与名师对话理三角恒等变换.docx
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与名师对话理三角恒等变换
第四节 三角恒等变换
高考概览:
能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
[知识梳理]
1.公式的常用变式
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);
(2)sin2α==;
(3)cos2α==.
2.降幂公式
(1)sin2α=;
(2)cos2α=;
(3)sinαcosα=sin2α.
3.升幂公式
(1)1+cosα=2cos2;
(2)1-cosα=2sin2;
(3)1±sinα=2.
4.半角公式
(1)sin=±;
(2)cos=±;
(3)tan=±==.
以上称之为半角公式,符号由所在象限决定.
[辨识巧记]
常用拆角、拼角技巧
2α=(α+β)+(α-β);
α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=-=(α+2β)-(α+β);
α-β=(α-γ)+(γ-β);
15°=45°-30°;
+α=-等.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意角α都有1+sinα=2.( )
(2)y=3sinx+4cosx的最大值是7.( )
(3)sin4x+cos4x=1-sin22x.( )
(4)tan=.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)× (4)×
2.(2018·河北保定一模)已知cos=sin,则tanα的值为( )
A.-1B.1C.D.-
[解析] 由已知得cosα-sinα=sinα-cosα,整理得,
sinα=cosα,即sinα=cosα,故tanα=1.故选B.
[答案] B
3.(2019·浙江苍南县三校联考)若sinα+sinβ=,cosα+cosβ=-,则cos(α-β)=( )
A.-B.C.-D.
[解析] sinα+sinβ=,① cosα+cosβ=-,②
①2+②2,得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=,
∴cos(α-β)=.故选B.
[答案] B
4.(2019·安徽十校联考)=( )
A.-B.-C.D.
[解析]
=
=
==sin30°=.故选C.
[答案] C
5.(必修4P46A组T4
(2)改编)tan20°+tan40°+tan20°·tan40°=________.
[解析] ∵tan60°=tan(20°+40°)=,
∴=
∴tan20°+tan40°=-tan20°·tan40°,
∴tan20°+tan40°+tan20°·tan40°=.
[答案]
考点一 三角函数式的化简
【例1】 化简下列各式:
(1)sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos2α·cos2β;
(2).
[思路引导]
(1)→
(2)→→
[解]
(1)原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-(cos2α-sin2α)·(cos2β-sin2β)
=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos2α·cos2β-
sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+sin2α·cos2β
=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β+cos2α·sin2β+sin2α·cos2β
=sin2α·(sin2β+cos2β)+cos2α·(sin2β+cos2β)
=sin2α+cos2α=.
(2)解法一:
原式
=
=
==1.
解法二:
原式=
==
==1.
化简三角函数式的策略
[对点训练]
1.化简:
.
[解] 原式=
==2cosα.
2.已知α∈(0,π),化简:
.
[解] 原式=
==.
因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cosα.
考点二 三角函数式的求值
三角函数求值问题主要考查角的变换和公式的灵活运用,是高考命题的热点,难度适中.
常见的命题的角度有:
(1)给角求值;
(2)变角求值;
(3)给值求角.
角度1:
给角求值
【例2-1】 求值:
(1);
(2).
[思路引导] →→
[解]
(1)原式====.
(2)原式=
=
==
=-4.
角度2:
变角求值
【例2-2】
(1)(2018·贵阳监测)已知sin=,则cos的值是( )
A.B.C.-D.-
(2)已知0<β<<α<π,且cos=-,
sin=,则cos(α+β)的值为________.
[思路引导]
→→
[解析]
(1)∵sin=,
∴cos=cos
=1-2sin2=,
∴cos=cos
=cos=-cos=-.故选D.
(2)∵0<β<<α<π,
∴-<-β<,<α-<π,
∴cos==,
sin==,
∴cos=cos
=coscos+sinsin
=×+×=,
∴cos(α+β)=2cos2-1
=2×-1=-.
[答案]
(1)D
(2)-
角度3:
给值求角
【例2-3】 (2019·成都诊断考试)若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值为________.
[思路引导]
→→→
[解析] 因为α∈,故2α∈,又sin2α=,故2α∈,α∈,∴cos2α=-,β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×-×=,且α+β∈,故α+β=.
