高考数学圆锥曲线试题含答案.docx
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高考数学圆锥曲线试题含答案
2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油!
圆锥曲线
选择题:
2
1.(福建卷11)又曲线x2a
F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B
A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,
2.(海南卷11)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为(A)
11
A.(1,-1)B.(1,1)C.(1,2)D.(1,-2)
44
3.
(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点
的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:
c2.
a2.
其中正确式子的序号是B
D.②④
2
4.(湖南卷8)若双曲线x2a
by21(a>0,b>0)上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是(B)
总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
6.(辽宁卷10)已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(A)A.17B.3C.5D.9
22
22
7.(全国二9)设a1,则双曲线x2y21的离心率e的取值范围
a(a1)
是(B)
A.(2,2)B.(2,5)C.(2,5)D.(2,5)
8.(山东卷(10)设椭圆C1的离心率为5,焦点在X轴上且长轴长为
13
26.若曲线C2上的点到椭圆
C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于
8,则曲线C2的标准方程为A
22
1
2y
42
1
2
(B)1x32
2y52
2
2
x
(D)2
132
2
y
122
22
9(.陕西卷8)双曲线x2y2ab
1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,
过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(B)
A.6B.3C.2D.
3
10.(四川卷12)已知抛物线C:
y28x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且AK2AF,则AFK的面积为(B)
(A)4(B)8(C)16(D)
32
22
11.(天津卷(7)设椭圆x2y21(m0,n0)的右焦点与抛物
mn
2(A)x
2
y21
2
(B)x
2
y21
22
(C)x2y21
(D)
12
16
16
12
4864
22
x2y21
6448
22
线y28x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为B
12.(浙江卷7)若双曲线x2y21的两个焦点到一条准线的距离之ab
比为3:
2,则双曲线的离心率是D
A)3
B)5
C)3
D)5
13.(浙江卷10)如图,AB是平面a的斜线段,A为斜足,若点P
在平面a内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹
A)圆
B)椭圆
22
14.(重庆卷(8)已知双曲线x2y21(a>0,b>0)的一条渐近线为ab
y=kx(k>0),离心率e=5k,则双曲线方程为C
22A)ax2-4ya2=1a4a
填空题:
为l,离心率
斜率等于
e=5.过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M,则直线FM的
5
.1
.2
22
3.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆x2y21(ab0)的焦ab
垂直,则离心率e=
FABF
4.(江西卷15)过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾角为30o的直线,
与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则
5.(全国一14)已知抛物线yax21的焦点是坐标原点,则以抛物线
与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.2
cosB7.若以A,B为焦点
18
.3
.8
6.(全国一15)在△ABC中,ABBC,的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e
7.(全国二15)已知F是抛物线C:
y24x的焦点,过F且斜率为1
的直线交C于A,B两点.设FAFB,则FA与FB的比值等
于.322
2
1的两个焦点,过F1的直线
8.(浙江卷12)已知F1、F2为椭圆2x5
交椭圆于A、B两点若F2AF2B12,则AB=。
_8
三.解答题:
1.(安徽卷22).(本小题满分13分)
22
设椭圆C:
x2y21(ab0)过点M(2,1),且着焦点为F1(2,0)ab
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线uuuruuuruuuruuur
段AB上取点Q,满足APgQBAQgPB,证明:
点Q总在某定直线上
解
(1)由题意:
(2)方法
(1)+
(2)×2并结合(3),(4)得4s2y4
即点Q(x,y)总在定直线2xy20上
22
,解得a24,b22,所求椭圆方程为x4y21
程x22y24,
整理得
即点Q(x,y)总在定直线
(x2
2y2
4)
24(2x
y2)
14
0
(3)
(x2
2y2
4)
24(2x
y2)
14
0
(4)
(4)-(3)
得
8(2x
y
2)0
∵
0,∴
2x
y20
20上
2xy
2.(北京卷19).(本小题共14分)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x23y24上,对角线BD所在直线
的斜率为1.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当ABC60o时,求菱形ABCD面积的最大值.解:
(Ⅰ)由题意得直线BD的方程为yx1.
