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中考数学分类梯形
2012年全国各地中考数学真题分类汇编
梯形
一.选择题
1.(2012无锡)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于( )
A.17B.18C.19D.20
考点:
梯形;线段垂直平分线的性质.
分析:
由CD的垂直平分线交BC于E,根据线段垂直平分线的性质,即可得DE=CE,即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD,继而求得答案.
解答:
解:
∵CD的垂直平分线交BC于E,
∴DE=CE,
∵AD=3,AB=5,BC=9,
∴四边形ABED的周长为:
AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17.
故选A.
点评:
此题考查了线段垂直平分线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键.
2.(2012呼和浩特)已知:
在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是
A.25B.50C.25
D.
【解析】作DE∥AC,交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F.
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AD∥CE,AC=BD
又∵DE∥AC,AC⊥BD
∴四边形ACED是平行四边形,BD⊥DE
∴DE=AC,AD=CE=3
∴△BDE是等腰直角三角形
又∵DF⊥BE
∴BF=EF=DF=
BE=
(BC+CE)=
(BC+AD)=
(7+3)=5
∴S梯形ABCD=
(AD+BC)·DF=
(3+7)×5=25
【答案】A
【点评】本题考查了梯形作辅助线的方法,见对角线互相垂直,则平移对角线,利用平移后形成的直角三角形求解.此题关键是做辅助线的方法.
3.(2012•台湾)如图,梯形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,E点在CD上,且DE:
EC=1:
4.若AB=5,BC=4,AD=8,则四边形ABCE的面积为何?
( )
A.
24
B.
25
C.
26
D.
27
考点:
直角梯形;三角形的面积.
分析:
首先连接AC,由梯形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,AB=5,BC=4,AD=8,即可求得梯形ABCD与△ABC的面积,继而可得△ACD的面积,又由DE:
EC=1:
4,则可求得△ACE的面积,则可求得四边形ABCE的面积.
解答:
解:
连接AC,
∵梯形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,AB=5,BC=4,AD=8,
∴S梯形ABCD=•(AD+BC)•AB=
=30,
S△ABC=AB•BC=×5×4=10,
∴S△ACD=30﹣10=20,
∵DE:
EC=1:
4,
∴S△ACE=20×=16,
∴S四边形ABCE=10+16=26.
故选C.
点评:
此题考查了直角梯形的性质,直角三角形的性质以及等高三角形的面积问题.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用,注意等高的三角形面积的比等于其对应底的比.
4.(2012临沂)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC.BD相交于点O,下列结论不一定正确的是( )
A.AC=BD B.OB=OC C.∠BCD=∠BDC D.∠ABD=∠ACD
考点:
等腰梯形的性质.
解答:
解:
A.∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
故本选项正确;
B.∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB,
在△ABC和△DCB中,
∵
,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC,
故本选项正确;
C.∵无法判定BC=BD,
∴∠BCD与∠BDC不一定相等,
故本选项错误;
D.∵∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ACD.
故本选项正确.
故选C.
5.(2012•烟台)如图,在平面直角坐标中,等腰梯形ABCD的下底在x轴上,且B点坐标为(4,0),D点坐标为(0,3),则AC长为( )
A.4 B.5 C.6 D.不能确定
考点:
等腰梯形的性质;坐标与图形性质;勾股定理.
专题:
数形结合.
分析:
根据题意可得OB=4,OD=3,从而利用勾股定理可求出BD,再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值.
解答:
解:
如图,连接BD,
由题意得,OB=4,OD=3,
故可得BD=5,
又ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD=5.
故选B.
点评:
此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理,解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质,难度一般.
6.(2012•广州)如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于点E,且EC=3,则梯形ABCD的周长是( )
A.26 B.25 C.21 D.20
考点:
等腰梯形的性质;平行四边形的判定与性质.
分析:
由BC∥AD,DE∥AB,即可得四边形ABED是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,即可求得BE的长,继而求得BC的长,由等腰梯形ABCD,可求得AB的长,继而求得梯形ABCD的周长.