[答案]
三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角求值
关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数
变角求值
给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系
给值求角
实质是转化为给值求值,关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围
[对点训练]
1.(2019·开封模拟)设a=cos6°-sin6°,b=,c=,则( )
A.c
C.a [解析] ∵a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°,b=tan26°,c=sin25°,∴a [答案] C 2.已知2tanαsinα=3,-<α<0,则cos的值是( ) A.0B.C.1D. [解析] 由2tanαsinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,∴cosα=或cosα=-2(舍去).∵-<α<0,∴sinα=-,∴cos=cosαcos+sinαsin=0.故选A. [答案] A 3.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为________. [解析] tanα=tan(α-β+β)===,所以tan(2α-β)=tan(α+α-β)===1. 由tanα=,得tanα<1,则0<α<,得0<2α<. 由tanβ=-,知β∈, 得-π<2α-β<0,所以2α-β=-π. [答案] -π 考点三 三角恒等变换 【例3】 (2019·河北唐山二模)已知α,β均为锐角,且sin2α=2sin2β,则( ) A.tan(α+β)=3tan(α-β)B.tan(α+β)=2tan(α-β) C.3tan(α+β)=tan(α-β)D.3tan(α+β)=2tan(α-β) [解析] 解法一: 因为2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),已知sin2α=2sin2β, 所以sin[(α+β)+(α-β)]=2sin[(α+β)-(α-β)], 利用和角、差角公式展开,可得 sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=2[sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)·sin(α-β)], 整理得sin(α+β)cos(α-β)=3cos(α+β)sin(α-β), 两边同时除以cos(α+β)cos(α-β), 得tan(α+β)=3tan(α-β),故选A. 解法二: 因为sin2α=2sin2β, 所以====3, 即tan(α+β)=3tan(α-β),故选A. [答案] A 三角恒等式变换的关注点 (1)看角: 分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化. (2)看函数: 统一函数,向结果中的函数转化. [对点训练] 已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2θ=2sin2β,则( ) A.cosβ=2cosαB.cos2β=2cos2α C.cos2β=2cos2αD.cos2β=-2cos2α [解析] 由同角三角函数的基本关系可得sin2θ+cos2θ=1,所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ.由已知可得(2sinα)2=1+2sin2β,即4sin2α=1+2sin2β.由二倍角公式可得4×=1+2×,整理得cos2β=2cos2α.故选C. [答案] C 审题系列④——角的范围对三角函数求值的影响 素养解读: 在解决三角函数式的求值问题时,要注意题目中角的范围的限制,特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.绝大部分题目都会设置一定的障碍,特别是角的范围,往往所给的范围较大,需要根据条件缩小范围. 缩小角的范围,经常采用以下策略: ①由三角函数值的符号缩小角的范围;②借助缩小三角函数值的范围缩小角的范围;③由特殊角或特殊值缩小角的范围. 【典例1】 已知α、β∈(0,π),tanα=2,cosβ=-,求2α-β的值. [切入点] 利用α,β的三角函数值求2α-β的三角函数值. [关键点] 缩小角的范围,保证各角三角函数值的唯一性. [规范答题] 解法一: 因为tanα=2>0,α∈(0,π),所以α∈. 因为cosβ=-,β∈(0,π),所以β∈,且tanβ=-. 所以α-β∈(-π,0),tan(α-β)==3>0, 所以α-β∈,所以2α-β∈(-π,0). 因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==-1, 所以2α-β=-. 解法二: 因为tanα=2>1,α∈(0,π),所以α∈. 因为cosβ=-,β∈(0,π),所以β∈,所以2α-β∈. 因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] ==-1, 所以2α-β=-. 三角函数值的符号与角的范围有直接关系,借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层: 先由条件中tanα、cosβ的符号缩小α、β的范围,得到α-β的范围,再由α-β的范围,结合tan(α-β)的符号进而缩小α-β的范围,得到2α-β的范围.难点是想到缩小α-β的范围. 另外,本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围. 解法二较解法一在求角的范围上运算量小了许多,这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势. 【典例2】 设α、β∈(0,π),sin(α+β)=,tan=,则cosβ=________. [切入点] 求出α和α+β的三角函数值. [关键点] 保证cosβ=cos[(α+β)-α]的唯一性. [规范答题] 因为tan=,所以sinα==,cosα==∈.又α∈(0,π),所以α∈,又β∈(0,π),所以α+β∈.又sin(α+β)=∈,所以α+β∈,所以cos(α+β)=-,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-. [答案] - 本题缩小角的范围分为两层: (1)由cosα=∈,结合α∈(0,π),缩小角α的范围,得到α+β的范围; (2)由sin(α+β)=∈,结合α+β∈,缩小α+β的范围.其中难点是后者,这是因为y=sinx在上不单调,解决办法是画图. [感悟体验] 1.