最新高中数学抛物线高考经典例题优秀名师资料.docx
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最新高中数学抛物线高考经典例题优秀名师资料
高中数学抛物线_高考经典例题
1抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.2抛物线的图形和性质:
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距:
FK?
p
③通径:
过焦点垂直于轴的弦长为2p。
④顶点平分焦点到准线的垂线段:
OF?
OK?
⑤焦半径为半径的圆:
以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F、
准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆:
以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样
的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆:
以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式:
y2?
2px,y2?
?
2px,x2?
2py,x2?
?
2py。
4抛物线y2?
2px的图像和性质:
①焦点坐标是:
?
,0?
,
②准线方程是:
x?
?
③焦半径公式:
若点P(x0,y0)是抛物线y2?
2px上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:
PF?
x0?
?
x2?
?
x1?
x2?
p22
④焦点弦长公式:
过焦点弦长PQ?
x1?
⑤抛物线y?
2px上的动点可设为P(?
y?
)或P(2pt,2pt)或P(x?
y?
)其中y?
?
2px?
抛物线的定义:
例1:
点M与点F(-4,0)的距离比它到直线l:
x-6=0的距离4.2,求点M的轨迹方分析:
点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义.
答案:
y=-16x
例2:
斜率为
的直线l经过抛物线y=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、长.
分析:
这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:
把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.
解:
如图8-3-1,y=4x的焦点为F(1,0),则l的方程为y=x-1.
?
y2?
4x2由?
消去y得x-6x+1=0.?
y?
x?
1
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=6.又A、B两点到准线的距离为A?
,B?
,则
AA?
?
BB?
?
?
x1?
1?
?
?
x2?
1?
?
?
x1?
x2?
?
2?
6?
2?
8
点评:
抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。
例3:
(1)已知抛物线的标准方程是y=10x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点是F(0,3)求它的标准方程;
(3)已知抛物线方程为y=-mx(m>0)求它的焦点坐标和准线方程;(4)求经过P(-4,-2)点的抛物线的标准方程;
分析:
这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p>0).特别
是(3)题,要先化为标准形式:
x?
?
y,则2p?
.(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解.
答案:
(1)F?
,0?
,x?
?
?
2?
?
511?
?
222
y?
.
(2)x=12y(3)F?
0,?
,;(4)y=-x或x=-8y.?
24m4m?
?
例4求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上
分析:
从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论解:
(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),∵过点(-3,2),
∴4=-2p(-3)或9=2p·2∴p=
2或p3∴所求的抛物线方程为y2=-
491x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=323
(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2当焦点为(4,0)时,
=4,2p
=2,2
∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;焦点为(0,-2)时,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2常用结论
①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A(x1,y),1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点,则AB过F的充要条件是y1y2=-p2
③设A,B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点,则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)
例5:
过抛物线y=2px(p>0)的顶点O作弦OA⊥OB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:
y1y2=-4p.
分析:
由OA⊥OB,得到OA、OB斜率之积等于-1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证:
由OA⊥OB,得KOA?
KOB
y1y2y12y2y12y2
,x2?
,所以:
x1x2?
,即?
?
?
?
1,即y1y2=-x1x2,又x1?
x1x22p2p4p2
y12y22
.而yy1y2?
?
1y2≠0.所以y1y2=-4p.4p2
例1A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足OA?
OB(O为坐标原点)
(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;
(2)直线AB经过一个定点(3)作OM?
AB于M,求点M的轨迹方程解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA?
OB,∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得:
x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值
(2)直线AB的斜率k=
y2?
y1y2?
y12p
=2=,2
x2?
x1y2y1y1?
y2
?
2p2p
y122p
∴直线AB的方程为y─y1=(x─),
y1?
y22p
即y(y1+y2)─y1y2=2px,由
(1)可得y=直线AB过定点C(2p,0)
(x─2p),
y1?
y2
(3)解法1:
设M(x,y),由
(2)知y=
(x─2p)(i),
y1?
y2
·=─1(ii)xy1?
y2
又AB?
OM,故两直线的斜率之积为─1,即
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0(x?
0)解法2:
由OM?
AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点立即可求出
例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标解:
如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=
x1?
x2y?
y2
y=1,
又设点A,B,M在准线l:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N,则|AF|=|AA/|=x1+
|BF|=|BB/|=x2+,44
11111∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)?
(|AB|─22222等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─
?
y?
k(x?
)由?
4得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0?
y2?
x?
?
1?
k2
依题意|AB|=?
k|x1─x2|=?
k×==3,22
8(k2?
2)1
∴k=1/2,此时x=(x1+x2)=
22?