解答:
解:
∵BC∥AD,DE∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴BE=AD=5,
∵EC=3,
∴BC=BE+EC=8,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC=4,
∴梯形ABCD的周长为:
AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.
故选C.
点评:
此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质.此题比较简单,注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键,同时注意数形结合思想的应用.
7.(2012无锡市)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于()
A.17B.18
C.19D.20
【解析】利用垂直平分线的性质可以知道DE=EC,把求四边形ABED的周长问题转化为求已知三条线段的和.
四边形ABED的周长等于AD+AB+DE+BE=AD+AB+BE+EC=AD+AB+BC=3+5+9=17.
【答案】A
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,也考查学生的转化能力.
8.(2012咸宁)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,
,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当
,
时,四边形BGEF的周长为.
【解析】先依条件“EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G”得出四边形BGEF是平行四边形,再由“BE平分∠ABC且交CD于E”得出∠FBE=∠EBC,由EF∥BC可知,∠EBC=∠FEB,故∠FBE=FEB,进一步判断出四边形BGEF是菱形,后根据E为CD的中点,AD=2,BC=12,可求出EF的长.
【答案】28
【点评】本题主要考查了梯形中位线定理及菱形的判定与性质,解题关键在于判断出四边形BGEF是菱形.
9.(2012北海)6.如图,梯形ABCD中AD//BC,对角线AC、BD相交于点O,若AO∶CO=2:
3,AD=4,则BC等于:
()
A.12B.8C.7D.6
【解析】根据AD//BC易知△AOD∽△COB,相似比为2:
3,所以当AD=4时,BC=6.
【答案】D
【点评】本题考查的是梯形的性质和相似三角形的判定和性质,属于简单几何题型.
10.(2012达州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,则下列结论:
①EF∥AD;②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF.其中正确的个数是
A、1个B、2个C、3个D、4个
解析:
由梯形中位线性质,可知EF∥AD∥BC,则可得G、H分别是BD、AC中点,因此①、④、⑤正确,由同底等高可得S△ABC=S△DBC,则②,若③成立,则可推出梯形是等腰梯形,而梯形ABCD并不是等腰梯形,因此选D.
答案:
D
点评:
本题涉及了梯形中位线的性质、三角形中位线判定及性质,同底等高三角形面积的变换等知识点,考查了学生简单的推理及逻辑思维能力.
二.填空题
11.(2012中考)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90º,AB=7cm,BC=3cm,AD=4cm,则CD=2cm.
【考点】梯形;勾股定理.
【分析】作DE∥BC于E点,得到四边形CDEB是平行四边形,根据∠A+∠B=90°,得到三角形ADE是直角三角形,利用勾股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长.
【解答】解:
作DE∥BC于E点,
则∠DEA=∠B
∵∠A+∠B=90°
∴∠A+∠DEA=90°
∴ED⊥AD
∵BC=3cm,AD=4cm,
∴EA=5
∴CD=BE=AB-AE=7-5=2cm,
故答案为2.
【点评】本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识,解题的关键是正确的作出辅助线.
12.(2012内江)如图8,四边形ABCD是梯形,BD=AC且BD⊥AC,若AB=2,CD=4,则S梯形ABCD= .
【解析】如下图所示,过点B作BE∥AC,与DC的延长线交于点E,BF⊥DE于F.接下来,可证得△BDE是等腰直角三角形,BF=
DE=
(DC+CE)=
(DC+AB)=
(2+4)=3,所以S梯形ABCD=
(AB+DC)·BF=
(2+4)·3=9.
【答案】9
【点评】在等腰梯形问题中,如果有对角线互相垂直条件,将其中一条对角线进行平移产生辅助线是常用解题思路.事实上,对角线互相垂直的等腰梯形的高等于其上、下底和的一半.解决此题,还可以证明△AOB和△COD是等腰直角三角形,在求得AC、BC长后,利用S梯形ABCD=△ACD+△ACB=
AC·BD解答.