设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为( ) A.B.C.D.或 [解析] 由sinα=,cosβ=-,且α,β为钝角,可知cosα=-,sinβ=, 故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=,又π<α+β<2π,故α+β=.故选C. [答案] C 2.已知α,β为三角形的两个内角,cosα=,sin(α+β)=,则cosβ的值为________. [解析] 因为0<α<π,cosα=, 所以sinα==,故<α<, 又因为0<α+β<π,sin(α+β)=<, 所以0<α+β<或<α+β<π, 由<α<知<α+β<π, 所以cos(α+β)=-=-, 所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =×+×=. [答案] 课后跟踪训练(二十三) 基础巩固练 一、选择题 1.已知sin2α=,则cos2=( ) A.B.C.D. [解析] cos2== ==.故选C. [答案] C 2.已知tan=,tan=,则tan(α+β)的值为( ) A.B.C.D.1 [解析] tan(α+β)=tan = ==1,故选D. [答案] D 3.(2019·广东七校联考)锐角α,β满足cosα=, cos(2α+β)=,那么sin(α+β)=( ) A.B.C.D. [解析] 由于α,β均为锐角,cos(2α+β)=,cosα=,所以sinα=,sin(2α+β)=,所以sin(α+β)=sin[(2α+β)-α]=sin(2α+β)cosα-cos(2α+β)sinα=×-×=,故选D. [答案] D 4.(2019·湖南邵阳二模)若tancos=sin-msin,则实数m的值为( ) A.2B.C.2D.3 [解析] 由tancos=sin-msin, 可得sincos=cossin-msincos, 即sincos=cos·sin-msincos, 即sin2=cos2-sin, 亦即sin=cos,∴·=, ∴m=2,故选A. [答案] A 5.(2019·河北名师俱乐部3月模拟)已知θ∈,sinθ-cosθ=-,则=( ) A.B.C.D. [解析] 解法一: 由sinθ-cosθ=-得sin=,∵θ∈,∴0<-θ<,∴cos=. 故== == =2cos=.故选D. 解法二: 由sinθ-cosθ=-,sin2θ+cos2θ=1,且θ∈,解得sinθ=,cosθ=, ∴=(sinθ+cosθ) =×=.故选D. [答案] D 二、填空题 6.(2019·湖南长沙一模)化简: =________. [解析] ===4sinα. [答案] 4sinα 7.(2018·河南统考)已知tanα,tanβ是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=________. [解析] 由lg(6x2-5x+2)=0,得6x2-5x+1=0,由题意知tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,∴tan(α+β)===1. [答案] 1 8.对于锐角α,若sin=,则cos=________. [解析] 由α为锐角,且sin=,可得cos=,则cos=cos=coscos-sinsin=×-×=,于是cos=2cos2-1=2×2-1=-. [答案] - 三、解答题 9.已知cos·cos=-,α∈. (1)求sin2α的值; (2)求tanα-的值. [解] (1)cos·cos=cos·sin=sin=-, 即sin=-, 因为α∈,所以2α+∈, 所以cos=-. 所以sin2α=sin=sincos-cossin=. (2)由 (1)知tanα-=-====2. 10.(2018·江苏如东高中上学期期中)已知α,β都是锐角,且sinα=,tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值; (2)求cosβ的值. [解] (1)因为α,β∈,所以-<α-β<. 又因为tan(α-β)=-,所以-<α-β<0. 由sin2(α-β)+cos2(α-β)=1和=-, 解得sin(α-β)=-. (2)由 (1)可得,cos(α-β)===. 因为α为锐角,sinα=, 所以cosα===. 所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=. 能力提升练 11.(2019·湖北八校第一次联考)已知3π<θ<4π,且+=,则θ=( ) A.或B.或 C.或D.或 [解析] ∵3π<θ<4π,∴<<2π, ∴cos>0,sin<0, ∴+ =+ =cos-sin=cos=, ∴cos=, ∴+=+2kπ,k∈Z或+=-+2kπ,k∈Z, 即θ=-+4kπ,k∈Z或θ=-+4kπ,k∈Z, 又∵3π<θ<4π, ∴θ=或.故选D. [答案] D 12.(2019·安徽二模)sin40°(tan10°-)=( ) A.-B.-1C.D.- [解析] sin40°(tan10°-)====-=-=-1.故选B. [答案] B 13.cos·cos·cos=________. [解析] cos·cos·cos=cos20°·cos40°·cos100°=-cos20°·cos40°·cos80° =- =- =- =-=-=-. [答案] - 14.(2019·北京西城区模拟)已知函数f(x)=tan. (1)求f(x)的定义域; (2)设β∈(0,π),且f(β)=2cos,求β的值. [解] (1)由x+≠kπ+,得x≠kπ+,k∈Z. 所以函数f(x)的定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z}. (2)依题意,得tan=2cos, 所以=2sin,整理得sin·=0, 所以sin=0,或cos=. 因为β∈(0,π),所以β+∈. 由sin=0,得β+=π,即β=; 由cos=,得β+=,即β=. 所以β=,或β=. 拓展延伸练 15.(2018·安徽淮南一模)设α∈,β∈,且tanα=,则下列结论中正确的是( ) A.α-β=B.α+β= C.2α-β=D.2α+β= [解析] tanα=====tan.因为α∈,β+∈,所以α=β+,即α-β=.故选A. [答案] A 16.(2019·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,则sin等于( ) A.-B.C.-D. [解析] tanα+tan=2tanαtan-2⇒=-2⇒tan=-2<0, ∵α为第二象限角,∴sin=,cos=-,则sin=-sin=-sin=cossin-sincos=-.故选C. [答案] C
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