16k22
5522M(,),N(,─)4242
例3A(2,0)且与抛物线y?
x2?
2相交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影分别为B1,C1,P是线段BC
上的点,且适合
BB1BP?
求?
POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形PCCC1
解析:
设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)
BB1yBP?
?
1?
?
?
y0?
PCCC1y2
?
y2y22y1y2
?
y1y1?
y21?
?
y?
x2?
2222由?
得y?
(k?
4k)y?
6k?
0?
y?
k(x?
2)
2?
6k212k
?
y0?
2?
①
k?
4kk?
4
?
k代入①式得y0?
4x0?
4②
x0?
2?
x?
?
?
x0?
3x?
2?
3由?
得?
代入②式得:
12x?
3y?
4?
0
y?
3yy?
0?
y?
0
由?
?
0得k?
4?
26或k?
4?
26,又由①式知y0关于k是减函数且y0?
12
?
12?
46?
y0?
12?
4,
?
y?
4?
且y?
433
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
12x?
3y?
4?
0
?
y?
4?
且y?
4)33
例4已知抛物线y?
2px,(p?
0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF?
BF?
8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)①求抛物线方程;②求?
ABS面积的最大值解:
①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0)
综合类(几何)
例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
2解:
思路一:
求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,为此,将方程y?
2px,y?
k(x?
p)联立,2
p(k2?
1?
1)2p(1?
k2?
1)p(k2?
1?
1)2p(1?
k2?
1)P(,),Q(,)kk2k22k2
直线OP的方程为y?
2k(1?
k2?
1)
(k2?
1?
1)2?
2(1?
k2?
1)x,即y?
x.k
p(1?
k2?
1)p令x?
?
,得M点纵坐标yM?
?
yQ得证.2k
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.
思路二:
利用命题“如果过抛物线y2?
2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为y1、y2,那么y1y2?
?
p2”来证.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3),并从y2?
2px及y?
k(x?
p)中消去x,得到ky2?
2py?
kp2?
0,则有结论2
.y1y2?
?
p,即y2?
y12
又直线OP的方程为y?
?
py1py1.x,x?
?
,得y3?
22x1x1
2y因为P(x1,y1)在抛物线上,所以2x1?
1.p
py1pp2
从而y3?
?
(?
py1)?
2?
?
?
y2.2x1y1y1
这一证法运算较小.
2yp思路三:
直线MQ的方程为y?
yo的充要条件是M(?
y0),Q(0,y0).22p
将直线MO的方程y?
?
2py2y0p和直线QF的方程y?
202(x?
)联立,它的解(x,y)就是点P的坐标,消去yo的p2yo?
p
充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.
说明:
本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.
例2已知过抛物线y?
2px(p?
0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.
分析:
求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以AB为三角形的底,只要确定高的最大值即可.解:
设AB所在的直线方程为y?
x?
2p.2
将其代入抛物线方程y2?
2px,消去x得y2?
2py?
p2?
0
?
AB?
2y1?
y2?
2?
(y1?
y2)2?
4y1y2?
4p
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为y?
x?
b.代入抛物线方程得y2?
2py?
2pb?
0
由?
?
4p2?
8pb?
0,得b?
∴△RAB的最大面积为pp2,这时R(,p).它到AB的距离为h?
p2221AB?
h?
2p2.2
例3直线l1过点M(?
1,0),与抛物线y2?
4x交于P1、P2两点,P是线段P1P2的中点,直线l2过P和抛物线的焦点F,设直线l1的斜率为k.
(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);
(2)求出f(k)的定义域及单调区间.
分析:
l2过点P及F,利用两点的斜率公式,可将l2的斜率用k表示出来,从而写出f(k),由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间.
解:
(1)设l1的方程为:
y?
k(x?
1),将它代入方程y2?
4x,得
k2x2?
(2k2?
4)x?
k2?
0
4?
2k22?
k2
x?
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y),则x1?
x2?
22kk
2?
k22?
k222,).将x?
代入y?
k(x?
1)得:
y?
,即P点坐标为(kk2k2k
k2由y?
4x,知焦点F(1,0),∴直线l2的斜率k2?
?
222?
k1?
k?
1k2
∴函数f(k)?
1.21?
k
224
(2)∵l2与抛物线有两上交点,∴k?
0且?
?
(2k?
4)?
4k?
0
解得?
1?
k?
0或0?
k?
1
∴函数f?
(k)的定义域为k?
1?
k?
0或0?
k?
1
当k?
(?
1,0)时,f(k)为增函数.
例4如图所示:
直线l过抛物线y?
2px的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:
对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.
