二次函数与四边形的动点问题含答案.docx
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二次函数与四边形的动点问题含答案
二次函数与四边形的动点问题
一、二次函数与四边形的形状
A
例1.(浙江义乌市)如图,抛物线
与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线
与抛物线交于A、C两点,其中
C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,
使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是
平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F
点坐标;如果不存在,请说明理由.
练习1.(河南省实验区)23.如图,对称轴为直线
的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
O
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(
,
)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
练习2.(四川省德阳市)25.如图,已知与
轴交于点
和
的抛物线
的顶点为
,抛物线
与
关于
轴对称,顶点为
.
(1)求抛物线
的函数关系式;
(2)已知原点
,定点
,
上的点
与
上的点
始终关于
轴对称,则当点
运动到何处时,以点
为顶点的四边形是平行四边形?
(3)在
上是否存在点
,使
是以
为斜边且一个角为
的直角三角形?
若存,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
练习3.(山西卷)如图,已知抛物线
与坐标轴的交点依次是
,
,
.
(1)求抛物线
关于原点对称的抛物线
的解析式;
(2)设抛物线
的顶点为
,抛物线
与
轴分别交于
两点(点
在点
的左侧),顶点为
,四边形
的面积为
.若点
,点
同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点
,点
同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点
与点
重合为止.求出四边形
的面积
与运动时间
之间的关系式,并写出自变量
的取值范围;
(3)当
为何值时,四边形
的面积
有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形
能否形成矩形?
若能,求出此时
的值;若不能,请说明理由.
二、二次函数与四边形的面积
例1.(资阳市)25.如图10,已知抛物线P:
y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
x
…
-3
-2
1
2
…
y
…
-
-4
-
0
…
图10
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;
(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.
练习1.(辽宁省十二市20XX年第26题).如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,
求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范
围;面积S是否存在最小值?
若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,
(5)请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
练习3.(吉林课改卷)如图,正方形
的边长为
,在对称中心
处有一钉子.动点
,
同时从点
出发,点
沿
方向以每秒
的速度运动,到点
停止,点
沿
方向以每秒
的速度运动,到点
停止.
,
两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设
秒后橡皮筋扫过的面积为
.
(1)当
时,求
与
之间的函数关系式;
(2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求
值;
(3)当
时,求
与
之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时
的变化范围;
(4)当
时,请在给出的直角坐标系中画出
与
之间的函数图象.
练习4.(四川资阳卷)如图,已知抛物线l1:
y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1)求l2的解析式;
(2)求证:
点D一定在l2上;
(3)□ABCD能否为矩形?
如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由.注:
计算结果不取近似值
.三、二次函数与四边形的动态探究
例1.(荆门市)28.如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在
(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?
若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.
图1
图2
例2.(20XX年沈阳市第26题)、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由. 例3..(湖南省郴州)27.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线A平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积, 表示矩形NFQC的面积. (1)S与 相等吗? 请说明理由. (2)设AE=x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少? (3)如图11,连结BE,当AE为何值时, 是等腰三角形. 图11 图10 图12 练习1.(07年河池市)如图12,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点 从 出发以每秒2个单位长度的速度向 运动;点 从 同时出发,以每秒1个单位长度的速度向 运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点 作 垂直 轴于点 ,连结AC交NP于Q,连结MQ. (1)点(填M或N)能到达终点; (2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围, 当t为何值时,S的值最大; (3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形? 若存在,求出点M的坐标,若不存在, (4)说明理由. 练习2..(江西省)25.实验与探究 (1)在图1,2,3中,给出平行四边形 的顶点 的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点 的坐标,它们分别是 ,,; 图3 (2)在图4中,给出平行四边形 的顶点 的坐标(如图所示),求出顶点 的坐标( 点坐标用含 的代数式表示); 图4 归纳与发现 (3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点 的坐标的探究,你会发现: 无论平行四边形 处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为 (如图4)时,则四个顶点的横坐标 之间的等量关系为;纵坐标 之间的等量关系为(不必证明); 运用与推广 (4)在同一直角坐标系中有抛物线 和三个点 , (其中 ).问当 为何值时,该抛物线上存在点 ,使得以 为顶点的四边形是平行四边形? 并求出所有符合条件的 点坐标. 参考答案 一、二次函数与四边形的形状 例1.解: (1)令y=0,解得 或 ∴A(-1,0)B(3,0);将C点的横坐标x=2代入 得y=-3,∴C(2,-3)∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 (2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为: P(x,-x-1),E( ∵P点在E点的上方,PE= O ∴当 时,PE的最大值= (3)存在4个这样的点F,分别是 练习1.解: (1)由抛物线的对称轴是 ,可设解析式为 . 把A、B两点坐标代入上式,得 解之,得 故抛物线解析式为 ,顶点为 (2)∵点 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合 , ∴y<0,即-y>0,-y表示点E到OA的距离. ∵OA是 的对角线, ∴ . 因为抛物线与 轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量 的 取值范围是1< <6. 1根据题意,当S=24时,即 . 化简,得 解之,得 故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4). 点E1(3,-4)满足OE=AE,所以 是菱形; 点E2(4,-4)不满足OE=AE,所以 不是菱形. 2当OA⊥EF,且OA=EF时, 是正方形,此时点E的 坐标只能是(3,-3). 而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E, 使 为正方形. 练习2.解: (1)由题意知点 的坐标为 . 设 的函数关系式为 . 又 点 在抛物线 上, ,解得 . 抛物线 的函数关系式为 (或 ). (2) 与 始终关于 轴对称, 与 轴平行.设点 的横坐标为 ,则其纵坐标为 , , ,即 .当 时,解得 . 当 时,解得 . 当点 运动到 或 或 或 时, ,以点 为顶点的四边形是平行四边形. (3)满足条件的点 不存在.理由如下: 若存在满足条件的点 在 上,则 , (或 ), . 过点 作 于点 ,可得 . , , . 点 的坐标为 . 但是,当 时, . 不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形. 练习3.[解] (1)点 ,点 ,点 关
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