因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.
于是可设直线AC的方程为yxn.
22,
由x3y4,得4x26nx3n240.yxn
因为A,C在椭圆上,
设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
3n,3n4,,.
则x1x2,x1x2,y1x1n,y2x2n.
24
所以y1y2n2.
所以AC的中点坐标为3n,n.
44
由四边形ABCD为菱形可知,点3n,n在直线yx1上,44
所以n3n1,解得n2.
44所以直线AC的方程为yx2,即xy20.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且ABC60o,所以ABBCCA.
所以菱形ABCD的面积S3AC2.
2
所以S3(3n216)43n43
433
所以当n0时,菱形ABCD的面积取得最大值43.
3.(福建卷21)(本小题满分12分)
Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与
一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有OA2OB2pAB2,求a的取值范围.
解法一:
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,所以OF3MN,即1=3g2b,解得b=3.
22
a2b214,因此,椭圆方程为xy1.
43
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
OA2OB22a2,AB24a2(a21),
因此,恒有OA2OB2AB2.
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
22
设直线AB的方程为:
xmy1,代入x2y21,ab
整理得(a2b2m2)y22b2myb2a2b20,
2b2mb2a2b2
所以y1y2222,y1y2222
abmabm
因为恒有OA2OB2AB2,所以AOB恒为
钝角.
0.
2222222mabbaba
222abm
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒
成立,即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2<0.
a2 因为a>0,b>0,所以a 解得a>15或a<15(舍去),即a>15 222综合(i)(ii),a的取值范围为(125,+)解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解: (i)当直线l垂直于x轴时, 1y22b2(a21) x=1代入221,yA22=1. aba a21 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4yA2,yA2>1,即aa1>1, 解得a>125或a<125(舍去),即a>125 ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2). 22 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入x2y21,ab 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0, 2222222akakab故x1+x2=222,x2x2222 bakbak 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+x22+y22<(x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+y1y2<0恒成立. x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2 222222 2akab22ak=(1+k2)222k222bakbak 22 设b0,椭圆方程为2xb2by21,抛物线方程为x8(yb).如图 4所示,过点F(0,b2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点 为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1. 1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上 是否存在点P,使得△ABP为直角三角形? 若存在,请指出共有几个 2y21和 x2 8(y1); 2)Q过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点 P,以PAB为直角 的RtABP只有一个, 同理以PBA为直角的RtABP只有一个。 若以APB为直角,设P点坐标为(x,1 8 x21), A、B两点的坐标分 别为(2,0)和(2,0), uuuruuur21221452 PAgPBx22(x21)2x4x21 8644 关于x2的二次方程有一大于零的解, 0。 x有两解, 即以APB为直角的RtABP有两个, 因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形 5.(湖北卷19).(本小题满分13分) 如图,在以点O为圆心,|AB|4为直径的半圆ADB中,ODAB,P是半圆弧上一点, POB30,曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不.小.于.22,求直线l斜率的取值范围. 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知 识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分 13分) (Ⅰ)解法1: 以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(3,1),依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=(23)212(23)212=22<|AB|=4. ∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,2a=22,∴a2=2,b2=c2-a2=2. 22 ∴曲线C的方程为xy1. 22 解法2: 同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-| MB|=|PA|-|PB|<|AB|=4. ∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线. 22 设双曲线的方程为x2y21(a>0,b>0).ab (3)211 则由a2b21解得a2=b2=2, a2b24 (Ⅱ)解法1: 依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-K2)x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, 1-k20k1 ∴(4k)246(1k2)03k3 ∴k∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). 