概率论课本作业第一章.docx

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概率论课本作业第一章

第一章

1、一般事件（复合事件）：

由不止一个样本点做成的事件。

以下哪些试验是随机试验。

（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；

（2）记录某电话传呼台在一分钟内接到的呼叫次数；

（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；

（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；

（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置。

：

（1）

（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验。

2、写出下列随机试验的样本空间。

（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；

（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；

（3）记录某汽车站在5分钟内到达的乘客数；

（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；

（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；

（6）观察一次地震的震源；

：

（1）

{1,2,3,4,5}；

（2）

{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；

（3）

{0,1,2,3,4...}

（4）

其中x表示灯泡的寿命；

（5）

其中x、y分别表示弹着点的横坐标、纵坐标；

（6）

其中x、y、z分别表示震源的经度、纬度、离地面的深度。

3、抛掷一个骰子，观察出现的点数。

用A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数大于4”，C表示“出现的点数为3”,D表示“出现的点数大于6”，E表示“出现的点数不为负数”，

（1）写出实验的样本空间；

（2）用样本点表示事件A、B、C、D、E；

（3）指出事件A、B、C、D、E何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。

:

（1）

{1,2,3,4}；

（2）

{1，3，5}，

{5，6}，

{3}，

，

{1，2，3，4，5，6}；

（3）C为基本事件，E为必然事件，D为不可能事件。

1．先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，请写出样本空间。

1．答案：

2．10个产品，其中2个次品，现从中任取3个产品，用A表示“取到的3个中恰有一个次品”，B表示“取到的3个中没有次品”，C表示“取到的3个都是次品”，D表示“取到的3个中次品数小于3”。

（1）写出样本空间；

（2）用样本点表示事件；

（3）指出事件A、B、C、D何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。

2．答案：

（1）

其中：

0表示正品，1表示次品；

（2）

，

，

，

；

（3）B为基本事件，D为必然事件，C为不可能事件。

：

设

、

、

为三个事件，用

、

、

的运算式表示下列事件：

（1）

发生而

、

都不发生；

（2）

与

发生而

不发生；

（3）

、

、

三事件都发生；

（4）这三个事件恰好发生一个；

（5）这三个事件至少发生一个；

（6）这三个事件至多有一个不发生。

：

（1）

或

或

；

（2）

或

或

；

（3）

；

（4）

；

（5）

或

；

（6）

。

：

试证：

（1）

；

（2）

；

（3）

； 

：

（1）右边

=左边；同理可证

（2），（3）。

一、判断题

1．“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生。

（B）

A正确

B错误

2．从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示“抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示“抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。

（B）

A正确

B错误

二、单项选择题

设A、B为二事件，事件

可化简为。

（D）

AA

BB

CA-B

DB-A

：

抛掷二次硬币，求结果都是反面的概率。

：

设事件

=“二次抛掷均出现反面在上”，

{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，因样本空间有限，且每种结果发生的可能性相同，故是古典概型；