分析:
本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;
别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.
证法一:
假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.
2设C、D的坐标分别为(2pt12,2pt1)与(2pt2,2pt2).则kCD?
1t1?
t2
∴l的方程为y?
?
(t1?
t2)?
(x?
∵直线l平分弦CDp)2
22∴CD的中点(p(t1?
t2),p(t1?
t2))在直线l上,22即p(t1?
t2)?
?
(t1?
t2)[p(t1?
t2)?
22由p(t1?
t2)?
0知t1?
t2?
p12],化简得:
p(t1?
t2)(t12?
t2?
)?
0221?
0得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.2
证法二:
假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上,∴CF?
DF
由抛物线定义,C(x1,y1),D(x2,y2)到抛物线的准线x?
?
∵x1?
x2,y1?
?
y2,
∴CD的垂直平分线l:
y?
0与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.
例5设过抛物线y2?
2px(p?
0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.分析:
求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点(x0,y0);待求得x0、y0的关系后再用动点坐标(x,y)来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.
解法一:
设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
2y12?
y2则:
y?
2px1,y?
2px2,?
x1x2?
24p2
122p的距离相等.2
?
OA?
OB,?
kOA?
kOB?
?
1即x1x2?
y1y2?
0
2y12y2?
?
y1y2?
04p2
?
y1y2?
0,?
y1y2?
?
4p2①
把N点看作定点,则AB所在的直线方程为:
y?
y0?
?
2x0(x?
x0),显然x0?
0y0yy?
(x?
y0)222代入y?
2px,化简整理得:
x0y2?
2py0y?
2p(x0?
y0)?
0?
x?
0
22?
2p(x0?
y0)②?
x0?
0,?
y1y2?
x0
22?
2p(x0?
y0)22由①、②得:
?
4p?
,化简得x0?
y0?
2px0?
0(x0?
0)x02
用x、y分别表示x0、y0得:
x2?
y2?
2px?
0(x?
0)
解法二:
点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设A(2pt2,2pt),则以OA为直径的圆方程为:
(x?
pt2)2?
(y?
pt)2?
p2(t4?
t2)
x2?
y2?
2pt2?
2pty?
0①
设B(2pt1,2pt1),OA⊥OB,则t1t?
?
1?
t1?
?
在求以OB为直径的圆方程时以?
代t1,可得21t1
t2(x2?
y2)?
2px?
2pty?
0②
由①+②得:
(1?
t2)(x2?
y2?
2px)?
0
?
x2?
y2?
2px?
0(x?
0)
例6如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N?
l1,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形,AM?
7,AN?
3,且BN?
6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
分析:
因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.
解:
以l1为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.
由题意,曲线段C是N为焦点,以l2为准线的抛物线的一
的两端点.
∴设曲线段C满足的抛物线方程为:
段,其中A、B分别为曲线段
y2?
2px(p?
0)(xA?
x?
xB,y?
0),其中xA、xB为A、B的横坐标令MN?
p,则M(?
pp,0),N(,0),?
AM?
AN?
322
?
(x?
?
?
A
∴由两点间的距离公式,得方程组:
?
?
(x?
A?
?
?
p?
4?
p?
2解得?
或?
x?
1x?
2?
A?
A
∵△AMN为锐角三角形,∴p2)?
2pxA?
172p2)?
2pxA?
92p?
xA,则p?
4,x
A?
12
?
2P?
2p?
8?
2p(1?
p)
?
0?
p?
1,∴当p?
11时,S?
ABQ取最大值.22
例8已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,且点A(?
1,0)和点B(0,8)关于直线l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.
分析:
设出直线l和抛物线C的方程,由点A、B关于直线l对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设?
B'Ox?
?
,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一:
设抛物线C的方程为y2?
2px(p?
0),直线l的方程为y?
kx(k?
0),
则有点A(?
1,0),点B(0,8)关于直线l的对称点为A'(x1,y1)、B'(x2,y2),2x1?
1?
y1?
k?
1?
k?
x?
?
?
2?
2?
1k2?
1则有?
解得?
y?
1?
k?
?
1,?
y?
?
2k;1?
?
k2?
1?
?
x1?
1
x216k?
y2?
8?
?
k?
x?
2?
?
2?
2?
k2?
1解得?
?
y?
82?
2?
y?
8(k?
1).?
k?
?
1,2?
?
k2?
1?
?
x2
如图,A、B在抛物线上
?
4k2k2?
1?
2p?
2,?
22k?
1?
(k?
1)∴?
22?
64(k?
1)?
2p?
16k.22?
k2?
1?
(k?
1)
2两式相除,消去p,整理,得k?
k?
