cos
x+1-2=2cos
x-1=cos2x.
(1)f
=cos2
=cos
=cos
=
.
(2)g(x)=cos2x+sin2x=
sin
.
由0≤x<
,故
≤2x+
<
,
∴
≤sin
≤1,1≤
sin
≤
.
即g(x)的最小值是1,最大值是
.