=｛（反，反）｝，此时，

，

，故

。

一、计算题

1．抛掷三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。

1．答案：

7/8

2．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。

答案：

1/2

3．抛两个骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为6；

（2）点数之和不超过6；

（3）至少有一个6点。

答案：

（1）5/36

（2）5/12（3）11/36

：

把七个不同的球扔进四个有号码的盒子，每个球落在任何一个盒子的机会是相等的，那么第一个盒子恰好有两个球的概率是多少？

：

由盒子模型问题

（2）知，所求概率为：

：

袋中有

只黑球，

只白球，从中依次不放回地模三次，每次摸一个球，求下列事件的概率：

（1）A=“仅第二次摸得黑球”；

（2）B=“三次中恰有一次摸得黑球”；

（3）C=“至少有一次摸得黑球”。

：

（1）关心的事件与顺序有关，仿抽签问题做法，应该算排列，得

；

（2）关心的事件与顺序无关，仿超几何概率问题做法，应该算组合，得

；

（3）利用概率的可加性，不考虑顺序，得

或

。

一、填空题

1.一袋中有编号为0，1，2，…，9的球共10只，某人从中任取3只球，则

（1）取到的球最小号码为5的概率为；

（2）取到的球最大号码为5的概率为。

2.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则

（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；0.1

（2）“第一卷出现在旁边”的概率为。

0.4

二、单项选择题

1．袋中装有1，2，…，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（A）。

A

B

C

D

2.从6双不同的手套中任取4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（B）。

A

B

C

D

1：

在圆内取一直径EF，然后在EF上随机的取一点为中心作弦，可得其概率为

。

2：

设弦AB的一端固定在圆上，另一端在圆上随机的取一点作弦，可得其概率为

。

3：

在半径为

的同心圆内任取一点，以它为中心作弦，可得其概率为

。

：

两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去，试求这两个人能会面的概率。

：

以

，

分别表示两人到达的时刻，有

“两人能会面”

“

”。

将

，

作图（如上）。

这是一个几何概率问题

=5/9

：

如图,设

“任投一针与平行线相交”。

又设

表示针的中点与最近一条平行线的距离，

表示针与最近一条平行线的交角。

显然

　，

。

一、计算题

1．在长度为

的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。

1．解：

设

分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为

，则

，

又设

=“三条线段能构成一个三角形”

=

=

的面积为

，则

。

窗体底端窗体底端

2．在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R的概率。

2．解：

设

表示弦与垂直于弦的直径的交点到圆点O的距离，则

，

又设

=“弦长大于R”

=

故

：

抛掷一枚均匀的硬币，样本空间为：

　其中

=（正面），

=（反面），

。

：

（德.梅尔问题）一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到？

：

设

“一颗骰子投4次至少得到一个六点”，则

“一颗骰子投4次都没有出现六点”。

因而

；

又设

“两颗骰子投24次至少得到一个双六”，有

于是我们知道，前者机会大于后者的机会。

：

已知事件A、B、A∪B分别为0.4，0.3，0.6，求

。

：

。

1．一口袋中装有

只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第

次摸球时摸到黑球的概率是多少？

1．解：

设

“第

次摸球摸到黑球”，

“第

次摸球摸到白球”=“前

－1次摸到为黑球，第

次摸到为白球”，故

　　故

。

1．若A、B为二事件，

，则

0.7

一、单项选择题

1.

，

，

，

（A）。

A

B

C

D

2.设

，则必有（A）。

A

B

C

D

1．设

则

r-q

2.在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。

在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则

（1）“只订A报及B报的”概率为0.07

；

（2）“只订A报的”概率为0.3

：

设有100件产品中有5件是不合格品，用下列2种方法抽取2件，求2件都是合格品的概率。

1．不放回顺序抽取；

2．放回顺序抽取。

：

设

“第

次抽出为合格品”。

（1）

；

（2）

。

：

（波利亚pólya罐模型）罐中

只黑球及

只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球

只，再摸第二次，这样下去共摸了

次，问前面的

次出现黑球，后面的

次出现红球的概率是多少？

：

设

“第

次取出为黑球”，

=1，2，…，

，所求概率为：

1．设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球（不放回）,则三只球依次为黑白黑的概率为

2．设随机事件A的概率为P（A）=0.5,随机事件B的概率为P（B）=0.4，条件概率

，则

=0.8

二、计算题

1．甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，已知甲市下雨的情况下，求乙市下雨的概率。

1．解：

设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”

2．假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：

（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。

2．解：

设A:

表示“甲河泛滥”，B:

表示“乙河泛滥”，

（1）

（2）

一、计算题

1．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,求目标被击毁的概率。

1．解：

设A表示“目标被击中”，

表示“炮弹距目标250米射出”，

表示“炮弹距目标200米射出”，

表示“炮弹距目标150米射出”，

：

在数字通讯中，由于存在着随机干扰，因此接到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常要计算各种概率。