13.(2012黄冈)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=CD=5,∠B=60°,则下底BC的长为________.
【解析】过点D作DE∥AB交BC于点E,则可得四边形ABED为平行四边形、△DEC为等边三角形,∴BE=AD=4,
EC=CD=5,∴BC=4+5=9.
【答案】9
【点评】本题考查了等腰梯形的性质,解题关键是利用常作的辅助线化梯形为平行四边形和等边三角形来解决问题,还有其他方法.难度中等.
14.(2012巴中)如图4,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC的中点且DE∥AB,则∠BCD的度数是____________
【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形
∴AB=DE,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∴DE=DC
∵BD⊥DC,∴∠BDC=900,又点E是BC的中点
∴DE=EC=DC,即△DEC是等边三角形,故∠BCD=600
【答案】60°
【点评】本题考查的知识点有平行四边形的判定、等边
三角形的判定等腰梯形及直角三角形的性质,
是比较综合的题目.
15.(2012义乌)如图,已知点A(0,2)、B(
,2)、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连接AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连接PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则:
(1)当AB为梯形的底时,点P的横坐标是 ;
(2)当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .
考点:
圆周角定理;等边三角形的性质;梯形;解直角三角形.
解答:
解:
(1)如图1:
当AB为梯形的底时,PQ∥AB,
∴Q在CP上,
∵△APQ是等边三角形,CP∥x轴,
∴AC垂直平分PQ,
∵A(0,2),C(0,4),
∴AC=2,
∴PC=AC•tan30°=2×
=
,
∴当AB为梯形的底时,点P的横坐标是:
;
(2)如图2,当AB为梯形的腰时,AQ∥BP,
∴Q在y轴上,
∴BP∥y轴,
∵CP∥x轴,
∴四边形ABPC是平行四边形,
∴CP=AB=2
,
∴当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是:
2
.
故答案为:
(1)
,
(2)2
.
三.解答题
16.(2012中考).如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE、AC.
(1)求证:
△ABE≌△CDA;
(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.
考点:
梯形;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)先根据题意得出∠ABE=∠CDA,然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等;
(2)根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数,在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案.
解答:
(1)证明:
在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA,
∴∠ABE=∠CDA
在△ABE和△CDA中,
,
∴△ABE≌△CDA.
(2)解:
由
(1)得:
∠AEB=∠CAD,AE=AC,
∴∠AEB=∠ACE,
∵∠DAC=40°,
∴∠AEB=∠ACE=40°,
∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°.
点评:
此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质,解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系,注意所学知识的融会贯通.
17.(2012•杭州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分别以AB,CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF,连接AF,DE.
(1)求证:
AF=DE;
(2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积,求BC的长.
考点:
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
专题:
探究型.
分析:
(1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可;
(2)如图作BH⊥AD,CK⊥AD,利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长.
解答:
(1)证明:
在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,
∴∠BAD=∠CDA,
而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中,
AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60°,
∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA,
∴△AED≌△DFA(SAS),
∴AF=DE;
(2)解:
如图作BH⊥AD,CK⊥AD,则有BC=HK,
∵∠BAD=45°,
∴∠HAB=∠KDC=45°,
∴AB=
BH=
AH,
同理:
CD=
CK=
KD,
∵S梯形ABCD=
,AB=a,
∴S梯形ABCD=
=
,
而S△ABE=S△DCF=
a2,
∴
=2×
a2,
∴BC=
a.
点评:
本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式,属于中档题目.
18.(2012襄阳)如图10,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形;
(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?
请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.
【解析】
(1)通过证明△DEC≌△AEB,得AB=CD.
(2)运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易发现四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形,从而有AB∥DE,然后结合菱形的性质,发现AB需与AC垂直,接着发现△ABE是等边三角形即可解决问题.