设E(x,y),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=4k2,x1x26,于是 1k1k =1k2(x1 x2)24x1x21k2223k2 2 而原点O到直线l的距离d=12k2, 若△OEF面积不小于22,即S△OEF22,则有 k2 223k22k4k220,解得2k2. 综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(1-,1)∪(1, 2). 程并整理, 得(1-K2)x2-4kx-6=0. .∴k∈(-3,-1)∪(-1,1)∪ 1,3). 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 综上得S△OEF=12ODx1x2,于是由|OD|=2及③式,得S△OEF=2232k. 1k2若△OEF面积不小于22,即SOEF22,则有 2232k22k4k20,解得2k2.④ 1k2 综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,2). 6.(湖南卷20).(本小题满分13分) 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与 x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0) 存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2. (I)证明: 点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; (II)试问: 点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值? 若存在,求其最大值(用x0表示): 若不存在,请说明理由. 解: (I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是 (x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y20. 设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym),则 k=y1y24.从而AB的垂直平分线l的方程为 x1x2y1y2ym ym yymm(xxm). m2m 又点P(x0,0)在直线l上,所以ymy2m(x0xm). 而ym0,于是xmx02.故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直线的方程是yymk(xxm),代入y24x中, 整理得k2x22[k(ym 2 kxm)2]x(ymkxm) 0. ·) 则x1、x2是方程(·) 的两个实根,且x1x2 (ymkxm)2 k2 设点P的“相关弦” AB的弦长为l,则 l2(x1 (1 4(1 2222k2)[(x1x2)24x1x2]4(1k2)(xm2x1x2) 22 (ymxm) 42ym 2)[xm] ym4 2 ym 2242 ym)(4xmym)ym4ym(xm1)16xm 2222[ym22(x03)]2. (4 4(xm1)2[ym22(xm1)]24(x01)2 因为0 若x0>3,则2(x0-3)(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即ym2=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1). 若2 所以0 综上所述, 当x0>3时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为2(x0-1);当2 7.(江西卷21).(本小题满分12分) 设点P(x0,y0)在直线xm(ym,0m1)上,过点P作双曲线x2y21的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点M(1,0). m (1)求证: 三点A、M、B共线。 (2)过点A作直线xy0的垂线,垂足为N,试求AMN的重心G所 在曲线方程. 证明: (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得到y1y20,且x12y121, 22 x2y21,y 因此PA的方程为: y1yx1x1 同理PB的方程为: y2yx2x1 又P(m,y0)在PA、PB上,所以y1y0mx11,y2y0mx21 即点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y0ymx1上 又M(1,0)也在直线y0ymx1上,所以三点A、M、B共线m (2)垂线AN的方程为: yy1xx1, 设重心G(x,y) 所在曲线方程 在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和等于4, 设点P的轨迹为C,直线ykx1与C交于A,B两点. (Ⅰ)写出C的方程; uuuruuru (Ⅱ)若OAOB,求k的值; (Ⅲ)若点A在第一象限,证明: 当k>0时,恒有|OuuAur|>|OuuBru|. 20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆 位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分. 解: (Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,3),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴b22(3)21, 2 故曲线C的方程为x2y1.················3·分· 4 Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 2x2y21,x41,ykx1. 而y1y2k2x1x2k(x1x2)1, 9.(全国一21).(本小题满分12分) uuur uuur uuur OA 、 AB 、 OB 注意: 在.试.题.卷.上.作.答.无.效.) 双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经 过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知 uuuruuur 成等差数列,且BF与FA同向. Ⅰ)求双曲线的离心率; Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程. 解: (Ⅰ)设OAmd,ABm,OBmd 222 (md)2m2(md)2 tanAOFb,tanAOBtan2AOFa 2 2y21联立ab Ⅱ)过F直线方程为ya(xc),与双曲线方程b 将a2b,c5b代入,化简有41b52x28b5x21 2 a2 1(x1x2)4x1x2 b 10.(全国二21).(本小题满分12分) 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线 ykx(k0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点. uuuruuur Ⅰ)若ED6DF,求k的值; Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值. 2 Ⅰ)解: 依题设得椭圆的方程为x
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