现发报机以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于受到随机干扰的影响，发出信号0时收到信号为0和1的概率分别为0.8和0.2，同样，发出信号1时，收到信号为1和0的概率分别为0.9和0.1，求当收到信号0时，原发信号也是0的概率。

：

设

“发出0”，

“收到0”，由贝叶斯公式：

：

假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。

用

表示“被检验者患有肝癌”，

表示“血清甲胎球蛋白检验为阳性”。

已知

，又设在自然人群中

，现若有一人在此检验中检查结果为阳性，求此人真正患有肝癌的概率

。

=0.0038

性质1：

若事件

、

独立，且

，则

证明：

由条件概率定义得：

性质2：

若事件

与

独立，则下列各对事件也相互独立。

：

由

故

与

独立。

同理可得另外两对。

：

设A、B为两个随机事件，且

，证明：

若

，则A与B相互独立。

：

由定义知，A与B相互独立。

：

设甲、乙两射手独立地同时射击一目标，他们击中目标的概率分别为0.9，0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。

：

设

=“目标被击中”，

=“甲击中目标”，

=“乙击中目标”

则

；

由题意

与

相互独立，故有

＝0.9＋0.8－0.90.8＝0.98。

另解：

二、多个事件的独立性

：

（三个事件的独立性）：

设有三个事件

，若

（2）　　　

成立，则称三事件

相互独立。

事实上，定义中的

（1）、

（2）不能相互代替。

一般地有

：

（

个事件的独立性）：

设有

个事件

，…

，若对于所有的组合

，都有

成立，则称事件

相互独立。

在解决实际问题中，常常可以根据实际情况判断事件的独立性，然后利用定义去计算这些事件乘积的概率。

：

假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。

：

设

=“第

个人的血清中含有肝炎病毒”，

。

由题意知若

相互独立，所求概率为

一、单项选择题

1．对事件A、B，下列说法正确的是（D）。

A若A与B互不相容，则

与

也互不相容

B若A与B相容，则

与

也相容

C若A与B互不相容，则A与B相互独立

DA与B相互独立，则

与

也相互独立

2．设事件

、

的概率均大于零，且

与

互为逆事件（或对立事件），则有（B）。

A

与

相互独立

B

与

互不相容

C

与

相等

D

包含

或

包含

二、判断题

1．设A、B、C为三事件，若它们两两独立，则它们必相互独立。

（B）

A正确

B错误

2．设

，若A与B互不相容，则A与B必不相互独立。

（A）

A正确

B错误

三、证明题

1.设A、B、C三事件相互独立，证明：

（1）

与C相互独立；

（2）

与C相互独立。

1．证明:

（1）

由定义知

与C相互独立。

（2）

由定义知

与C相互独立。

：

若在

件产品中有

件废品，现进行

次有放回的抽样检查，问共抽得

件废品的概率是多少？

：

由于抽样是有放回的。

因而每次是否抽得废品与其它各次是否抽得废品无关。

若将每一次抽取看成一次试验，则

次有放回的抽取可看成

次重复独立试验，且抽到为废品的概率均为

，因而是贝努里概型。

于是所求概率为

，

。

：

设有8门大炮独立地同时向一目标各发一弹，若有不少于2发炮弹击中目标，目标算作被击毁。

如果每门炮命中目标的概率为0.6，求击毁目标的概率是多少？

：

将每门炮的一次射击结果看成一次试验，且每门炮击中与否是相互独立的，故本问题可看成

=8的贝努里试验，且

（击中）=0.6，于是所求概率为

。

一、计算题

1．掷硬币出现正面的概率为P，掷了n次，求下列事件的概率：

（1）至少出现一次正面；

（2）至少出现两次正面。

1．解：

设

表示第

次出现正面，则

（1）

（2）

2．最近来某房产公司的100为顾客中有一位顾客购买了该公司的一所房子，根据这个比例，在接下来到的50位顾客中恰好有一位购买该公司房子的概率是多少？

2．解：

。