【答案】解:
(1)证明:
∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD.
又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA.
∴∠DEC=∠AEB.
又∵EB=EC,∴△DEC≌△AEB.
∴AB=CD.∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.
证明:
∵AD∥BC,BE=EC=AD,
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.
∴AB=ED.
∵AB⊥AC,∴AE=BE=EC.
∴四边形AECD是菱形.
过A作AG⊥BE于点G,∵AE=BE=AB=2,
∴△ABE是等边三角形,∠AEB=60°.∴AG=
.
∴S菱形AECD=ECAG=2×
=
.
【点评】第
(1)问简单,第
(2)问属于条件开放探究性问题,解答时,可以“执果索因”,从题目的结论出发逆向追索,再通过综合分析推理而获得结果.
19.(2012河北)如图10,某市A、B两地之间有两条公路,一条是市区公路AB,另一条是外环公路AD—DC—CB.这两条公路围成等腰梯形ABCD,其中DC∥AB,AB:
AD:
DC=10:
5:
2.
(1)求外环公路总长和市区公路长的比;
(2)某人驾车从A地出发,沿市区公路去B地,平均速度是40km/h,返回时沿外环公路行驶,平均速度是80km/h,结果比去时少用了
h,求市区公路长.
【解析】
(1)根据等腰梯形的性质可知AD=BC,设AB=10x,AD=BC=5x,CD=2x,可直接求出外环公路总长和市区公路长的比值.
(2)根据题意给出的等量关系列出一元一次方程,求解即可.
【答案】解:
(1)设AB=10xkm,则AD=5xkm,CD=2xkm.
∵四边形ABCD是等腰梯形,DC∥AB,
∴BC=AD=5x∴AD+DC+BC=12x
∴外环公路总长和市区公路长的比为12x:
10x=6:
5……………3分
(2)由
(1)可知,外环公路总长为12xkm,市区公路长为10xkm.
由题意得
……………6分
解这个方程得x=1∴10x=10
答:
市区公路的长为10km.……………8分
【点评】本题涉及等腰梯形的性质,线段的比,和一元一次方程的应用.第一问中求市区公路和外环公路长的比值时,是代数式的比,含有字母,使学生的弱项,在以后的教学中,多加练习.本题属于中等题型.
20.(2012南充)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上的一点,且CE=CD.
求证:
∠B=∠E.
解析:
先利用等腰三角形等边对等角推得∠CDE=∠E.根据AD∥BC,可得∠CDE=∠DCB,等量代换得到∠E=∠DCB,再根据等腰梯形性质可知∠B=∠DCB,从而证得∠B=∠E.
答案:
证明:
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵AD∥BC,
∴∠CDE=∠DCB.
∴∠E=∠DCB.
∵AB=DC,
∴∠B=∠DCB.
∴∠B=∠E.
点评:
本题主要考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质,及平行线性质.对于等腰梯形、等腰三角形内的角度问题,要充分利用底角相等的特点,再利用等量代换的方法即可探寻到所要求证角的相等关系.
21.(2012南京)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)求证:
四边形EFGH是正方形;
(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积.
解析:
利用三角形中位线定理来说明四边形EFGH是正方形;借助梯形中位线得到EG的长,求出四边形EFGH的面积.
答案:
(1)∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是三角形ABC的中位线
∴EF∥AC、EF=
AC,
同理得,EH∥BD,HG=
AC,EH=FG=
BD,
∴EH=FG=EF=HG
∴四边形EFGH为菱形
∵EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD
∴∠EHG=900
∴菱形EFGH为正方形.
(2)∵在梯形ABCD中,E、G分别是AB、CD的中点.
∴EG为梯形ABCD的中位线
∴EG=
(AD+BC)=3
四边形EFGH的面积=
EG2=4.5
点评:
题目中有中点,可转化利用三角形、梯形中位线来解决,注意正方形是特殊的菱形、其面积也可以为对角线平方的一半.
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