1?
0,故k?
1?
5,2
由p?
0,k?
0,得k?
1?
51?
25.把k?
代入,得p?
.225
∴直线l的方程为y?
41?
5x.x,抛物线C的方程为y2?
52
''解法二:
设点A、B关于l的对称点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
''又设?
B'Ox?
?
,依题意,有OA?
OA?
1,OB?
OB?
8.
故x2?
8cos?
,y2?
8sin?
.
由?
BOA?
90?
,知?
B'OA'?
90?
.
∴x1?
cos(?
?
90?
)?
sin?
,y1?
sin(?
?
90?
)?
?
cos?
.
又x1?
0,x2?
0,故?
为第一象限的角.
∴A'(sin?
?
cos?
)、B'(8cos?
8sin?
).
2?
?
cos?
?
2psin?
将A、B的坐标代入抛物线方程,得?
2?
?
64sin?
?
16pcos?
.''
33∴8sin?
?
cos?
,即tan?
?
12从而sin?
?
,cos?
?
,255
∴p?
4525,得抛物线C的方程为y2?
x.55
90?
?
?
?
?
?
45?
.22'又直线l平分?
BOB,得l的倾斜角为?
?
∴k?
?
45?
)?
?
2sin(?
?
90?
)cos?
1?
.?
?
1?
cos(?
?
90?
)1?
sin?
2
∴直线l的方程为y?
1?
x.2
(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到.
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.
例9如图,正方形ABCD的边AB在直线l:
y?
x?
4上,C、D两点在抛物线y?
x上,求正方形ABCD的面积.
分析:
本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.
解:
∵直线AB:
y?
x?
4,AB//CD,∴设CD的方程为y?
x?
b,且C(x1,y1)、D(x2,y2).
?
y2?
x2由方程组?
,消去x,得y?
y?
b?
0,于是?
y?
x?
b
y1?
y2?
1,y1y2?
b,∴CD?
1?
∴CD?
1y1?
y2(其中k?
1)2k2?
(y1?
y2)2?
4y1y2?
2(1?
4b).
由已知,ABCD为正方形,CD?
AD,∴CD可视为平行直线AB与CD间的距离,则有
CD?
4?
b
2,于是得2(1?
4b)?
4?
b
两边平方后,整理得,b2?
8b?
12?
0,∴b?
?
6或b?
?
2.
当b?
?
6时,正方形ABCD的面积S?
CD?
2(1?
24)?
50.
当b?
?
2时,正方形ABCD的面积S?
CD?
2(1?
8)?
18.
∴正方形ABCD的面积为18或50.
说明:
运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.
4例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为d?
10km22
时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30?
,求这彗星与地球的最短距离.
分析:
利用抛物线有关性质求解.
解:
如图,设彗星轨道方程为y2?
2px,p?
0,焦点为F(p,0),2
彗星位于点P(x0,y0)处.直线PF的方程为y?
p(x?
).
?
y2?
2px,(7?
43)p?
解方程组?
得,x?
3p2(x?
),?
y?
32?
故x0?
(7?
4)p.2
2p2(7?
43)pp|x0?
|?
|?
|?
(4?
2)p.32322
2?
d.2PF?
故(4?
23)p?
d,得p?
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为
p2?
2?
2?
(P点在F点的左边与右边时,所?
d,所以彗星与地球的最短距离为d?
104km或d?
104km,2444
求距离取不同的值).
(1)此题结论有两个,不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论:
顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:
设P(x0,y0)为抛物线y2?
2px上一点,焦点为F(pppp,0),准线方程为x?
?
,依抛物线定义,有PF?
?
x0?
(x0?
0),当x0?
0时,2222
PF最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11如图,抛物线顶点在原点,圆x2?
y2?
4x的圆心是抛物线的焦点,直线l过抛物线的焦点,且斜率为2,直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点,求AB?
CD的值.
分析:
本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把AB?
CD转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解:
由圆的方程x2?
y2?
4x,即(x?
2)2?
y2?
4可知,圆心为F(2,0),半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为F(2,0),设抛物线方程为y?
8x,2
AB?
CD?
AD?
BC∵BC为已知圆的直径,∴BC?
4,则AB?
CD?
?
4.
设A(x1,y1)、D(x2,y2),∵AD?
AF?
,而A、D在抛物线上,
由已知可知,直线l方程为y?
2(x?
2),于是,由方程组
?
y2?
8,2消去y,得x?
6x?
4?
0,∴x1?
x2?
6.?
?
y?
2(x?
2).
∴?
6?
4?
10,因此,?
CD?
10?
4?
6.
说
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